高三复习(二)函数习题及详细解析

第二编 函数
§2.1 函数及其表示 一、填空题
1．函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为________________． 2．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是________． ①f (x )＝ln x ②f (x )＝1x
③f (x )＝|x | ④f (x )＝e x 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ， x >0，2x ， x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝________. 4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)＝________.
5．已知f ⎝⎛⎭⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2
，则f (x )的解析式为__________． 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝__________．
7．已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且φ⎝⎛⎭
⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x )＝____________.
8．如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x=t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是_________(填序号)．
9．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰
好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．有下列函数：
①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝(13
)x ；④φ(x )＝ln x ，其中是一阶整点函数的是_______．
二、解答题
10． (1)已知f (x )的定义域是[0,4]，求
①f (x 2)的定义域；②f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域．
(2)已知f (x 2)的定义域为[0,4]，求f (x )的定义域．
11．已知f (x )＝x 2－2x ＋1，g (x )是一次函数，且f [g (x )]＝4x 2，求g (x )的解析式．
§2.2 函数的单调性及最大（小）值
一、填空题
1．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是________．
2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )， f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为_ _________________．
3．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (1x
f (1)的x 的取值范围为__________________． 4．若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2－a ＋1)与f (34
)的大小关系是________________． 5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________． 6．关于下列命题：
①若函数y ＝2x 的定义域是{x |x ≤0}，则它的值域是{y |y ≤1}；
②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是{y |y ≤12
}； ③若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}；
④若函数y ＝log 2x 的值域是{y |y ≤3}，则它的定义域是{x |0<x ≤8}．其中不正确的命题的序号是________．(注：把你认为不正确的命题的序号都填上)
7．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)<f (1－2m )，则m 的取值范围是_______．
8．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是________________．
9．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254
，－4]，则m 的取值范围是__________．
二、解答题
10．已知f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －8)≤2.
11．已知f (x )＝x x －a
(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．
12．函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )，且当x >0时有f (x )>0.
(1)求证：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f (1)＝1，解不等式f [log 2(x 2－x －2)]<2.
§2.3 函数的奇偶性
一、填空题
1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 008)＋f (2 009)的值为____．
2．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为____________．
3．已知函数f (x )＝g (x )＋2，x ∈[－3,3]，且g (x )满足g (－x )＝－g (x )，若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M ＋N ＝________.
4． f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝____________.
5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是______(填序号)． ①y ＝f (|x |); ②y ＝f (－x )；③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x .
6．若f (x )＝12x －1
＋a 是奇函数，则a ＝________________. 7．定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2 x (x ⊗2)－2
的奇偶性为_______． 8．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)
＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫52的值是________． 9．函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递增，则f (－1)，f (0)，f (2)的大小关系是________．
二、解答题
10．已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ，f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)恒成立．
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)已知f (3)＝2，求f (2 004)．
11．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R .
(1)试判断f (x )的奇偶性；
(2)若－12≤a ≤12
，求f (x )的最小值．
12．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.
(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论．
一、填空题
1．若0<x <1，则2x,2－x ，0.2x 的大小关系是________．
2．已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________． 3．函数y ＝2－|x |的单调增区间是______________．
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ， x <0，g (x )， x >0若f (x )是奇函数，则g (2)＝________. 5．若函数y ＝4x －3·2x ＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞，0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为________．
6．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是______．
7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2
，则a 的值是_______． 8．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )________f (c x )．(用“≤”，“≥”，“>”，“<”填空)
9．设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b ＝________.
二、解答题
10．要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．
11．设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立．
(1)求f (x )的解析式；
(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图 象关于直线y ＝x 对称，求h (x )；
(3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域．
12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝(13
)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．
(1)求h (a )；
(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件：
①m >n >3；
②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．
一、填空题
1．设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________．
2．函数y ＝lg x ＋lg(x －1)的定义域为A ，y ＝lg(x 2－x )的定义域为B ，则A 、B 的关系是________．
3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝_______.
