2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中练习数学试题1【含答案】

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期中练习数学试题
一、单选题
1．复数的模为（ ）1i
i +
A B C ．2
D 【答案】A
【分析】利用复数的除法运算及复数的模计算即可.
【详解】.1i
i 1i +=-+故选：A
2．若曲线的一条切线的斜率为4，则切点的横坐标为（ ）2
y x =A ．1B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义计算即可.
【详解】切点的横坐标为，则由题意可得：.x 242y x x ¢
==Þ=故选：B
3．曲线的离心率为（ ）
2
2
1
2y x -=
A B C ．2D ．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的方程和双曲线的离心率公式，即可求解.
【详解】由双曲线中2
2
1
2y x -=1,a b c ====
所以离心率==c
e a 故选：B.4．直线
与圆的位置关系为（ ）
()
20R ax y a a -+=∈22
5x y +=A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定
【答案】C
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.
【详解】由题知，圆心坐标
()00，
将直线化为点斜式得，
20ax y a -+=()
2y a x =+知该直线过定点
，
()2,0-又
，故该定点在圆内，
()2
2205
-+<所以该直线与圆必相交.
22
5x y +=故选：C 5．数列的前项和为，若，且
，则（ ）
{}n a n n S ()
1212n
n S
S n n --=-≥23
S =13a a +=A ．2B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【分析】根据与之间的关系，即可求解.n a n S 【详解】因为，，且
，
121
n n S S n --=-2n ≥23
S =则
当时，
，即，则
，
2n =213
-=S S 10S =10
a =当时，，则，2n ≥121n n n a S S n -=-=-32315
a =⨯-=所以，135a a +=故选：D.
6．若等比数列满足，则{}n a 513a a a =3a =A ．B ．C ．或D ．或11
-011-1
【答案】A
【详解】因为是等比数列,所以且.,,.
{}n a 2
153a a a ⋅=0n a ≠153a a a ⋅= 233a a ∴=31a ∴=故选：A
7．对于函数的描述，下列说法正确的是（ ）
()ln x
f x x =
A ．函数存在唯一的零点
B ．函数在区间上单调递增()f x ()
f x (0,e)C ．函数
在区间上单调递增
D ．函数
的值域为R
()
f x (e,)+∞()
f x
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的性质，得到函数的零点及单调性即可判断选()f x 项A ，B ，C 选项，利用最值以及函数值即可判断选项D ．【详解】对于A ，由题意函数，定义域为，，，无解,A 错误；
()ln x f x x =
(01)(1⋃)∞+()0
ln x
f x x ==又因为
，当或时，，故函数单调递减，
2ln 1
()ln x f x x -'=
01x <<1e x <<()0f x '<()f x 当时，，故函数单调递增，B 错误C 正确；e x >()0f x '>()f x 当
又
,,且当时，，所以，故函数的
()()
1,e x f x f >≥()e e f =()e f x ∴≥01x <<ln 0x <()0f x <()f x 值域不为R .故选：C ．
8．设{an }是等比数列，则“a 1＞a 2＞a 3”是“数列{an }是递减数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】设数列{an }的公比为q ，因为a 1＞a 2＞a 3，所以a 1＞a 1q ＞a 1q 2，解得或，10
01a q >⎧⎨
<<⎩101a q <⎧⎨>⎩故数列{an }是递减数列；反之，若数列{an }是递减数列，则a 1＞a 2＞a 3，所以a 1＞a 2＞a 3是数列{an }是递减数列的充分必要条件，故选：C.9．已知
是定义在上的偶函数，当时，
，则函数
的极值点的个
()
f x R 0x ≥()()22e x
f x x x =-()
f x 数为（ ）A ．0B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【分析】根据题意，由极值点的定义得到当时，有一个极值点，然后再由函数的奇偶性即可0x ≥得到结果.
【详解】因为当时，，则，0x ≥()()22e x
f x x x =-()()
2e 2x f x x '=-
令，则
，解得()0
f x '=()2e 20
x x -=x
当
时，，则函数单调递减，
(
x ∈()0f x '<()f x
当
时，，则函数单调递增，
)x ∈
+∞()0f x ¢>()f x
所以x 又因为
是定义在上的偶函数，
()
f x R
所以x =即函数的极值点的个数为.
