北京市一零一实验学校2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题含解析

北京市一零一实验学校2020-2021学年高二数学下学期期末考试试
题（含解析）
一、选择题（共10小题）.
1．若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）
A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B
2．下列数列中，156是其中一项的是（）
A．{n2+1} B．{n2﹣1} C．{n2+n} D．{n2+n﹣1}
3．已知x＝
51 2
log，y＝（）0.1，z＝1
3
2，则（）
A．x＜y＜z B．x＜z＜y C．y＜x＜z D．z＜x＜y
4．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0 5．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（）A．16 B．25 C．9 D．36
6．设a∈R，若关于x的不等式x2﹣ax+1≥0在区间[1，2]上有解，则（）A．a≤2 B．a≥2 C．a≥D．a≤
7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）
A．B．[1，2] C．D．（0，2]
8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列结论正确的是（）A．S11＞0 B．S12＜0 C．S13＞0 D．S8＞S6
9．已知函数f（x）＝，若关于x的额方程a＝f（x）恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
10．关于函数f（x）＝sin x﹣x cos x，下列说法错误的是（）
A．f（x）是奇函数
B．0不是f（x）的极值点
C．f（x）在，上有且仅有3个零点
D．f（x）的值域是R
二、填空题共5小题
11．若集合A＝{x|﹣1≤2x+1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝．
12．写出“”成立的一个充分不必要条件．
13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出
x 1 2 3
f（x） 1 3 1
x 1 2 3
g（x） 3 2 1
则满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x为．
14．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．
15．数列{a n}中，如果存在a k，使得“a k＞a k﹣1且a k＞a k+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称
a k为{a n}的一个峰值．
（1）若，则{a n}的峰值为；
（2）若，且{a n}不存在峰值，则实数t的取值范围是．
三、解答题共4小题。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
16．已知函数f（x）＝x2+a，（x∈R）．
（1）对∀x1，x2∈R比较与的大小；
（2）若x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|≤1，试求实数a的取值范围．
17．已知等比数列{a n}的首项为2，等差数列{b n}的前n项和为S n，且a1+a2＝6，2b1+a3＝b4，S3＝3a2．
（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和．
18．已知函数是奇函数，且．
（1）求实数m，n的值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+1，函数y＝g（x）在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的单调区间及最值．
19．若函数f（x）满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f（s）≥0，f（t）≥0，且f（s）+f（t）≤f（s+t），则称函数f（x）为“T函数”．
（1）试判断函数与f2（x）＝ln（x+1）是否为“T函数”，并说明理由；
（2）设函数f（x）为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞），使f（f（x0））＝x0，求证：f（x0）＝x0；
（3）试写出一个“T函数”，满足f（2）＝4，且使集合{y|y＝f（x），0≤x≤2}中元素最少（只需写出你的结论）．
参考答案
一、选择题共10小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）
A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B
解：∵∁R A＝{x|x≥1}，∁R B＝{x|x≤﹣1}，∴∁R A⊆B，
故选：D．
2．下列数列中，156是其中一项的是（）
A．{n2+1} B．{n2﹣1} C．{n2+n} D．{n2+n﹣1}
【解答】解；根据题意，依次分析选项：
对于A，若数列为{n2+1}，则有n2+1＝156，无正整数解，不符合题意；
对于B，若数列为{n2﹣1}，则有n2﹣1＝156，无正整数解，不符合题意；
对于C，若数列为{n2+n}，则有n2+n＝156，解可得n＝12或﹣13（舍），有正整数解n ＝12，符合题意，
对于D，若数列为{n2+n﹣1}，则有n2+n﹣1＝156，无正整数解，不符合题意；
故选：C．
3．已知x＝
51 2
log，y＝（）0.1，z＝1
3
2，则（）
A．x＜y＜z B．x＜z＜y C．y＜x＜z D．z＜x＜y
解：∵x＝
51 2
log＜log51＝0，
0＜y＝（）0.1＜
z＝1
3
2＞20＝1，
∴x＜y＜z．
故选：A．
4．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0 解：因为c＜b＜a，且ac＜0，所以a＞0，c＜0，
对于A，a＞0，b﹣c＞0，所以ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，所以ab＞ac，故A正确；
对于B，c（b﹣a）＞0，故B错误；
对于C，当b＝0时，cb2＝ab2，故C错误；
对于D，ac＜0，a﹣c＞0，所以ac（a﹣c）＜0，故D正确．
故选：BC．
5．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（）A．16 B．25 C．9 D．36
解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝8，
∴（1+x）（1+y）＝1+（x+y）+xy＝9+xy≤9+＝9+16＝25，
当且仅当x＝y＝5时，取等号，
∴（1+x）（1+y）的最大值为25．
故选：B．
6．设a∈R，若关于x的不等式x2﹣ax+1≥0在区间[1，2]上有解，则（）A．a≤2 B．a≥2 C．a≥D．a≤