4．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(3a －1)x ＋4a ， x <1，log a x ， x ≥1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是____________． 5．函数y ＝log 12x 2－3x ＋2)的递增区间是__________． 6．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．
7．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；
当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________. 8．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．
9．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________________．
二、解答题
10.已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在区间(－∞，－12
)上为增函数，求a 的取值范围．
11．已知函数y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．
12．已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b
(a >0，且a ≠1，b >0)． (1)求f (x )的定义域；
(2)讨论f (x )的奇偶性；
(3)讨论f (x )的单调性．
§2.6 幂函数
一、填空题
1．已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________.
2．设α∈{－2，－12，12，2}，则使函数y ＝x α为偶函数的所有α的和为____________． 3．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________________．
4．幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －5m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________．
5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x －1， x ≤0，x 12， x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________________．
6．函数y ＝(0.5x －8)－12
的定义域是______________． 7．若(a ＋1)－13<(3－2a )－13
，则a 的取值范围是______________． 8．给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函数值f (x 0)∈D ，则称函数y ＝f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0,1)，则函数
①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1；③f 3(x )＝1－x ；④f 4(x )＝x 12
， 其中在D 上封闭的是________．(填序号即可)
9．已知幂函数f (x )的图象经过点(18，24
)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)； ②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)；③f (x 1)x 1>f (x 2)x 2； ④f (x 1)x 1<f (x 2)x 2
. 其中正确结论的序号是________________．
二、解答题
10.已知幂函数y ＝x －12p 2＋p ＋32
(p ∈Z )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域内图象关于y 轴对称，求p 的值．
11．已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3
(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．
12．已知函数f (x )＝x 1＋x
， (1)画出f (x )的草图；
(2)由图象指出f (x )的单调区间；
(3)设a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c ，证明：f (a )＋f (b )＞f (c )．
§2.7 函数与方程
一、填空题
1．如果函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．
2．如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋2的一个零点是0，则另一个零点是________________．
3．用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
4x ________.
5．已知函数f (x )＝30a ＋b ＝________.
6．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是______________．
7．偶函数f (x )在区间[0，a ](a >0)上是单调函数，且f (0)·f (a )<0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．
8．关于x 的实系数方程x 2－ax ＋2b ＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在区间[1,2]上，则2a ＋3b 的最大值为________．
9．若关于x 的方程3tx 2＋(3－7t )x ＋4＝0的两实根α，β满足0<α<1<β<2，则实数t 的取值范围是______________．
二、解答题
10.已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围．
11． x 1与x 2分别是实系数方程ax 2＋bx ＋c ＝0和－ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，且x 1≠x 2，x 1≠0，
x 2≠0.求证：方程a 2
x 2＋bx ＋c ＝0有一个根介于x 1和x 2之间．
12．已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；
(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t .(视区间[a ，b ]的长度为b －a )
§2.8 函数模型及应用
一、填空题
1．计算机的价格大约每3年下降23
，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________．
2．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为
________．
3．某电信公司推出手机两种收费方式：A 种方式是月租20元，B
种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间(分钟)与打出
电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方
式电话费相差________．
4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了____________千米．
5．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的关系用如图所示曲线表示．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为________小时．
6．甲、乙二人沿同一方向从A 地去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2)，甲一
半的路程使用速度v 1，另一半的路程使用速度v 2；乙一半时间使用速度v 1，另一半的时间使用速度v 2.关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图中所示四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程)，则其中可能正确的图示分析为______________．
7．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水速度如图甲、乙所示，某天0点到6点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)：给出以下三个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水也不出水．
则一定正确的论断是________．
8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．
9．鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童，准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg 2x，则这三种门票的张数分别为______________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．
二、解答题
10．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；
(2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由．
11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
12.2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的
最高点距水面102
3
米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完
成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整
好入水姿势时距池边的水平距离为33
5
米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
第二编 解析
§2.1 函数及其表示
一、填空题
1． 解析 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2－3x ＋4≥0，
x ≠0，因此－4≤x ≤1且x ≠0.
答案 [－4,0)∪(0,1]
2．解析 y ＝1x
定义域为(0，＋∞)，f (x )＝ln x 定义域为(0，＋∞)，f (x )＝1
x 定义域为{x |x ≠0}．f (x )
＝|x |定义域为R ，f (x )＝e x 定义域为R . 答案 ①
3．解析 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2，当a ≤0时，2a ＝12
＝2－1
，∴a ＝－1.∴a ＝－1或 2.
