流动阻力与水头损失

Π定理
充要条件 方法
n个物理量
m个独立
基 本量
选m个独立
基本量
组成n-r个
独立Π数
量纲分析方法等
n-m个导出量
F(x1 ， x 2 ，x 3, ……, x n )=0 选取m个基本量 (1, 2 ,, nm ) 0
1. 一般步骤：以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量。
FD f ( , V , d , )
s KGa g bt c
（2）将上式写成量纲方程：
L MLT2 a LT 2 b T c
（3）据物理方程量纲一致性：
M：0＝a
a＝0
L：1＝a＋b
b ＝1
T：0＝－2a－2b+c
c＝2
s KG0g1t 2 Kgt2
4.2 П定理 提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础 的是布金汉（E.Buckingham,1914):
粘度系数
dim v LT 1 dim Q L3T 1
dim g LT 2 dim m MT 1
dim ML3
dim ML2T 2
dim F MLT 2
dim L ML2T 2
dim p dim dim K ML1T 2
dim ML1T 1
结论： 沿程损失与流动状态有关，故
计算各种流体通道的沿程损失，必 O 须首先判别流体的流动状态。
D
C B
A
lgvc lgv’c lgv
实验发现
v vc v vc
lghf
流动较稳定 流动不稳定
D
C
B A
临界流速
vc ——下临界流速
vc ——上临界流速
O
lgvc lgvc’ lgv
层 流： 过渡流： 紊 流：
FD ( ,v, d, ) (104次）
FD
FD
FD
FD

v
d

CD f Re
CD
Re
[例4.3] 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低
与相关物理量的关系。 解：
1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个
迁移加速度
§4-4因次分析和相似原理
1. 物理量的因次
大小
单位制
工程单位制 国际单位制
物理量
英
制
基本因次
类别
因次
SI制中的基本因次：
导出因次
dim m = M , dim l = L , dim t = T
导出因次：用基本因次的幂次表示。
常用量的因次
速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
(
FI Fp
)
P

(
FI Fp
)m
Fp pA pl 2
(
l 2v 2
pl 2
)
p

(
l 2v 2
pl 2
)
m
Eu p
v 2
4．Ma数（马赫数）
Ma = V / c V 为特征速度，c 为当地声速。 5．We 数（韦伯数）
V 2l
We

σ为液体的表面张力系数。 We数表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液， 液液及液固交界面上的表面张力作用。
T : b 2 0
解得： a = -1 , b = -2 , c = 0
p
Π1 1 ρV 2 Eu 2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L来自百度文库– 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
p1 p2 r
l2
假设管道半径r0，则管壁处剪切应力为：
0

p1 l
p2
r0 2
l
＝r 0 r0
对1－1，2－2断面列伯努利方程：
0 p1 v12 0 p2 v22 h
g 2g
g 2g f
p1
p2
v1 v2
hf

p1 p2
g
l
0
v vc
vc v vc
v vc
临界雷诺数 雷诺数 Re vd
υ
Re c 2000 ——下临界雷诺数 Rec 14000 ——上临界雷诺数
工程上常用的圆管临界雷诺数
层 流： 过渡流： 紊 流：
Re Re c Re c Re Rec Re Rec
Re c 2000
1 2 3 D 1 2 3 0
1 2 3
A,B,C三个量相互独立
3 因次齐次性原理
同一方程中各项的量纲（因次）必须相同。用基本量纲的
幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲（因次）
齐次性。
z p v2 C （沿流线）
g 2g
dim


p1 l
p2
r0 2
hf

4 0l gd
hf
lv2
2gd
壁面剪切应力与沿程阻力系数的关系：
＝
0

8
v 2
§4－2 两种流态及转化标准
一、雷诺实验
1883年英国 科学家雷诺通 过实验发现流 体运动时存在 两种流态：层 流和湍流。
实验现象
层流：流速不大时，整个流场呈一簇互相平
行的流线。着色流束为一条明晰细小的直线。
M : a 1 0

L
:
3a b c 1 0
T : b 1 0
解得：a = b = c = -1
1 2 Vd Re
(雷诺数)
③ П3 =ρa V bd cε M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L
管轴线为对称线、 流体柱体、长度为l

p1
p2
两头界面为圆形、半径为r
上下游界面中心的压强分别为P1、P2、
l
粘性切应力为
如右图所示、：
§4-1管路中流动阻力产生的原因及分类
二、均匀流的沿程水头损失与壁面切应力的关系
力的平衡方程为：
（p1 p2 )r2 2rl 0 p1
p2
答 : (dim A)x (dim B)y (dim C)z M 0L0T 0 1的非零解不存在
dim A M 1 L1T 1 dim B M 2 L2 T 2 dim C M 3 L3T 3
1x 2 y 3z 0 1x 2 y 3z 0 1x 2y 3z 0
解得：a = b = 0， c = -1
3


d
（相对粗糙度）
④ П4 =ρa V bd c l (同上)
4

l d
4．列П数方程
（几何比数）
1 f ( 2 , 3, 4 )
p
l
即
f (Re, , )
1 V 2
dd
2
p
g
l d
v2 2g
f1 (Re,

d
)
h l v2
)p

l 2v 2 ( vl )m
vpl p p vmlm m
p
m
Re Vl
2 弗劳德准则(Fr数)
如果原型，模型对应点的重力相似,根据动力相似得到:
( FI G
)P
( FI G
)m
FI ma Va l 2v 2
G mg gV gl 3
工程流体力学
第四章 流动阻力与水头损失
主 讲：陈小榆 石油工程学院油气储运研究所
§4-1管路中流动阻力产生的原因及分类
一、阻力产生的原因 1）流体质点与管径之间的摩擦撞击 2）管壁的粗糙度 3）管路的长度
湿周 R
水力半径
=2R
Rh