()
f x 2故选:C
10．数列{}满足:
，给出下述命题：n a 112(1,N )n n n a a a n n *
-++>>∈①若数列{}满足，，则
成立；n a 21a a >1(1,N )n n a a n n *->>∈②存在常数c ，使得
成立；
(
)*
N n a c n >∈③若（其中，），则；
p q m n +>+,p q *
,N m n ∈p q m n
a a a a +>+④存在常数d ，使得
都成立.
()*11(N )
n a a n d n >+-∈其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①
【答案】C
【分析】判断①④是真命题，要由已知证明即可，判断②③是假命题，只需举一个反例即可.
【详解】对于①：由
得，112(1,N )n n n a a a n n *
-++>>∈11n n n n a a a a +-->-所以若，则，
21a a >210
a a ->，，故①正确；1210n n a a a a -->⋅⋅⋅>->1(1,N )n n a a n n *->>∈对于②：取
，则满足
，ln n a n
=-112(1,N )n n n a a a n n *
-++>>∈但当时，，故②错误；n →+∞n a ∞→-对于③：由②的例子可知③也是错误的；对于④：得，
112n n n a a a -++>11
n n n n a a a a +-->-即，取1121n n n n a a a a a a +-->->⋅⋅⋅>-21
d a a <-则
，故④正确.
12132111()()()(1)n n n a a a a a a a a a d d d a n d -=+-+-+⋅⋅⋅+->+++⋅⋅⋅+=+-故选：C
二、双空题
11．已知为等比数列，，那么的公比为___________，数列的前5项和{}n a 1411,8a a =={}n a 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为___________.【答案】
1
2
31
【分析】利用等比数列的通项公式，列出方程求得数列的公比，再由数列构成首项为1，公比1n a
⎧⎫⎨⎬⎩⎭为2的等比数列，结合等比数列的求和公式.【详解】设等比数列的公比为，
{}n a q 因为
，可得，解得；
1411,8a a ==
3341118a a q q ==⨯=1
2q =
又由，且，所以数列构成首项为1，公比为2的等比数列，
111a =1
2q =1n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭则数列的前5项和为.
1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭55123112S -==-故答案为：；.
1
2
31三、填空题
12．已知等差数列｛an ｝的公差d 不等于零，且．若＝0，则n ＝__________．83910a a a a +=-n a 【答案】5
【详解】，83910a a a a +=-3910821010828550200a a a a a a a a a a a a ⇒+=-⇒+=-⇒+=⇒=⇒=故答案为：5
四、双空题13．已知函数
，若
在区间上单调递增，则实数的取值范围是
()2ln f x ax x =-()
f x [1,2]a ___________；若
在区间上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是__________.
()
f x [1,2]【答案】
12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【分析】函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参
()f x []1,2()0f x '≥[]1,2
数得
，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；
212a x ≥
21
2x a 在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得
，转换
()f x []1,2()0f x '>[]1,221
2a x ≥
成求函数最小值，从而得实数的取值范围.
2
12x a 【详解】因为，，
2
()ln f x ax x =-0
x >1()2f x ax x '∴=-
在区间内单调递增，在上恒成立，
()f x []1,2()0'∴≥f x []1,2在上恒成立，
在上恒成立，120ax x ∴-
≥[]1,2212a x ∴≥[]1,2，，因为在，2max 12a x ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭[]1,2x ∈[]1,22max 1122
x ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，则的取值范围是：.12a ∴≥
a 12
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭若在上存在单调递增区间，则在上有解，
()f x []1,2()0f x '>[]1,2
即
在上有解，
，212a x ≥
[]1,22min 12a x ⎛⎫∴≥ ⎪
⎝⎭又，
.则的取值范围是：.2min 1128x ⎛⎫= ⎪⎝⎭18a ∴>a 18⎛⎫+∞
⎪⎝⎭故答案为：；.12
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，18⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，五、填空题
14．已知是等差数列{}的前n 项和，若仅当时取到最小值，且，则满足
n S n a 5n =n S 56||||a a >的n 的最小值为__________.
n S >【答案】11
【分析】由前n 项和有最小值可知，得出，所以，再由
0d >56a a -<19
2a d <-即可求出n 的最小值.
()110
2n n S n a d ⎛⎫-=+> ⎪
⎝⎭【详解】因为
，当时取到最小值，()21112
22n n n d d S na d n a n -⎛⎫
=+
=
+- ⎪⎝
⎭5n =n S
所以，所以，
0d >56
a a <因为，所以，即，所以
.56||||a a >56a a -<()1145a d a d -+>+19
2a d <-，则，因为，
()1102n n S n a d ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭()1102n a d -+>192a d <-所以，解之得：,因为，所以n 的最小值为11.