答案 －1或 2
4．解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.
f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0. f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2. f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 6
5． 解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t ，因此f (t )＝1－
⎝⎛⎭⎫1－t 1＋t 21＋
⎝⎛⎭
⎫1－t 1＋t 2＝2t
1＋t 2，因此f (x )的解析式为f (x )
＝2x 1＋x 2
. 答案 f (x )＝2x
1＋x
2
6．解析 f (3)＝f (2＋1)＝－f (2)＝－f (1＋1)＝f (1)＝－1. 答案 －1
7．解析 设f (x )＝mx (m 是非零常数)，g (x )＝n x (n 是非零常数)，则φ(x )＝mx ＋n
x
，
由φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，得⎩
⎪⎨⎪⎧
16＝13m ＋3n 8＝m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3n ＝5.故φ(x )＝3x ＋5x .
答案 3x ＋5
x
8． 解析 首先求出该函数的解析式．当0≤t ≤1时，如下图甲所示，有f (t )＝S △MON ＝3
2
t 2.
当1≤t <2时，如下图乙所示，
有f (t )＝S △AOB －S △MNB ＝－32
(2－t )2＋3，.)
21(3
)2(23)
10(2
3)(2
2
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧≤<+--≤≤=∴t t t t t f
答案 ④
9． 解析 对于函数f (x )＝sin 2x ，它只通过一个整点(0,0)，故它是一阶整点函数；对于函数g (x )＝x 3，当x ∈Z 时，一定有g (x )＝x 3∈Z ，即函数g (x )＝x 3通过无数个整点，它不是一阶
整点函数；对于函数h (x )＝(13
x
，当x ＝0，－1，－2，…时，h (x )都是整数，故函数h (x )通过
无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x )＝ln x ，它只通过一个整点(1,0)，故它是一阶整点函数． 答案 ①④
二、解答题
10． 解 (1)∵f (x )的定义域为[0,4]，
①f (x 2)以x 2为自变量，∴0≤x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故f (x 2)的定义域为[－2,2]．
②f (x ＋1)＋f (x －1)以x ＋1，x －1为自变量，于是有⎩
⎪⎨⎪
⎧
0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x
－1)的定义域为[1,3]．
(2)∵f (x 2)的定义域为[0,4]，∴0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16，故f (x )的定义域为[0,16]．
11． 解 设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [g (x )]＝(ax ＋b )2－2(ax ＋b )＋1＝a 2x 2＋(2ab －2a )x ＋b 2－2b ＋1＝4x 2.∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝4，2ab －2a ＝0，b 2－2b ＋1＝0.解得a ＝±2，b ＝1.∴g (x )＝2x ＋1或g (x )＝－2x ＋1.
12． 解 (1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 000
50
＝12，所以这
时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为
f (x )＝⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 000
50×50，整理得
f (x )＝－x 250＋162x －21 000＝－1
50
(x －4 050)2＋307 050.
∴当x ＝4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)＝307 050. 答 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆车；
(2)当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．
§2.2 函数的单调性及最大（小）值
一、填空题
1． 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，令u (x )＝－x 2
＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －
322＋254的减区间为
⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎭
⎫32，4.
答案 [3
2
，4)
2． 解析 由f (x )＝2－|x |≤1
2
得－|x |≤－1，∴|x |≥1.∴x ≥1或x ≤－1.
∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－|x |
，x ≥1或x ≤－1，12
，－1<x <1.当x ∈(1，＋∞)时，f K (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫1
2x ，在(1，＋∞)上为减
函数．当x ∈(－∞，－1)时，f K (x )＝2x
，在(－∞，－1)上为增函数．
答案 (－∞，－1)
3． 解析 由题意f (1x )>f (1)，1
x <1，即1－x x
<0，∴x >1或x <0.