解：∵关于x的不等式x2﹣ax+1≥0在区间[1，2]上有解，
∴，在x∈[1，2]上有解⇔，x∈[1，2]．
∵函数f（x）＝，在[1，2]上单调递增，
∴，∴a≤．
故选：D．
7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）
A．B．[1，2] C．D．（0，2]
解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（）＝f（﹣log2a）＝f（log2a），
则f（log2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，
则a的取值范围是[，2]，
故选：A．
8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列结论正确的是（）A．S11＞0 B．S12＜0 C．S13＞0 D．S8＞S6
解：由{a n}是等差数列且S6＞S7，得a7＜0，又S7＞S5，得a6+a7＞0，所以a6＞0，
即当n≤6时，a n＞0；当n≥7时，a n＜0，则S11＝11a6＞0，所以选项A正确；
S12＝（a1+a12）＝6（a6+a7）＞0，所以选项B错误；S13＝13a7＜0，所以选项C错误，S8﹣S6＝a7+a8＜0，所以S8＜S6，选项D错误．
故选：A．
9．已知函数f（x）＝，若关于x的额方程a＝f（x）恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
解：作出f（x）的图象如图所示：
当x≤1时，＜f（x）≤f（0）＝，
又f（1）＝1，
又因为x＞1时，f（x）＝﹣（x﹣2）2＝2，
此时f（x）最大值为2，
所以当＜a＜1或＜a＜2时，方程a＝f（x）恰有两个不同的实数根，
故选：C．
10．关于函数f（x）＝sin x﹣x cos x，下列说法错误的是（）
A．f（x）是奇函数
B．0不是f（x）的极值点
C．f（x）在，上有且仅有3个零点
D．f（x）的值域是R
解：对于A：由f（﹣x）＝sin（﹣x）+x cos（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，A 对；
对于B，f（x）＝sin x﹣x cos x，f′（x）＝cos x﹣cos x﹣x sin x＝﹣x sin x，当x＝0时，f（x）＝0，f′（x）＝0，0不是f（x）的极值点．B对．
对于C：f（x）＝sin x﹣x cos x，f′（x）＝cos x﹣cos x+x sin x＝x sin x，可得在（，0）上单调递减．（0，）上单调递增．f（0）可得最小值，f（0）＝0，所以，f（x）在，上不是3个零点．C不对；
对于D：当x无限大或无线小时，可得f（x）的值域为R，D对．
故选：C．
二、填空题共5小题
11．若集合A＝{x|﹣1≤2x+1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝{x|0＜x≤1} ．解：∵A＝{x|﹣1≤2x+1≤3}，由不等式﹣1≤2x+1≤3解得，x∈[﹣1，1]，
∴A＝{x|﹣1≤x≤1}，
∵B＝{x|≤0}，不等式等价为：，
解得x∈（0，2]，∴B＝{x|0＜x≤2}，
所以，A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}∩{x|0＜x≤2}＝{x|0＜x≤1}，
即，A∩B＝{x|0＜x≤1}，
故答案为：{x|0＜x≤1}．
12．写出“”成立的一个充分不必要条件x＜﹣1（答案不唯一）．解：由，得，可得x＜0，
∴“”成立的一个充分不必要条件是x＜﹣1（答案不唯一）．
故答案为：x＜﹣1（答案不唯一）．
13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出
x 1 2 3
f（x） 1 3 1
x 1 2 3
g（x） 3 2 1
则满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x为 2 ．
解：∵当x＝1时，f[g（1）]＝1，g[f（1）]＝g（1）＝3不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x＝2时，f[g（2）]＝f（2）＝3，g[f（2）]＝g（3）＝1满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x＝3时，f[g（3）]＝f（1）＝1，g[f（3）]＝g（1）＝3不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，故满足，f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2，
故答案为：2．
14．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是[，+∞）．
解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；
x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．
故只需0≥﹣m⇒m≥．
故答案为：[）．
15．数列{a n}中，如果存在a k，使得“a k＞a k﹣1且a k＞a k+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称
a k为{a n}的一个峰值．
（1）若，则{a n}的峰值为10 ；
（2）若，且{a n}不存在峰值，则实数t的取值范围是（﹣∞，6] ．解：（1）因为二次函数y＝﹣3x2+11x在x＝＝时有最大值，又n∈N+，所以当n＝2时，有a2＝﹣3×4+11×2＝10为数列{a n}的峰值；
（2）由{a n}不存在峰值，得a n＝﹣3n2+tn是递减数列，所以对称轴n＝≤1，解得t≤6，所以实数t的取值范围是（﹣∞，6]．
故答案为：（1）10；（2）（﹣∞，6]．
三、解答题共4小题。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
16．已知函数f（x）＝x2+a，（x∈R）．
（1）对∀x1，x2∈R比较与的大小；
（2）若x∈[﹣1，1]时，有|f（x）|≤1，试求实数a的取值范围．
解：（1）对∀x1，x2∈R，由﹣＝，得≥．
（2）由于|f（x）|≤1，等价于﹣1≤f（x）≤1，等价于﹣1≤x2+a≤1，等价于﹣x2﹣1≤a≤﹣x2+1在[﹣1，1]上恒成立，
所以，只须，求得﹣1≤a≤0，所以所求实数a的取值范围是[﹣1，0]．
17．已知等比数列{a n}的首项为2，等差数列{b n}的前n项和为S n，且a1+a2＝6，2b1+a3＝b4，S3＝3a2．
（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和．
解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d．
由a1+a2＝6，得a1+a1q＝6．因为a1＝2，所以q＝2．
所以．
由得解得
所以b n＝b1+（n﹣1）d＝3n﹣2．………..
