精品解析：辽宁省营口市开发区第一高级中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学(理)试卷(解析版)

2017-2018学年度下学期第二次月考
高二数学试卷（理科）
第I卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数满足关系式，那么等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：设，，
所以
，解得，，所以，故选D.
考点：复数的代数运算
2.设函数，则函数的导函数等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的运算法则即可得出．
【详解】y＝f（a﹣bx）＝（a﹣bx）3，
∴y′＝3（a﹣bx）2×（﹣b）＝﹣3b（a﹣bx）2．
故选：C．
【点睛】本题考查了导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.与“实数不全为0”等价的条件是 ( )
A. 均不为0
B. 中至少有一个为0
C. 中至多有一个为0
D. 中至少有一个不为0
【答案】D
【解析】
∵“不全为0”指的是“部分为0或者全不为0”，∴实数a、b、c不全为0的条件是a、b、c至少有一个不为0,故选D
4.设ξ～B（n，p），已知，则n与p值分别为（）
A. 4，
B. 12，
C. 12，
D. 24，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二项分布的期望与方差公式，联立方程组，即可得出结论．
【详解】由题意，∵ξ～B（n，p），，
∴
∴p，n＝12
故选：B．
【点睛】本题考查二项分布，解题的关键是掌握二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
5.的展开式中，系数最大的项是 ( )
A. 第项
B. 第项
C. 第项
D. 第项与第项
【答案】C
【解析】
【分析】
本题中第r+1项的系数与第r+1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1
项，可得第n+1项的系数最大．
【详解】在（1+x）2n（n∈N*）的展开式中，第r+1项的系数与第r+1项的二项式系数相同，
再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1项，可得第n+1项的系数最大，
故选C．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．
6.7个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有（）
A. 20
B. 40
C. 120
D. 400
【答案】A
【解析】
【分析】
利用分步计数原理：最高个在中间，分两步完成，先排左边有种，然后排右边，有种，利用分步乘法计数原理即可．
【详解】最高个子站在中间，只需排好左右两边，
第一步：先排左边，有20种排法，第二步：排右边，有1种，
根据分步乘法计数原理，共有20×1＝20种，
故选：A．
【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，属基础题．
7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出原函数的定义域，要使原函数在定义域内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称
轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围．
【详解】由x+2＞0，得x＞﹣2，所以函数f（x）x2+bln（x+2）的定义域为（﹣2，+∞），
再由f（x）x2+bln（x+2），得：
要使函数f（x）在其定义域内是单调减函数，则f′（x）在（﹣1，+∞）上恒小于等于0，
因为x+2＞0，
令g（x）＝x2+2x﹣b，则g（x）在（﹣1，+∞）上恒大于等于0，
函数g（x）开口向上，且对称轴为x＝﹣1，
所以只有当△＝22+4×b≤0，即b≤﹣1时，g（x）≥0恒成立．
所以，使函数f（x）在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0,属于中档题．
8.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有（）
A. 252种
B. 112种
C. 70种
D. 56种
【答案】B
【解析】
【分析】
因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把7名学生分成2组，再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生，所以可按一组2人，另一组5人分，也可按照一组3人，令一组4人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就是两组的全排列．
【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，
一种是：一组2人，另一组5人，有C72＝21中分法；另一种是：一组3人，另一组4人，有C73＝35
中分法，
∴共有21+35＝56种分组法．
第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有A22＝2种分配方法，
最后，把两步方法数相乘，共有（C72+C73）A22＝（21+35）×2＝112种方法，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类，属于中档题．9.类比三角形中的性质：（1）两边之和大于第三边；（2）中位线长等于底边的一半；（3）三内角平分线交于一点；可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）过四面体的交于同
一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点。