()19
22n d d -->-10n >*
n ∈N 故答案为：11.
六、双空题
15．已知函数
，若，则不等式的解集为_______；若恰有()2
e ,01,0x kx x
f x kx x x ⎧-≥=⎨-+<⎩0k =()2f x <()f x 两个零点，则的取值范围为_____．k 【答案】
；
()1,ln 2-()
e,+∞【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化
0k =0x ≥0x <为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情
e (0)x kx x =≥2
10(0)kx x x -+=<0k =0k <0k >况，即可求解.
【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则0k =()e ,01,0x x f x x x ⎧≥=⎨
-+<⎩0x ≥e 2x <ln 2x <；
0ln 2x ≤<当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为
；
0x <12-+<x 1x >-10x -<<()2f x <()1,ln 2-第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2.
()f x e (0)x kx x =≥2
10(0)kx x x -+=<当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意；
0k =e 0x
=10(0)x x -+=<1x =当时，显然无解；的判别式，设的两
0k <e 0x kx =≤210(0)kx x x -+=<140k ∆=->2
10kx x -+=根为，
12,x x 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意；1212110,0x x x x k k +=
<=<2
10(0)kx x x -+=<当时，令的对称轴为，则在单减，则0k >()21(0)g x kx x x =-+<1
02x k =>()g x (),0∞-，则
无解；()()01
g x g >=210(0)kx x x -+=<
，显然时不成立，则，令，则，显然
e (0)x kx x =≥0x =e (0)x k x x =>()e x
h x x =
()()2e 1x x h x x -'=在
上单减，在单增，
()
h x ()0,1()1,+∞则，又，，则时，有2个根，()()1e h x h ≥=()0,x h x →→+∞(),x h x →+∞→+∞e k >e (0)x
k x x =>即恰有两个零点；()f x 综上：
.
()
e,+k ∈∞故答案为：
；.
()1,ln 2-()e,+∞七、解答题
16．已知数列{}是公差不为零的等差数列，，且是，的等比中项.
n a 25a =4a
1a 13a (1)求数列{}的通项公式；
n a (2)设为数列{}的前n 项和，求数列的前n 项和.n
S n a 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】(1)
21
n a n =+(2)32342(1)(2)
n n n +-
++【分析】（1）由可得关于的方程，解方程求得，根据等差数列通项公式求得结果；2
4113
a a a =d d （2）由（1）得
，即可求得，进而可得
，根据裂项相消求和法，
21
n a n =+n S 11111
()(2)22
n S n n n n ==-++计算即可得答案.【详解】（1）
是，
的等比中项 4
a 1a 13a 2
4113
a a a ∴=设等差数列的公差为，则{}n a d ()()()2
2
22211a d a d a d +=-+即：
，整理得：()()()2
525511d d d +=-+220
d d -= 0d ≠ 2
d ∴=()()2252221
n a a n d n n ∴=+-=+-=+（2）由于（1）得
，则
，
21
n a n =+2(24)
22n n n S n n +=
=+
所以
．
11111()(2)22
n S n n n n ==-++所以
1111111111(1)
232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ =＝．1111(12
212n n +--++32342(1)(2)n n n +-++17．如图，在长方体
中，四边形是边长为1的正方形，
1111ABCD A B C D -11BCC B ，，，分别是，，的中点
2AB =M N O AD 11A B AC
(1)求证：平面；1MA ∥ANC (2)求直线与平面
所成角的正弦值.
CN 1D AC
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）要证明一条直线平行于一个平面，只需证明该直线平行于平面内的一条直线即可；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积计算直线与平面的夹角.【详解】（1）∵，分别是，的中点，
M O AD AC ∴ ，，
//OM CD 1
2OM CD
=∵是的中点，∴ ，，
N 11A B 1//NA CD 11
2NA CD =∴
且
，
1//NA OM
1NA OM =∴四边形是平行四边形，∴，
1NOMA 1//MA ON 又平面，平面，1MA ⊄ANC ON ⊂ANC ∴
平面；
1//
MA ANC （2）在长方体
中，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
1111ABCD A B C D -B
则，，，，()1,0,0C ()0,2,0A ()11,2,1D ()0,1,1N ∴，，
()1,1,1CN =- ()1,2,0CA =- ()10,2,1CD =
设平面
的法向量为
，
1D AC
()
,,n x y z =
则有 ，即 ，令，则，1·0·0n CA n CD ⎧=⎪⎨=⎪
⎩ 2020x y y z -+=⎧⎨
+=⎩1y =()2,1,2n =- ∴
cos ,CN n CN n CN n
⋅===
故直线与平面
．CN 1D AC
综上，直线与平面
CN 1D AC
18．已知函数.