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
4． 解析 ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2
－a ＋1)≤f (34)．
答案 f (a 2－a ＋1)≤f (3
4)
5． 解析 由f (x )＝－x 2
＋2ax 得对称轴为x ＝a ，在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，
又由g (x )＝a
x ＋1
在[1,2]上是减函数，所以a >0，综合得a 的取值范围为(0,1]．
答案 (0,1]
6．解析 ①x ≤0，y ＝2x ∈(0,1]；②x >2，y ＝1x ∈(0，1
2
)；③y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，但
它的定义域不一定是{x |－2≤x ≤2}；④y ＝log 2x ≤3，∴0<x ≤8，故①②③错，④正确． 答案 ①②③
7． 解析 依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
－2<m －1<2－2<1－2m <2m －1<1－2m
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
－1<m <3
－12<m <32m <23
⇒－12<m <2
3
.
答案 ⎝⎛⎭
⎫－12，2
3
8． 解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴(m －1)x 2－mx ＋3＝(m －1)x 2＋mx ＋3，∴m ＝0.
这时f (x )＝－x 2
＋3，∴单调减区间为[0，＋∞). 答案 [0，＋∞)
9． 解析 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254，∴f (32)＝－25
4
f (0)＝－4，故由二次函数图
象可知⎩
⎨⎧
3
2≤m ，m －32≤3
2－0.
解得3
2≤m ≤3.
答案 [3
2
，3]
二、解答题
10．解 根据题意，由f (3)＝1，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.又f (x )＋f (x －8)＝f [x (x －8)]，
故f [x (x －8)]≤f (9)．∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －8>0，
x (x －8)≤9，
解得8＜x ≤9.
∴原不等式的解集为{x |8<x ≤9}．
11． (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x
2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)
. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2
x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )
.
∵a >0，x 2－x 1>0，
∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述，0<a ≤1.
12．(1)证明 设x 2>x 1，则x 2－x 1>0.
∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)， 故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)解 ∵f (1)＝1，
∴2＝1＋1＝f (1)＋f (1)＝f (2). 又f [log 2(x 2－x －2)]<2， ∴f [log 2(x 2－x －2)]<f (2)． ∴log 2(x 2－x －2)<2，
于是⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2<4.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x <－1或x >2，－2<x <3， 即－2<x <－1或2<x <3.
∴原不等式的解集为{x |－2<x <－1或2<x <3}．
§2.3 函数的奇偶性
一、填空题
1． 解析 f (－2 008)＋f (2 009)＝f (2 008)＋f (2 009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1. 答案 1
2． 解析 设x <0，则－x >0，由f (x )为奇函数知
f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2
－2x .∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x (x ≥0)，－x 2
－2x (x <0). 即f (x )＝x (|x |－2)．
答案 f (x )＝x (|x |－2)
3．解析 因为g (x )是奇函数，故f (x )关于(0,2)对称，所以M ＋N ＝4. 答案 4
4．解析 令G (x )＝F (x )－2＝3f (x )＋5g (x )，故G (x )是奇函数，又⎩
⎪⎨⎪⎧
G (a )＝F (a )－2，
G (－a )＝F (－a )－2，
解得F (－a )＝－b ＋4.
答案 －b ＋4
5．解析 ∵f (x )的定义域为R ，∴f (|－x |)＝f (|x |)，∴y ＝f (|x |)是偶函数；
令F (x )＝f (－x )，则F (－x )＝f (x )＝－f (－x )＝－F (x )，∴F (x )是奇函数，∴②是奇函数； 令M (x )＝x ·f (x )，则M (－x )＝－x ·f (－x )＝x ·f (x )＝M (x )，∴M (x )是偶函数；
令N (x )＝f (x )＋x ，则N (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ]＝－N (x )，∴N (x )是奇函数，故②、④是奇函数． 答案 ②④
6．解析 ∵f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－1
2x －1－a ，∴2x ＋a －a ·2x 1－2x ＝－1－a ·2x ＋a 2x －1
，
∴(a －1)2x －a ＝－a ·2x
＋(a －1)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1＝－a ，－a ＝a －1，∴a ＝12.
