2017-2018学年天津市六校联考(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高一（上）期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，
2.4}，B={y y=2x，x≤3，x∈N}，则∁U（A∩B）
等于（）
A. B. C. 2，3， D. 2，
2.已知扇形的圆心角为165°，半径长为10cm，则扇形的弧长为（）
A. B. C. D.
3.下列函数中是奇函数的为（）
A. B. C. D.
4.函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间是（）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，若，，则sin C的值为（）
A. B. C. D.
6.若向量，满足=，=（-2，1），•=5，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
7.已知a=20.3，b=log20.3，c=0.32，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
8.要得到函数y=2sin2x，x∈R的图象，只需将y=sin2x-cos2x，x∈R的图象（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
9.已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻
交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间为（）
A. ∈
B. ∈
C. ∈
D. ∈
10.实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2-2）⊗（x-x2），
x∈R，若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）
A. ，
B. ，
C. D. ，
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11.函数y=a x-3+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点______．
12.已知tan（）=，则tan2α的值为______．
13.函数f（x）=log（x2-4）的单调递增区间是______．
14.在平面直角坐标系内，O为坐标原点，四边形OABC是平行四边形，且顶点A，B，
C的坐标分别为A（4，a），B（b，8），C（a，b），则在上的投影等于______．15.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在
线段BC和DC上，且=，=，则•的值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
16.已知=3．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）当α为第三象限角时，求cosα，tanα的值．
17.已知集合A={x y=+，x∈R}与集合B={x y=lg[（x-a-1）（2a-x），x∈R}．
（Ⅰ）若B⊆A，求a的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求a的取值范围．
18.已知=（1，2），=（-3，2），
（1）当为何值时，+与-3互相垂直；
（2）当为何值时，+与-3平行，平行时他们是同向还是反向．
19.已知函数f（x）=sin2x-sin2（x-），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-，的最大值和最小值．
20.设函数f（x）=log为奇函数（a为常数），且f（x）在定义域内为单调递减
函数；
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（5-3x）+f（3-2x）＞0，求x的取值范围；
（Ⅲ）若对于区间[0，1）上的每一个x值，不等式f（x）＜2x+m恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：B={1，2，4，8}；
∴A∩B={1，2，4}；
∴∁U（A∩B）={3，5}．
故选：A．
可解出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．
考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集和补集的运算．
2.【答案】C
【解析】
解：L===cm．
故选：C．
根据弧长公式L=即可求解．
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=（）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于B，y=-sinx，有f（-x）=-sin（-x）=sinx=-f（x），为奇函数，符合题意；
对于C，y=log2x，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，y= x ，有f（-x）= -x = x =f（x），为偶函数，不符合题意；
故选：B．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．
本题考查函数奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性．
4.【答案】C
【解析】
解：∵f（e-1）=lne-=1-=＜0，
f（2）=ln3-1＞lne-1=0，即f（e-1）•f（2）＜0，
∴函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间是（e-1，2），
故选：C．
函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．
5.【答案】B
【解析】
解：∵△ABC中，，
∴sinA==，sinB==，
则sinC=sin[π-（A+B）=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．
故选：B．
由A和B为三角形的内角，以及cosA和cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinB的值，把所求的式子sinC中的角换为π-（A+B），利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：∵=（-2，1），∴，
又=，•=5，两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π ，
∴cos＜＞===．
∴与的夹角为45°．
故选：C．
由已知的坐标求出，然后代入数量积求夹角公式得答案．
本题考查利用数量积求向量的夹角，考查向量模的求法，是基础的计算题．
7.【答案】D
【解析】
解：∵a=20.3＞20=1，
b=log20.3＜log21=0，
0＜c=0.32＜0.30=1，
∴a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
故选：D．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8.【答案】C
【解析】
解：将y=sin2x-cos2x=2sin（2x-），x∈R的图象，向左平移个单位长度，可得函数y=2sin2x，x∈R的图象，
故选：C．
利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，函再利用数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】
解：∵函数f（x）=2sin（ωx+），
∵y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
∴函数的周期是π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+），
∵2x+∈[2 π-，2 π+，∈，
∴x∈[ π-，π+，∈，