()31212
f x x x =-+(1)求的极值；
()f x (2)求
在区间上的最大值和最小值；
()
f x [3,4]-(3)若曲线
在点处的切线互相平行，写出中点的坐标(只需直接写出结果).
()
f x ,A B ,A B 【答案】(1)极大值，极小值284-(2)最大值为28，最小值为－4(3)(0,12)
【分析】（1）求导，结合函数的单调性及极值的定义求解；（2）函数的极值与端点处的函数值比较可得最值；（3）根据导数的几何意义得
，由此求解即可．
()()
12f x f x ''=
【详解】（1）
,()23123(2)(2)f x x x x '=-=+-当时，，单调递增；<2x -()0f x ¢>()
f x 当时，
，单调递减；22x -<<()0f x '<()f x 当时，，单调递增，
2x >()0f x ¢>()f x 所以，当时，取极大值；当时，取极小值.
2x =-()f x (2)28f -=2x =()f x (2)4f =-（2）由（1）知，当时，
单调递增；当时，单调递减；当
32-<<-x ()f x 22x -<<()f x 时，单调递增，24x <<()f x 当时，取极大值；当时，取极小值．
2x =-()f x (2)28f -=2x =()f x (2)4f =-又，
(3)19,(4)28f f -==所以，在区间上的最大值为28，最小值为－4．
()f x [3,4]-（3）设，
112212(,),(,),A x y B x y x x ≠由题意
，即，()()12f x f x ''=2212312312x x -=-∴
，∴，1212()()0x x x x +-=120x x +=∴，
3312112212121212y y x x x x +=-++-+2212112212()()12()2424x x x x x x x x =+-+-++=∴中点的坐标为.
,A B (0,12)19．设数列{}的前项和为，且满足
.n a n n S ()*21N n n S a n =-∈(1)求证数列{}是等比数列；
n a (2)数列满足，且.
{}n b ()*1N n n n b a b n +=+∈13b =（i ）求数列的通项公式；
{}n b （ii ）若不等式
对恒成立，求实数λ的取值范围.()223log 216n b n λ-<+N n *∈【答案】(1)证明过程见详解(2)15
2216
n n b λ-=+>，【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）（i ）利用累加法求和求出；
n b （ii ）由不等式对恒成立，可得，再利用二次函数的
()223log 216n b n λ-<+N n *∈23116n n λ>-+-单调性即可求出结果.
【详解】（1）因为
，()*21N n n S a n =-∈所以当时，
，解得.1n =11121a S a ==-11a =当时，，则，
2n ≥11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---12n n a a -=所以数列是等比数列，首项为1，公比为2.
{}n a （2）（i ）因为数列满足，且，{}n b ()*
1N n n n b a b n +=+∈13b =所以，
112n n n n b b a -+-==则112211
()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ 232213
n n --=++++ 121321
n --=+-.
122n -=+（ii ）因为不等式
对恒成立，()223log 216n b n λ-<+N n *∈则，令，23116n n λ>-+-2233815()1((3)16163316g n n n n g =-+-=--+≤=所以，
516λ>所以实数λ的取值范围
.516λ>20．已知函数
()()e ln R x a f x a x a x -=-∈(1)求曲线
在点处的切线方程；()y f x =()(1,)1f (2)求的单调区间；
()f x (3)当时，写出函数
的零点个数.(只需直接写出结果)
e a ≥()
f x 【答案】(1)e y a
=-(2)答案见解析
(3)1个零点
【分析】（1）求得，得到且，进而求得切线方程；
()2(1)e x ax a f x x x -+'=-()10f '=()1e f a =-（2）求得，分、、、和，四种情况讨论，进
()2(1)e ()x a f x x x --'=0a ≤01a <≤1e a <<e a =e a >而求得函数的单调区间；
（3）由（2）知，当时，
单调递增，结合，得到在只有一个零点；e a =()f x ()10f =()f x (0,)+∞当时，得到函数的递减区间为，递增区间为，结合极值和e a >()f x (1,ln )a (0,1),(ln ,)a +∞时，函数，得到在只有一个零点.
x →+∞()f x →+∞()f x (0,)+∞【详解】（1）解：由，可得，
()e ln x a f x a x x -=-()2(1)e x ax a f x x x -+'=-则且，所以曲线在点处的切线方程.