答案
1
2
7． 解析 由题意知：f (x )＝4－x
2(x －2)2－2
＝4－x
2
|x －2|－2，定义域为[－2,0)∪(0,2]，
∴f (x )＝4－x 2－x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]．又∵f (－x )＝4－x 2
x
＝－f (x )．
∴函数f (x )为奇函数． 答案 奇函数
8． 解析 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )可得32f ⎝⎛52＝52f ⎝⎛⎭⎫32，12⎝⎛⎭⎫32＝32f ⎝⎛⎭
⎫
12，
－12f ⎝⎛⎭⎫12＝12f ⎝⎛⎭
⎫－12.又∵f
⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f ⎝⎛⎭⎫32＝0，f ⎝⎛⎭⎫52＝0. 又∵－1·f (－1＋1)＝(1－1)f (－1)， ∴－f (0)＝0f (－1)＝0.∴f (0)＝0，
∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝f (0)＝0. 答案 0
9． 解析 ∵f (x )是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，又∵y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )向右平移2个单位得到的，而y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递增，∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，∴f (－1)＝f (1)且f (0)>f (1)>f (2)，∴其大小关系为f (0)>f (－1)>f (2)．
答案 f (0)>f (－1)>f (2)
二、解答题
10． (1)证明 ∵f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)，∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，
则f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f (x ＋1)－f (x )＝f (x )－f (x －1)－f (x )＝－f (x －1)． ∴f (x ＋3)＝f [(x ＋1)＋2]＝－f [(x ＋1)－1]＝－f (x )． ∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )． ∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期．
(2)解 f (2 004)＝f (334×6)＝f (0)＝－f (3)＝－2.
11． 解 (1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )， 此时，f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )， 此时，f (x )为非奇非偶函数．
(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋3
4
，
∵a ≤1
2
，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，
从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.
当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2
＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34
， ∵a ≥－1
2
，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )
＝a 2＋1.
综上得，当－12≤a ≤1
2
时，函数f (x )的最小值为a 2＋1.
12． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )＝f (4－x )
f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)，
从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10.
又f (3)＝f (1)＝0，而f (7)≠0，故f (－3)≠0. 故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数．
(2)由(1)知y ＝f (x )的周期为10.又f (3)＝f (1)＝0， f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，
故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2 005]上有402个解，在[－2 005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 005,2 005]上有802个解．
§2.4 指数与指数函数
一、填空题
1． 解析 取x ＝12，则212＝2，2－12＝22，0.212＝0.2，∴2>2
2
>0.2，即2x >2－x >0.2x .
答案 2x >2－x >0.2x
2． 解析 ∵0<a ＝5－12
<1，∴函数f (x )＝a x
在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m <n .
答案 m <n
3． 解析 画出函数y ＝2－|x |
＝⎩⎨⎧
2－x x ≥02x x <0
的图象，如图．
答案 (-∞，0]
4．解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＝－f (2)∴f (2)＝－14，又∵f (2)＝g (2)，∴g (2)＝－1
4
.
答案 －1
4
5． 解析 因为y ＝4x －3·2x
＋3的值域为[1,7]，
所以1≤(2x )2－3·2x ＋3≤7，所以x ≤0或1≤x ≤2. 答案 A ＝B
6．解析f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x
在区间[1,2]上都是减函数，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤1，a ＋1>1.故0<a ≤1.
答案 (0,1]
7． 解析 当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝3
2
当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12a ＝3
2
.
答案 12或3
2
8．解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )．∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2又f (0)＝3，∴c ＝3， ∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x
)，
若x <0，则3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )，∴f (3x )≥f (2x )．
答案 ≤
9．解析 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)
上是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝0
b ＝1，所以有a ＋b ＝1.
答案 1
二、解答题
10． 解 由题意得1＋2x
＋4x
a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2
x
4
x 在x ∈(－∞，1]
上恒成立．
又∵－1＋2x 4
x ＝－⎝⎛⎭⎫122x －⎝⎛⎭⎫12x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋122＋14，∵x ∈(－∞，1]，∴⎝⎛⎭⎫12x ∈⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞.
令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14，t ∈⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞，
则f (t )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为减函数， f (t )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫12＋122＋14＝－34，即f (t )∈⎝⎛⎦
⎤－∞，－34. ∵a >f (t )，在[12
，＋∞)上恒成立，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－34，＋∞
. 11． 解 (1)由f (0)＝2，得b ＝1，
由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0，
由a x >0得a ＝2，所以f (x )＝2x
＋1.