故选：C．
根据y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期是π，得到ω，写出解析式，根据正弦曲线的增区间，写出函数的增区间．
本题考查三角函数的解析式和有关性质，是一个基础题，这种题目是高考卷
中每一年都要出现的一种题目，注意题目的开始解析式不要出错．
10.【答案】B
【解析】
解：若x2-2-（x-x2）≤1，则2x2-x-3≤0，解得-1≤x≤，
若x2-2-（x-x2）＞1，则2x2-x-3＞0，则x＜-1或x＞，
∴f（x）=，
作出f（x）的函数图象如图所示：
∵y=f（x）-c有两个零点，
∴f（x）=c有两解，
∴c≤-2或-1＜c＜-．
故选：B．
根据定义得出f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象得出答案．
本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．
11.【答案】（3，8）
【解析】
解：对于函数y=a x-3+7（a＞0且a≠1），令x-3=0，求得x=3，y=8，
故它的图象经过定点（3，8），
故答案为：（3，8）．
令幂指数等于0，求得x、y的值，可得图象经过定点的坐标．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
12.【答案】-
【解析】
解：已知tan（）==，得tanα=2，∴tan2α===-，
故答案为：-．
由题意利用两角差的正切公式求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
本题主要考查两角差的正切公式，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
13.【答案】（-∞，-2）
【解析】
解：由x2-4＞0得（-∞，-2）（2，+∞），
令t=x2-4，由于函数t=x2-4的对称轴为y轴，开口向上，
所以t=x2-4在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）递增，
又由函数y=log t是定义域内的减函数．
所以原函数在（-∞，-2）上递増．
故答案为：（-∞，-2）．
单调区间按照复合函数单调区间的求法进行即可．
本题考查了复合函数单调区间的求法，一般的先求函数的定义域，然后确定内外函数并研究各自的单调性，再按照“同增异减”的原则确定原函数的单调
性．
14.【答案】-2
【解析】
解：由题意得，=
∴（4，a）=（b-a，8-b）
∴b-a=4①
a=8-b②；①②联立得a=2，b=6
∴=（2，6），=（-4，-2）
∴在上的投影为==-2
故答案为-2．
运用数量积的坐标运算和平行四边形的知识可解决．
本题考查数量积的坐标运算．
15.【答案】
【解析】
解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
∴BG==，CD=2-1=1，∠BCD=120°，
∵=，=，
∴•=（+）•（+）=（
+）•（+）
=•+•+•+•
=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°
=1+=，
故答案为：
根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．
16.【答案】解：（Ⅰ）∵已知==-=3，∴sinα=-．（Ⅱ）当α为第三象限角时，∵sinα=-，∴cosα=-=-tanα===．【解析】
（Ⅰ）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，求得sinα的值．
（Ⅱ）当α为第三象限角时，由sinα=-，利用同角三角函数的基本关系cosα，tanα的值．
本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简三角函数式，属于基础题．
17.【答案】解：要使函数集合y=+有意义，须使，
所以集合A={＜-1或x≥1}．
要使函数y=lg[（x-a-1）（2a-x）有意义，
须使（x-a-1）（2a-x）＞0，即（x-a-1）（x-2a）＜0，
所以集合B={x（x-a-1）（x-2a）＜0}．
（Ⅰ）①a=1时，B=∅，∅⊆A；
②a＞1时，B={x a+1＜x＜2a}，∴B中全是正数，
若B⊆A，则a+1≥1，∴a≥0，∴a＞1；
③a＜1时，B={x 2a＜x＜a+1}，
若B⊆A，则a+1≤-1或2a≥1，∴a≤-2或a≥，
∴a≤-2或a＜1；
综上可知：a≤-2或a≥．
（Ⅱ）①a=1时，B=∅，A∩∅=∅；
②a＞1时，B={x a+1＜x＜2a}，∴B中全是正数，
若A∩B=∅，则2a≤1，∴a≤，∴a∈∅；
③a＜1时，B={x 2a＜x＜a+1}，
若A∩B=∅，则，∴-≤a≤0，
综上可知：-≤a≤0或a=1．
【解析】
（Ⅰ）首先简化集合A、B，然后结合B⊆A分类讨论得不等式组，取三类的并集可得结果；
（Ⅱ）首先简化集合A、B，然后结合A∩B=∅分类讨论得不等式组，取三类的并集可得结果．
本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．
18.【答案】解：由=（1，2），=（-3，2），
得，，，
，，，．
（1）若+与-3互相垂直，则10（-3）-4（2+2）=0，解得=19．
∴当为19时，+与-3互相垂直；
（2）若+与-3平行，则-4（-3）-10（2+2）=0，解得=-．
∴当为时，+与-3平行，此时+=，，与-3反向．
【解析】
由向量坐标的数乘及及加法和减法运算求出+与-3的坐标．
（1）利用向量垂直的坐标运算列式求解；
（2）利用向量平行的坐标运算列式求解，然后求出两向量的坐标关系得结论．本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了两个向量平行的坐标表示，考查计算能力，是基础题．
19.【答案】解：（1）化简可得f（x）=sin2x-sin2（x-）
=（1-cos2x）-[1-cos（2x-）
=（1-cos2x-1+cos2x+sin2x）
=（-cos2x+sin2x）
=sin（2x-），
∴f（x）的最小正周期T==π；
（2）∵x∈[-，，∴2x-∈[-，，
∴sin（2x-）∈[-1，，∴sin（2x-）∈[-，，
∴f（x）在区间[-，内的最大值和最小值分别为，-．
【解析】
（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-），由周期公式可得；
（2）由x∈[-，，结合合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=log为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立，
有log+log=0，
于是•=1，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log，
由＞0，得-1＜x＜1，函数f（x）的定义域为（-1，1）．
又f（x）在定义域内为单调递减函数，
∴f（5-3x）+f（3-2x）＞0⇔ ＜＜
＜＜
＜
，解得＜＜．
∴x的取值范围是（，）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-2x，x∈[0，1），
已知函数f（x）在（-1，1）内是单调递减函数，且函数y=2x在x∈[0，1）上是增函数，可知g（x）=f（x）-2x，x∈[0，1）是减函数．
∴g（x）max=g（0）=-1，
∵对于区间[0，1）上的每一个x值，不等式f（x）＜2x+m恒成立，
即m＞g（x）max恒成立，
∴m＞-1．
【解析】
（Ⅰ）由已知结合奇函数的定义有log+log=0，即•
=1，由此解得a值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log，求其定义域，再由函数的单调性把f（5-3x）+f （3-2x）＞0转化为关于x的不等式组求解；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-2x，x∈[0，1），由g（x）=f（x）-2x，x∈[0，1）是减函数求其最大
值，可得实数m的取值范围．
本题考查函数单调性与奇偶性的判定及应用，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．。