中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(六) 解直角三角形应用之三大模型

∴∠PBD＝60°， ∴∠CBD＝60°－45°＝15°，90°－15°＝75°. 即海监船由 B 处开始沿南偏东至多 75°的方向航行能安全通过这一海域．
3．(2020·泰州)泰州市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮 在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 15 m 的 A 处测 得在 C 处的龙舟俯角为 23°；他登高 6 m 到正上方的 B 处测得驶至 D 处 的龙舟俯角为 50°，两次观测期间龙舟前进了多少？ (结 果精确到 1 m，参考数据： tan 23°≈0.42，tan 40° ≈0.84，tan 50°≈1.19，tan 67°≈2.36)
1．如图，某校数学兴趣小组的小明同学为了测量位于玉溪大河畔的云铜 矿业大厦 AB 的高度，小明在他家所在的公寓楼顶 C 处测得大厦顶部 A 处 的仰角为 45°，底部 B 处的俯角为 30°.已知公寓 高为 40 m，请你帮助小明计算公寓楼与矿业大厦间 的水平距离 BD 的长度及矿业大厦 AB 的高度．(结果 保留根号)
解：楼房底端设为 E 点，由题意得 CE＝AE·tan 67°＝15×2.36＝35.4(m)， BE＝BA＋AE＝6＋15＝21(m)，
DE＝BE·tan 40°＝21×0.84≈17.6(m)． ∴CD＝CE－DE＝35.4－17.6≈18(m)． 答：两1·荆门)某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10(3＋ 3) 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60°的方向上，当海监船行驶 20 海里后到达 B 处，此时观测 小岛 P 位于 B 处北偏东 45°方向上． (1)求 A，P 之间的距离 AP； (2)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危 险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安 全通过这一海域？
由题意得，∠AGC＝30°，∴GH＝tan∠AGC＝ 3＝2 3， ∵CH＝3DH＝6，∴GC＝GH＋CH＝2 3＋6， 3 在 Rt△BAC 中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x，
∴tan∠AGB＝ABBG＝BCA＋BCG＝AB＋2AB3＋6＝ 33， 解得 AB＝6＋4 3，即大树 AB 的高度为(6＋4 3)米．
解：(1)过点 P 作 PC⊥AB，交 AB 的延长线于点 C， 由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20 2， 设 PC＝x，则 BC＝x，
在 Rt△PAC 中，∵tan 30°＝PACC＝x＋2x0 2＝ 33， ∴x＝10 6＋10 2，∴PA＝2x＝20 6＋20 2， 答：A，P 之间的距离 AP 为(20 6＋20 2)海里．
(2)有，理由：∵PC－10(3＋ 3)＝10 6＋10 2－30－10 3 ＝10( 3＋1)( 2－ 3)＜0， ∴有触礁的危险；
设海监船新航线为射线 BD，作 PE⊥BD，垂足为 E，当 P 到 BD 的距离 PE ＝10(3＋ 3)海里时， 有 sin∠PBE＝10（23·＋PC3）＝1200（（3＋3＋13））＝ 23，
解：(1)过 D 作 DH⊥CE 于点 H，如图所示． DH 1
在 Rt△CDH 中，CH＝3，∴CH＝3DH， ∵CH2＋DH2＝CD2，∴(3DH)2＋DH2＝(2 10)2， 解得 DH＝2 或－2(舍)， ∴王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米．
(2)延长 AD 交 CE 于点 G，设 AB＝x 米， DH 2
【模型突破】如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC ＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG. 【模型演变 3】
【模型突破】如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如 图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG.
【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边 BC 是解题的关键． 【模型突破】BC 为公共边．
【模型演变】
【模型突破】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③， AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
4．(2021·凉山州)王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后， 尝试利用所学知识测量河对岸大树 AB 的高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 45°，再从 C 点出发沿斜坡走 2 10米到达斜坡上 D 点，在点 D 处测得树顶端 A 的仰角为 30°，若斜坡 CF 的坡比为 i＝1∶3(点 E，C， B 在同一水平线上)． (1)求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； (2)求大树 AB 的高度(结果保留根号)．
方法技巧突破(六) 解直角三角形应用之三大
模型
(宁夏：2021T15，2018T15)
模型一：背靠背型
【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高 CD，构造 出两个直角三角形求解，其中公共边 CD 是解题的关键． 【模型突破】CD 为公共边，AD＋BD＝AB.
【模型演变】 【模型突破】如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF， CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB.
模型二：子母型 【基本模型】
【模型分析】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高 BC，构造有公 共直角的两个三角形求解，其中公共边 BC 是解题的关键．
【模型突破】BC 为公共边，如图①，AD＋DC＝AC； 如图②，DC－BC＝DB. 【模型演变 1】
【模型突破】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如 图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE. 【模型演变 2】
解：在 Rt△BCD 中，CD＝40 m，∠CBD＝30°， 则 BD＝tanCD30°＝403＝40 3(m)．
3 在 Rt△ACE 中，CE＝BD＝40 3m，∠ACE＝45°， 则 AE＝CE＝40 3m. 所以 AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝(40 3＋40)m. 答：公寓楼与矿业大厦间的水平距离 BD 的长度是 40 3m，矿业大厦 AB 的高度是(40 3＋40)m.