(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.
设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )应该在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)．
(3)由已知得y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[5
4
，2]，所以函数y ＝g (x )
＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[5
4
，2])．
由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[5
4
，2]上均为增函数，
因此当x ＝5
4
时，y ＝242－1，
当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[5
4
，2])的值域为[242－1,5]．
12． 解 (1)因为x ∈[－1,1]，所以(13)x ∈[1
3
，3]．
设(13)x ＝t ，t ∈[1
3，3]，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，h (a )＝φ(13)＝289－2a 3；
当1
3
≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
289－2a 3 (a <13
)3－a 2
(13
≤a ≤3)12－6a (a >3)
.
(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .
因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得
m
＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在．
§2.5 对数与对数函数
一、填空题
1． 解析 ∵a ＝log 3π>1，b ＝12log 23<1，c ＝12log 32<1，∴a >b ，a >c .又log 23log 32＝lg 2
3
lg 22
>1，
∴b >c ，∴a >b >c . 答案 a >b >c
2． 解析 由已知得⎩⎨⎧
x >0
x －1>0
，∴A ＝{x |x >1}，由x 2－x >0得x >1或x <0，∴B ＝{x |x >1或
x <0}，∴A B .（ 表包含于） 答案 A B
3．解析 由y ＝a x 得，x ＝log a y ，即f (x )＝log a x ，由于a ＝log a a ＝12，因此f (x )＝log 12
x .
答案 log 1
2
x
4． 解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <13a －1<0(3a －1)＋4a ≥0
，解得17≤a <1
3
.
答案 [17，1
3
)
5． 解析 由x 2－3x ＋2>0得x <1或x >2，当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2－3x ＋2单调递减，
而0<12<1，由复合函数单调性可知y ＝log 1
2(x 2－3x ＋2)在(－∞，1)上是单调递增的，在(2，
＋∞)上是单调递减的． 答案 ()－∞，1
6． 解析 log 3(x 2－10)＝log 33x .∴x 2－10＝3x .∴x 2－3x －10＝0.
∴x ＝－2或x ＝5.检验知x ＝5适合． 答案 5 7．解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)．又因为3＋log 23>4，
故f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·13＝124.
答案 1
24
8． 解析 ∵y ＝a x
与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性． ∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，
∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝1
2
.
答案 1
2
9． 解析 设t ＝lg(x 2－2x ＋3)＝lg[(x －1)2
＋2]． 当x ＝1时，t min ＝lg 2.
又函数y ＝f (x )有最大值，所以0<a <1.
由log a (x 2－5x ＋7)>0，得0<x 2－5x ＋7<1， 解得2<x <3.故不等式解集为{x |2<x <3}． 答案 (2,3)
二、解答题
10. 解 令g (x )＝x 2
－ax －a .
∵f (x )＝log 12g (x )在(－∞，－12)上为增函数，∴g (x )应在(－∞，－1
2
)上为减函数且g (x )>0
在(－∞，－1
2)上恒成立．因此⎩
⎨⎧
a 2≥－1
2g (－12
)>0
，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥－114＋a 2－a >0.
解得－1≤a <1
2
，
故实数a 的取值范围是－1≤a <1
2
.
11． 解 因为μ(x )＝x 2
－2ax －3在(－∞，a ]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，
要使y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0＜a 2＜1，
即0＜a ＜1或－1＜a ＜0，且有 ⎩
⎪⎨⎪⎧
μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，
得－1
4
≤a ＜0或0＜a ＜1.
12．解 (1)由x ＋b
x －b
>0⇒(x ＋b )(x －b )>0.
解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．
(2)∵f (－x )＝log a ⎝⎛⎭
⎫
－x ＋b －x －b
＝log a ⎝⎛⎭⎫x －b x ＋b ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋b x －b －1
＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数．
(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则u (x )＝1＋2b
x －b
.
它在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．
∴当0<a <1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数； 当a >1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．
§2.6 幂函数
一、填空题
1．解析 由已知得2＝4α
，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，∴log 2f (2)＝log 2212＝12
.