其中类比推理结论正确的有 ( )
A. （1）
B. （1）（2）
C. （1）（2）（3）
D. 都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
由类比推理直接得结论成立.
【详解】由题意，根据在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四面的面积，命题（1）正确．
由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的，（2）正确；
将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，可得四面体的六个二面角的平分面交于一点，（3）正确．
故选：C．
【点睛】本题考查类比推理，本题解题的关键是正确理解类比的含义，属于中档题．
10.甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，
其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为
，所以甲队获胜的概率等于，故选A.
考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.
【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案. 11.在区间[0，2]上随机取两个数x，y，则0≤xy≤2的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出图象，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，所研究的事件满足0≤y，再利用图形求概率．
【详解】由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，所研究的事件满足0≤y，如图．总的区域是一个边长为2的正方形，它的面积是4，
满足0≤y的区域的面积是444﹣[（4﹣2ln2）﹣（2﹣2ln1）]＝2+2ln2，则0≤xy≤2的概率为P，
故选：C．
【点睛】本题考查几何概率模型，求解问题的关键是能将问题转化为几何
概率模型求解，熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化．
12.奇函数f（x）定义域是（﹣1，0）∪（0，1），f（）＝0，当x＞0时，总有（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把已知条件（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）变形为f′（x）ln（1﹣x2）0，可想到构造函数g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）并判断其单调性，结合f（）＝f（）＝0，得g（）＝g（）＝0，由单调性可得，在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，则f（x）＞0成立，答案可求．【详解】∵当x＞0时，总有（x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，即f′（x）ln（1﹣x2）成
立，也就是f′（x）ln（1﹣x2）0成立，
又∵ln（1﹣x2）＝ln（1﹣x）+ln（1+x），
∴，即[f（x）ln（1﹣x2）]′＞0恒成立，
可知函数g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）在（0，1）上单调递增，
∵f（x）是奇函数，∴g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）是奇函数，则在（﹣1，0）上单调递增，
又f（）＝f（）＝0，∴g（）＝f（）＝0，
∴g（x）的图象如下：
在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，∴f（x）＞0成立．
∴不等式f（x）＞0的解集为．
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g（x）＝f（x）ln（1﹣x2）并判断其单调性是解得该题的关键，是中档题．
第II卷
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
13.如果随机变量,且,且,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题目中，μ＝Eξ＝3，σ2＝Dξ＝1，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出
P（X＞4）．
【详解】对正态分布，μ＝Eξ＝3，σ2＝Dξ＝1，
P（3≤X≤4）P（2≤X≤4）＝0.3413，
观察上图得，
∴P（X＞4）＝0.5﹣P（3≤X≤4）＝0.5﹣0.3413
＝0.1587．
故答案为：0.1587．
【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据
正态曲线的对称性解决问题．
14.若数列满足：，则称数列为“正弦数列”，现将这五个
数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为，则二项式的展开式中含项的系数为________．【答案】
【解析】
【分析】
分别列出首位是2、3、4，5时的情况，即可得到a的值为16．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2项的系数．
【详解】由题意，偶数项要比相邻的奇数项大，
当首位是1时，13254，14253，14352，15243，15342，共计5个；
首位是2时，23154，24153，24351，25143，25341，共计5个；
当首位是3时，34152，34251，35142，35241，共计4个；
当首位是4时，45231，45132，共计2个，
故共有5+5＝4+2＝16种，即a＝16．
二项式（）6＝（）6的的展开式的通项公式为T r+1•（﹣16）r•x3﹣r，
令3﹣r＝2，求得r＝1，故展开式中含x2项的系数为6×（﹣16）＝﹣96，
故答案为：﹣96．
【点睛】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确列举是关键．考查了二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
15.已知：，其中（i=0，1，2，…，8）为实常数，则
=________.
【答案】1024
【解析】
∵，
∴,
∴
16.若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．
【详解】由题意可得：函数f（x）＝x3﹣3x，
所以f′（x）＝3x2﹣3．
令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；
因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），
所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，
所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，
且f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，
联立解得：﹣2≤a＜1．
故答案为：[﹣2，1）．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题．
三．解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知复数
（1）化简：；
（2）如果，求实数a,b的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由复数z求出，然后代入复数ω＝z2+34化简求值即可；
（2）把复数z代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再根据复数相等的定义列出方程组，从而解方程组可求得答案．
【详解】（1）∵，∴,
∴.
（2）∵,
∴解得：
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数相等的定义，是基础题．18.已知数列满足,
（1）求出,并推测的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论。

【答案】(1) a1=，a2=，a3=a n=(2)用数学归纳法证明
【解析】
试题分析：(1)由S n+a n=2n+1得a1=，a2=，a3=3分
∴a n=6分
(2)证明：当n=1时，命题成立7分
假设n=k时命题成立，即a k=8分
当n=k+1时，a1+ a 2+…+ a k+a k+1+a k+1=2(k+1)+1 9分
∵a1+ a 2+…+ a k=2k+1-a k
∴2a k+1=4-11分
∴a k+1=2-成立12分
根据上述知对于任何自然数n，结论成立13分
考点：本题考查了数学归纳法的运用
点评：运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题
19.已知某商品的价格（元）与需求量（件）之间的关系有如下一组数据：
；
参考：；
当时 , ,
（1）求，；
（2）求出回归直线方程；
（3）计算相关系数r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。

【答案】（1）；（2）；（3），拟合效果好. 【解析】
【分析】
（1）由平均数公式计算x，y的平均值即可；
（2）结合回归方程系数公式和（1）的结论求解回归方程即可；
（3）利用相关系数的计算公式求得相关系数即可比较拟合效果的好坏．【详解】（1）
（2）解：
∴
∴回归直线为：
（3）解：
∵0.997＞0.878
∴回归模型模拟的程度好。

【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，线性回归方程的性质，相关系数的概念等，重点考查学生的计算能力和对基础概念的理解，属于中等题．
20.某校随机调查80名学生，以研究学生爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的
列联表：
（1）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛 球运动的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）根据表3中数据，能否认为爱好羽毛球运动与性别有关？
附：
【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）没有理由认为爱好羽毛球运动与性别有关. 【解析】 【分析】
（1）由题意知X ～B （3，），计算对应的概率值，写出X 的分布列，计算数学期望值； （2）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【详解】解：（1）任一学生爱好羽毛球的概率为,故
.
，
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
（2）因为
所以没有理由认为爱好羽毛球运动与性别有关
解：（1）任一学生爱好羽毛球的概率为,故.
，
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
（2）因为
所以没有理由认为爱好羽毛球运动与性别有关
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
21.据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表：
已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元．
（1）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①记甲快递公司的快递员的日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；
②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
【答案】（1），；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得，利用分段函数进行表示；（2）①的所有可能取值为
，分别计算出其对应的概率，得分布列得期望；②先求出乙快递公司的快递员这50天的工资和为，得其平均工资为，将其和106比较得结果.
试题解析：（1）甲快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为：；乙快递公司的快递员的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为：
．
（2）①由题中表格易知的所有可能取值为，
则；
；
；
．
所以的分布列为
故（元）．
②乙快递公司的快递员这50天的工资和为：
（元），
所以乙快递公司的快递员的日平均工资为（元），
由①知，甲快递公司的快递员的日平均工资为元．
当，即时，小赵应选择甲快递公司；
当，即时，小赵选择甲、乙快递公司均可；
当，即时，小赵应选择乙快递公司．
22.设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x，a R.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单
调递减区间为；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.
（Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.
试题解析：（Ⅰ）由
可得，
则，
当时，
时，，函数单调递增；
当时，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减.
所以当时，单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
①当时，，单调递减.
所以当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，
可得当当时，，时，，
所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意.
④当时，即，当时，，单调递增,
当时，，单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a的取值范围为.
【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.
视频。