2.1.2椭圆的简单几何性质 (优秀经典公开课比赛课件)

3．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其 基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数 法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而 不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距．
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1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一
个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A. (0,1) B. (0， 36] C. [ 36，1) D. 不能确定，因结论不仅仅与 e 有关
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解析：在椭圆上存在点 M，使∠A1MA2＝120°⇔∠
A1B2A2≥120°⇔ ∠ OB2A2≥60°， ab ＝ tan∠ OB2A2≥tan60°＝
3，即
3≤
a2a－c2＝
11－e2，故
e≥
6 3.
答案：C
11
3．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为
A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.
若A→P＝2P→B，则椭圆的离心率是( )
3
2
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
A. 2
B. 2
C.3
D.2
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解析：如图，由于 BF⊥x 轴，故 xB＝－c，yB＝ba2， 设 P(0，t)， ∵A→P＝2P→B， ∴(－a，t)＝2(－c，ba2－t)． ∴a＝2c.∴ac＝12.
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椭圆的简单几何性质 例 1 已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23， 求 m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[分析] 解决本题的关键是确定 m 的值，应先将椭圆方程化 为标准形式，用 m 表示 a、b、c，再由 e＝ 23求出 m 的值．
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3．求椭圆中的弦长 若直线与椭圆相交时，常常借助根与系数的关系解决弦 长问题．直线方程 y＝kx＋m，椭圆方程为：xa22＋by22＝1(a>b>0)， 联立消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程．当 Δ>0 时，直线 与椭圆相交，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2), 则直线被椭圆截 得的弦长； |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
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注意：椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)与椭圆xa22＋by22＝λ 和椭圆ay22＋xb22＝λ(a>b>0，λ>0)的离心率相同．
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2．直线与椭圆的位置关系 要解决直线与椭圆的位置关系问题，可把直线方程与椭 圆方程联立，消去 y(或消去 x)得到关于 x(或关于 y)的一元二 次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC. 若 Δ<0，则直线与椭圆没有公共点； 若 Δ＝0，则直线与椭圆有且只有一个公共点； 若 Δ>0，则直线与椭圆有两个公共点．
圆的位置 相离、相切、相交 相应方程组解的情况
关系
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思考探究 椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有什么关系？ 提示：∵a>c，∴e＝ac∈(0,1)，当 e 越接近于 1 时， 椭圆越扁；当 e 越接近于零时，椭圆就越接近于圆．
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2．利用椭圆的方程，可以研究椭圆的几何性质，如求 顶点坐标、焦点坐标，长轴和短轴的长以及离心率等．
2．1.2 椭圆的简单几何性质
1
2
1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质． 2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程． 3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
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1.椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的几何性质与研究方法
几何性 质
从图形上看
从方程上研究
范围 位于矩形框内
x∈[_－__a_，__a_]_， y∈[_－__b_，__b_]_
OBF1
令 x＝0，y＝0 可得
长轴长为__2_a_， 短轴长为_2_b__
焦点 FF21____－__c__，c__，__0__0________， |F1F2|＝_2_c__
a2＝_b_2_＋__c_2 __
5
离心率 反映椭圆的_扁__圆__程__度__
直线与椭
c e＝____a____
答案：D
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4．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离 心率为 23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12， 则椭圆 G 的方程为__3_x6_2＋___y92_＝__1____．
解析：设椭圆的长半轴长为 a，由 2a＝12 知 a＝6，又 e ＝ac＝ 23，故 c＝3 3，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.
A．(±13,0)
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，± 69)
解析：由题意知 a＝13，b＝10，焦点在 y 轴上． 所以 c＝ a2－b2＝ 132－102＝ 69. 故焦点坐标为(0，± 69)．
答案：D
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2．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)长轴的两端点是 A1、A2， 且在椭圆上存在点 M，使∠A1MA2＝120°，则椭圆离心率 e 的取值范围是( )
∴椭圆标准方程为3x62 ＋y92＝1.
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5．求椭圆 16x2＋9y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、 焦点和顶点坐标．
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解：椭圆方程变形为x92＋1y62 ＝1， ∴焦点在 y 轴上． 这里 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7. ∴长轴长 2a＝2×4＝8， 短轴长 2b＝2×3＝6. 离心率 e＝ac＝ 47， 焦点坐标：(0，－ 7)，(0， 7) 顶点坐标：(0，±4)，(±3,0)．
对称性
既关于_坐__标__轴___成轴 对称又关于_原__点_____
成中心对称
将方程中的 x，y 分别换 成－x，－y 后，方程不变
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顶点 长轴 (短轴)
焦点
图形与坐标轴的交点 线段 A1A，B1B， (A1A 为长轴长， B1B 为短轴长)
定义中的两个定点
焦距 a、b、c 的关系
线段 F1F2 的长 对应直角三角形
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1.椭圆的离心率与其扁圆程度的关系 (1)离心率公式：e＝ac＝ 1－ab2. (2)离心率范围：0<e<1. (3)离心率 e 是刻画椭圆的扁圆程度的比率： 当 e 越接近于 0 时，c 越接近于 0，a 与 b 越接近于相等， 椭圆越接近于圆； 当 e 越接近于 1 时，b 越接近于 0，a 与 c 越接近于相等， 椭圆越接近于线段 A1A2.所以离心率越大，椭圆越扁．