答案 1
2
2． 解析 符合题意的α为－2和2，则－2＋2＝0.
答案 0
3． 解析 由指数函数y ＝0.8x 知，∵0.7<0.9，∴0.80.9<0.80.7<1，
即b <a ，又c ＝1.20.8>1，∴b <a <c .
答案 b <a <c
4． 解析 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－m －1＝1，
－5m －3<0.∴m ＝2.
答案 2
5． 解析 f (x 0)>1，当x 0≤0时，2－x 0－1>1，
即2－x 0>2，－x 0>1，∴x 0<－1；
当x 0>0时，x 1
2
0>1，∴x 0>1.综上，x 0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
6． 解析 由题意知0.5x
－8>0，即(12
)x >8，
即2－x >23
，∴－x >3，则x <－3. 答案 (－∞，－3)
7． 解析 ∵(a ＋1)－13<(3－2a )－1
3
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a
或⎩⎪⎨
⎪⎧
3－2a >0a ＋1<0
解之得23<a <3
2或a <－1.
答案 23<a <3
2
或a <－1
8．解析 ∵f 1⎝⎛⎭⎫
13＝0∉(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭．
∵f 2(x )＝－12x 2－1
2
x ＋1在(0,1)上是减函数，
∴0＝f 2(1)<f 2(x )<f 2(0)＝1，∴f 2(x )适合． ∵f 3(x )＝1－x 在(0,1)上是减函数，
∴0＝f 3(1)<f 3(x )<f 3(0)＝1，∴f 3(x )适合．
又∵f 4(x )＝x 1
2
在(0,1)上是增函数，且0＝f 4(0)<f 4(x )<f 4(1)＝1，∴f 4(x )适合．
答案 ②③④
9． 解析 依题意，设f (x )＝x α，则有(18)α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝12，于是f (x )＝x 1
2
.
由于函数f (x )＝x 1
2
在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而
有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f (x 1)x 1，f (x 2)
x 2
分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数
图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f (x 1)x 1>f (x 2)
x 2
，所以③正确．
答案 ②③
二、解答题
10. 解 由题意知：－12p 2＋p ＋32＝－12
(p －1)2
＋2.
因为p ∈Z ，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域上为偶函数，所以p ＝1.
11． 解 由条件知1－n 2＋2n ＋3
>0，即－n 2
＋2n ＋3>0，
解得－1<n <3.又n ＝2k ，k ∈Z ，
∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 1
3
.
∴f (x )在R 上单调递增．
∴f (x 2－x )>f (x ＋3)，∴x 2
－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
12．解(1) 由x
x x f +=
1)(得
.1
11)(+-
=x x f
∴f (x )的图象可由x y 1-=的图象向左平移1个
单位，再向上平移1个单位得到如图． (2) 由图象知(－∞，－1)，(－1，＋∞) 均为f (x )的单调增区间．
(3)证明 ∵f (x )在(－1，＋∞)为增函数， a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ＞0，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b
＞0，a ＋b ＞c ＞0， ∴f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b ＞c
1＋c
＝f (c )，
∴f (a )＋f (b )＞f (c )．
§2.7 函数与方程
一、填空题
1．解析 方程x 2＋mx ＋(m ＋3)＝0有两个不同的根⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，∴m >6或m <－2. 答案 (－∞，－2)∪(6，＋∞)
2． 解析 依题意知：m ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x ，
∴方程x 2－2x ＝0的另一个根为2，即另一个零点是2. 答案 2
3． 解析 令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－5
8
<0，
由f (32)f (2)<0知根所在区间为(3
2
，2)．
答案 (3
2
，2)(说明：写成闭区间也对)
4．解析 令f (x )＝e x
－x －2，由表知f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，
∴方程e x
－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)． 答案 (1,2)
5．解析 ∵b －a ＝1，a ，b ∈N *，f (1)＝4－5＝－1<0，f (2)＝6>0，∴f (1)f (2)<0，∴a ＋b ＝3. 答案 3 6． 解析 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)
有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图1可知，当 0<a <1时两函数只有一个交点，不符合；由图2知，当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)与y 轴交于点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所 以实数a 的取值范围是a >1.
