2018届高考新课标数学理大一轮复习检测：热点专题六 概率与统计中的热点问题 含答案 精品

1．为了防止塑化剂超标的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮塑化剂含量检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为1
10，两轮检测是否合格相互没
有影响．
(1)求该产品不能销售的概率；
(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列及均值E (X )．
【解析】 (1)记“该产品不能销售”为事件A ， 则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14，
故该产品不能销售的概率为1
4
.
(2)由已知，可知X 的所有可能取值为－320，－200，－80，40，160. P (X ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144
＝1256
，
P (X ＝－200)＝C 14
×⎝ ⎛⎭⎪⎫143
×34＝3
64
，
P (X ＝－80)＝C 24
×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342
＝27128
，
P (X ＝40)＝C 34
×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝27
64
，
P (X ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344
＝81256.
所以X 的分布列为
E (X )＝－320×
1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81
256
＝40.
2．(2017·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是．
(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40)岁的人数；
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及均值．
【解析】 (1)∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40)外的频率和为0.70，∴x ＝
1－0.70
5＝0.06.
故500名志愿者中，年龄在[35，40)岁的人数为0.06×5×500＝150(人)．
(2)用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．
故X 的可能取值为0，1，2，3，
P (X ＝0)＝C 3
8C 320＝14285，P (X ＝1)＝C 1
12C 2
8C 320＝2895，
P (X ＝2)＝C 2
12C 1
8C 320＝4495，P (X ＝3)＝C 3
12C 320＝11
57，
故X 的分布列为
∴E (X )＝0×14285＋1×2895＋2×4495＋3×1157＝171
95
.
3．(2017·日照模拟)某娱乐节目将4名队员平均分成甲、乙两个组，进行一对一的独立闯关比赛，已知甲组中2名队员A ，B 过关的概率分别为13，2
3
，乙组中2名队员C ，D 过关
的概率都为1
2，最后根据两组过关人数的多少来决定胜负，若过关人数相同，则认为两组平
局．
(1)求A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关的概率；
(2)将甲组过关的人数记作x ，乙组过关的人数记作y ，设X ＝|x －y |，求X 的分布列和均值．
【解析】 (1)设“A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关”为事件A ，“4名队员都不过关”为事件A 0，“4名队员恰有1人过关”为事件A 1，则A ＝A 0∪A 1.
又P (A 0)＝23×13×12×12＝118
，
P (A 1)＝13×13×12×12＋23×23×12×12＋23×13×12×12×2＝14
，
故P (A )＝118＋14＝11
36
.
(2)X 的所有可能取值为0，1，2.
P (X ＝0)＝23×13×12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13＋23×23×12×12
×2＋13
×23×12
×12＝7
18
，
P (X ＝2)＝13×23
×12×12＋23×13
×12×12＝19
，
故P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－718－19＝1
2.
故X 的分布列为
E (X )＝0×718
＋1×12
＋2×19＝1318
.
4．将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中(每个盒子足够大)．
(1)求编号为1的盒子为空盒的概率； (2)求空盒的个数ξ的分布列和均值E (ξ)．
【解析】 (1)将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，由分步乘法计数原理知共有44
＝256种放法，设事件A 表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有34
＝81种放法，故所求概率为P (A )＝81256
.
(2)空盒的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝A 4
4256＝24256＝3
32，
P (ξ＝1)＝C 24C 34A 3
3256＝144256＝9
16，
P (ξ＝3)＝C 14256＝4256＝1
64，
P (ξ＝2)＝C 14C 24A 2
2
＋C 24C 2
2A 22C 24A 2
2
256＝84256＝21
64
⎝ ⎛⎭
⎪⎫或P （ξ＝2）＝1－P （ξ＝0）－P （ξ＝1）－P （ξ＝3）＝2164， 所以ξ的分布列为
ξ的均值为E (ξ)＝0×332＋1×916＋2×2164＋3×164＝81
64
.
5．(2017·九江模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
(3)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X ，求X 的分布列及均值E (X )．
下面临界值表仅供参考：
K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
【解析】 (1)由表中数据得K 2
＝50×（22×12－8×8）2
30×20×30×20＝50
9
≈5.556＞5.024，
根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为⎩
⎪⎨
⎪⎧5≤x ≤7
6≤y ≤8(如图所示)，
设事件A 为“乙比甲先解答完此道题”则满足的区域为x ＞y ，
∴由几何概型的概率计算公式得P (A )＝1
2×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为1
8.
(3)X 的可能取值为0，1，2，由题可知在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人，抽取方法有C 2
8＝28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到有C 2
6＝15种；恰有一人被抽到有C 1
2·C 1
6＝12种；2人都被抽到有C 2
2＝1种，
∴P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝1
28
，
X 的分布列为
∴E (X )＝0×1528＋1×37＋2×128＝1
2
.
6．某高中为了推进新课程改革，以满足不同层次的学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、语文、物理、化学、生物这5个学科的辅导讲座，每位有兴趣的学生可以在期间的任何一天参加任何学科的辅导讲座，也可以放弃任何一个学科的辅导讲座．规定：各学科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座．统计数据表明，各学科辅导讲座满座的概率如下表(每天各个学科的辅导讲座是否满座互不影响)：
(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
(2)设周三各学科辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值． 【解析】 (1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝118. (2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124
×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝1
48
，
P (ξ＝1)＝C 14
×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124×23＝1
8
，
P (ξ＝2)＝C 2
4
×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－23＋C 14×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123
×23＝724， P (ξ＝3)＝C 34
×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122
×23＝1
3
，
P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123
×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＝
316，
P (ξ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124
×23＝1
24
，
所以随机变量ξ的分布列为
故E (ξ)＝0×148＋1×18＋2×724＋3×13＋4×316＋5×124＝8
3
.
7．(2017·广东六校联考)某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人成绩为优秀的概率为3
11
.
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩是否优秀与班级有关系”；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取1人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式与临界值表：K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
.
【解析】 (1)
(2)根据列联表中的数据，得到
K 2
＝110×（10×30－20×50）2
60×50×30×80
≈7.486＜10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认
为“成绩是否优秀与班级有关系”．
(3)设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，
y )，所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36个．
事件A 包含的基本事件有(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，(5，5)，(4，6)，(6，4)，
共7个．∴P (A )＝7
36
，
即抽到9号或10号的概率为7
36
.
8．(2017·安徽安庆六校联考)前不久，省社科院发布了2014年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城市”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
【解析】 (1)众数：8.6；中位数：8.75.
(2)设A i 表示所选取的3人中有i 人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 3
12C 316＋C 14C 2
12C 316＝121140
.
(3)由题意，知ξ～B ⎝
⎛⎭
⎪⎫3，14
.ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343
＝27
64
，
P (ξ＝1)＝C 13
×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27
64
，
P (ξ＝2)＝C 23
×⎝ ⎛⎭⎪⎫142
×34＝9
64
，
P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143
＝164
.
则ξ的分布列为
所以E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×1
64
＝0.75.
9．(2017·抚州联考)如图所示，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．
(1)求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；
(2)设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列；
(3)若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．
【解析】 (1)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P (A )，依题意得P (A )＝1
4
.
(2)依题意知，X ～B ⎛⎪⎫3，14，从而X 的分布列为
(3)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i ＝1，2，3.
依题意知P ＝P (B 1C 2C 3)＋P (C 1B 2C 3)＋P (C 1C 2B 3)＝3×14×12×12＝316
.
10．(2016·课标全国Ⅱ)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】 (1)设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
(2)设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
P (B )＝0.1＋0.05＝0.15.
又P (AB )＝P (B )，故
P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.150.55＝311
.。