A X
§4-1管路中流动阻力产生的原因及分类
一、流动阻力的分类
层 流： Re 2000 紊 流： Re 2000
§4－3 实际流体运动微分方程——N-S方程

X


1

p x
＋
2ux

ux t

ux x
dx dt

ux y
dy dt

ux z
dz dt
Y

1

p y
2u y

u y t

u y x
量纲分析概念: 一个方程中多项量纲必须齐次； 一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以
按量纲齐次性原理作分析。
4.1 瑞利法
了解物理过程
找出影响因素
假定函数关系
确定物理量间的结构形式
Ex4－1：自由落体在时间t内经过的距离为s，与下列 因素有关：落体重量G,重力加速度g及时间t。
（1）将关系式写成幂乘积形式：
l 2v 2 ( gl 3 ) p

l 2v 2 ( gl 3 )m
vp vm
lpgp
lm gm
Fr V gr
Fr 数是描述具有自由液面的 液体流动时最重要的无量纲参数。 如水面船舶的运动和明渠流中的水 流。
3 欧拉准则(Eu数)
如果原型，模型对应点的流动压力相似,根据动力相似得到:
（雷诺准则） （弗劳德准则）
（欧拉准则）
三 相似原理应用
1、模型律的选择
确定所要遵循的相似准则。
2、模型的设计
定出长度比尺 l
缩小(放大）原型 的几何尺度
确定相应的速度 比尺
Ex4－4
得出模型流动的 几何边界
§4－5 圆管层流分析
过渡流：流速逐渐加大时，流体质点的运动
处于不稳定状态。着色流束开始振荡。
湍（紊）流：流速超过一定值后，流体质点
作复杂的无规则的运动。着色流束与周围流体 相混，颜色扩散至整个玻璃管。
二、沿程水头损失与流速的关系 实验装置
实验结果
层流： hf v1.0
lghf
紊流： hf v1.75~2.0
v2 2g


LT 1
2
LT 2
1 L
dim z L
dim

p
g


ML-1T 2
ML3 1 LT 2 1 L
dim C L
4 量纲分析法
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有 关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量， 用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示 物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论 分析和实验研究。
§4-1管路中流动阻力产生的原因及分类 三、总能量损失
整个管道的能量损失是分段计算出的能量损失 的叠加。
hw hf hj
hw ——总能量损失。
§4-1管路中流动阻力产生的原因及分类
二、均匀流的沿程水头损失与壁面切应力的关系
均匀流：流线是一组平行直线（流体加速度为零，速度沿程不变）
dx uy dt y
dy dt
uy z
dz dt
Z

1

p z
2u z

uz t
uz x
dx dt
uz y
dy dt
uz z
dz dt
f 1 p 2u u ＋u u

dt
质量力 压差力
粘性力
当地加 速度力
p (,V , d, , ,l)
2．选择基本量：ρ、V、d
3．列П表达式求解П数
① П1=ρa V bd cΔp M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
M : a 1 0

L
:
3a b c 1 0
沿程水头损失 水头损失
局部水头损失
1、沿程水头损失 h f
它是流体克服粘性阻力而损失的能量，流程越长，所损失 的能量越多。
§4-1管路中流动阻力产生的原因及分类
2、局部水头损失 hj
它是由于流动边界形状突然变化（例如管道截面突然 扩大）引起的流线弯曲以及边界层分离而产生的水头损失。 即在管件附近的局部范围内主要由流体微团的碰撞、流体 中产生的漩涡等造成的损失。
阻力 密度 速度 直径 粘度系数 第2步、选择包含不同基本量纲F的D 物理量为基本量（或称为
重复量，取3个）。 选ρ 、V 、d
第3步、将其余的物理量作为导出量，即 FD 、μ分别与基本 量的幂次式组成П表达式。
П1 =ρa V b d c FD П2 =ρa V b d c
2. 量纲分析的优点
d 2g
5 相似原理
G p Fpp Fp FIp Gm Fpm Fm FIm
二 常用的相似准则数
1 雷诺准则(Re数)
如果原型，模型对应点的粘性力相似,根据动力相似得到:
( FI F
)P
( FI F
)m
F

A
du dy

l 2
v l

v l
l 2v 2
(
v l
dim v L2T 1
对于任意物理量q,其因次可以表示为: dim q M L T
2 无因次量
基本量: 一个物理过程中那些彼此相互独立的物理量 导出量: 由基本量导出的物理量 量纲一的量(无因次量):基本量和导出量组成新的量,且这个量的量纲为1 如何判定A,B,C三个量是否独立(是否可以作为基本量)?