答案 a >1
7． 解析 由f (0)·f (a )<0，且f (x )在[0，a ](a >0)上单调知f (x )＝0在[0，a ]上有一根， 又函数f (x )为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根． 答案 2
8． 解析 令f (x )＝x 2
－ax ＋2b ，据题意知函数在[0,1]，[1,2]内各存在一零点，结合二次函
数图象可知满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
f (0)≥0f (1)≤0
f (2)≥0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
b ≥01－a ＋2b ≤0
4－2a ＋2b ≥0
，在直角坐标系中作出满足不等式的点
(a ，b )所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数：z ＝2a ＋3b 的最优解，结合图形可知
当a ＝3，b ＝1时，目标函数取得最大值9. 答案 9
9．解析 依题意，函数f (x )＝3tx 2
＋(3－7t )x ＋4的两个零点α，β满足0<α<1<β<2，且函数f (x ) 过点(0,4)，则必有⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
4>03t ＋3－7t ＋4<012t ＋6－14t ＋4>0，解得74
<t <5.
答案
7
4
<t <5
二、解答题
10. 解 二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1]
内的任意一个x 都有f (x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (－1)≤0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
4－2(p －2)－2p 2
－p ＋1≤0
4＋2(p －2)－2p 2
－p ＋1≤0整理得⎩⎪⎨⎪⎧
2p 2
＋3p －9≥02p 2－p －1≥0
，解得p ≥32或p ≤－3.∴二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，
使f (c )>0的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫
－3，32.
11． 证明 由于x 1与x 2分别是方程ax 2＋bx ＋c ＝0和－ax 2
＋bx ＋c ＝0的根，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
ax 21＋bx 1＋c ＝0，－ax 2
2＋bx 2＋c ＝0. 设f (x )＝a 2x 2＋bx ＋c ，则f (x 1)＝a 2x 21＋bx 1＋c ＝－a 2x 21，f (x 2)＝a 2x 22＋bx 2＋c ＝3a 2
x 2
2.
于是f (x 1)f (x 2)＝－34
a 2x 21x 2
2，由于x 1≠x 2，x 1≠0，x 2≠0，所以f (x 1)f (x 2)<0，
因此方程a 2
x 2
＋bx ＋c ＝0有一个根介于x 1和x 2之间．
12．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，
∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有
⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (－1)≥0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
1－16＋q ＋3≤01＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8. ①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，
解得t ＝15±17
2，∴t ＝15－172
；
②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；
③当8<t <10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小， ∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0， 解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.
综上可知，存在常数t ＝15－17
2
，8,9满足条件．
§2.8 函数模型及应用
一、填空题
1． 解析 9年后的价格大约是8 100×(13
)3
＝300元．
答案 300元
2． 解析 所倒次数1次，则y ＝19所倒次数2次，则y ＝19×19
20
……
所倒次数x 次，则y ＝19(1920)x －1＝20(1920
)x
.
答案 y ＝20(1920
)x
3． 解析 如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为
线段BD 的长度，根据相似三角形的性质可得BD 20＝50
100
，∴BD ＝10.
答案 10元
4． 解析 设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意得， f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
8＋1， 0<x ≤39＋(x －3)×2.15， 3<x ≤8
9＋5×2.15＋(x －8)×2.85， x >8，令f (x )＝22.6，解得x ＝9.
答案 9
5．解析 本小题考查函数与不等式．由图知.25.0)(,0,)
2
1(10,
4)(3
≥⎪⎩⎪
⎨⎧>≤≤=-t f t
t t t f t 则
解之得.5161
≤≤t .
答案16
15
4
6．解析 因为开始时甲、乙的速度是相同的，所以其图象的前一段是重合的，故排除③④； 又v 1<v 2，反映在图象上即后一段的增长率大于前一段的增长率，图象增长得快，只有①符合题意． 答案 ① 7
． 解析 从丙图可知在0点到3点，蓄水量由0增加到6，因此是两个进水口同时打开了， 且出水口没有打开，故①正确；从3点到4点，蓄水量由6减少到5，减少了1，所以是一个进水口和一个出水口同时打开了，故②错误；从4点到6点，蓄水量不变，由于题设。