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n＝3n﹣2．
所以．
从而数列{c n}的前n项和＝＝6×2n﹣2n﹣6．．
18．已知函数是奇函数，且．
（1）求实数m，n的值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+1，函数y＝g（x）在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的单调区间及最值．
解：（1）函数是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
即＝，
可得﹣x+n＝﹣x﹣n，即n＝0，
又，可得＝，
解得m＝1，
所以m＝1，n＝0；
（2）f（x）＝，g（x）＝x﹣+1的导数为g′（x）＝1+，
函数y＝g（x）在点处的切线斜率为1+，
且g（t）＝t﹣+1，
则切线的方程为y﹣（t﹣+1）＝（1+）（x﹣t），
令x＝0，可得y＝1﹣；令y＝0，可得x＝．
所以S（t）＝|1﹣|•||＝•（t≥），
S′（t）＝，
可得≤t＜2时，S′（t）＜0，S（t）递减；当t≥2时，S′（t）＞0，S（t）递增．
则S（t）的增区间为[2，+∞），减区间为[，2）；
S（t）的极小值为S（2）＝0，且为最小值0．
19．若函数f（x）满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f（s）≥0，f（t）≥0，且f（s）+f（t）≤f（s+t），则称函数f（x）为“T函数”．
（1）试判断函数与f2（x）＝ln（x+1）是否为“T函数”，并说明理由；
（2）设函数f（x）为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞），使f（f（x0））＝x0，求证：f（x0）＝x0；
（3）试写出一个“T函数”，满足f（2）＝4，且使集合{y|y＝f（x），0≤x≤2}中元素最少（只需写出你的结论）．
解：（1）f1（x）＝x2是“T函数”，f2（x）＝ln（x+1）不是“T函数”，
因为对于函数f1（x）＝x2，
当s，t∈[0，+∞）时，都有f1（s）≥0，f1（t）≥0，
又f1（s）+f1（t）﹣f1（s+t）＝s2+t2﹣（s+t）2＝﹣2st≤0，
所以f1（s）+f1（t）≤f1（s+t），所以f1（x）＝x2是“T函数”．
对于函数f2（x）＝ln（x+1），
当s＝t＝2时，f2（s）+f2（t）＝ln9，f2（s+t）＝ln4，
因为ln9＞ln4，
所以f2（s）+f2（t）＞f2（s+t），
所以f2（x）＝ln（x+1）不是“T函数”．
（2）证明：设x1，x2∈[0，+∞），x2＞x1，x2＝x1+△x，△x＞0，
则f2（x）﹣f1（x）＝f（x1+△x）﹣f（x1）≥f（x1+△x﹣x1）＝f（△x）≥0，
所以对于x1，x2∈[0，+∞），x2＞x1，一定有f（x1）≤f（x2），
因为f（x）是“T函数”，x0∈[0，+∞），所以f（x0）≥0，
若f（x0）＞x0，则f（f（x0））≥f（x0）＞x0，不符合题意，
若f（x0）＜x0，则f（f（x0））≤f（x0）＜x0，不符合题意，
所以f（x0）＝x0．
（3）f（x）＝，答案不唯一．
理由：若f（s）＝0，f（t）＝0，则f（s）+f（t）＝0≤f（s+t），
若f（s）＝0，f（t）＝t2，s∈[0，2），t∈[2，+∞），则f（s）+f（t）＝t2≤f（s+t）＝（s+t）2，
又f（2）＝4，
集合{y|y＝f（x），0≤x≤2}＝{0，4}元素最少．。