()10f '=()1e f a =-()y f x =()(1,)1f e y a =-（2）解：由函数的定义域为，且，
()e ln x a f x a x x -=-()0,∞+()2(1)e ()x a f x x x --'=若，令，解得，
0a ≤()0f x '=1x =当时，，单调递减；(0,1)x ∈()0f x '<()
f x 当时，
，单调递增，(1,)x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
()f x (0,1)(1,)+∞若，令，解得或，0a >()0
f x '=1x =ln x a =①若时，即时，
ln 0≤a 01a <≤当时，，单调递减；(0,1)x ∈()0f x '<()
f x 当时，
，单调递增；(1,)x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
()f x (0,1)(1,)+∞②若时，即时，
0ln 1a <<1e a <<当时，
，单调递增；(0,ln )x a ∈()0f x ¢>()f x 当时，
，单调递减；(ln ,1)x a ∈()0f x '<()f x 当时，
，单调递增；(1,)x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
()f x (ln ,1)a (0,ln ),(1,)a +∞③若时，即时，可得，单调递增，
ln 1a =e a =()0f x '≥()f x
所以函数的单调递增区间为；
()f x (0,)+∞④若时，即时，
ln 1a >e a >当时，，单调递增；
(0,1)x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减；
(,ln )x a ∈()0f x '<()f x 当时，
，单调递增；(ln ,)x a ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
()f x (1,ln )a (0,1)(0,1),(ln ,)a +∞（3）解：由（2）知，当时，可得，单调递增，
e a =()0
f x '≥()f x 又由，可得，此时在只有一个零点；
()e e eln x f x x x -=-()10f =()f x (0,)+∞当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
e a >()
f x (1,ln )a (0,1),(ln ,)a +∞当时，函数取得极大值，极大值为，
1x =()11e f a =-当时，函数取得极小值，其中，
1x =()ln f a ()()11ln e 0f f a a =-<<当时，函数
，x →+∞()f x →+∞所以函数在只有一个零点，
()f x (0,)+∞综上可得，函数在只有一个零点.
()f x (0,)+∞【点睛】方法技巧：对于利用导数零点的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据零点或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与零点的区别．
21．若对于正整数k ，
表示k 的最大奇数因数，例如，()g k ()33g =设.
()()()()()12342n n S g g g g g =+++++ (1)求
的值；()()62,0g g (2)求，，的值；
1S 2S 3S (3)求数列{}的通项公式.
n S
【答案】(1)
，.()63g =()205g =(2)1232,6,22
S S S ===(3)
423n n S +=【分析】（1）根据题意，直接得到结果；
（2）根据题意，可得的值，从而得到结果；
()()()()1,2,38g g g g （3根据题意，由（2）可得，将分为奇数项与偶数项之和，即可得到(2)()g m g m =n S ，再由累加法即可得到结果.
114n n n S S ---=【详解】（1）由题意，，.
()63g =()205g =（2）因为，，，，，，，，(1)1g =(2)1g =(3)3g =(4)1g =(5)5g =(6)3g =(7)7g =(8)1g =，
(9)9g =所以，，
()()1122S g g =+=()()()()212346S g g g g =+++=.()()()()()()()()31234567822
S g g g g g g g g =+++++++=（3）由（2）可以发现，，则(2)()g m g m =*m ∈N ()()
(1)(2)(3)212n n n S g g g g g =+++⋅⋅⋅+-+()()(5)21(2)(4)(6(1)(3))2n n g g g g g g g g ⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎣⎦
()()113521(21)(22)(23)22n n g g g g -⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⎣⎦⎣⎦()()1
11212(1)(2)(3)22n n n g g g g --+-⎡⎤=++++⋅⋅⋅+⎣⎦
，
114n n S --=+所以，114
n n n S S ---=又，
1(1)(2)2S g g =+=累加得
()()()112211n n n n n S S S S S S S S ---=-+-+⋅⋅⋅+-+124442
n n --=++⋅⋅⋅++.
423n +=
所以.423n n S +=。