圆的切线案例

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圆的切线证明题

圆的切线证明题

CEABOP如何证明圆的切线1、证切线---------------90°(垂直)2、有90°------------------证全等3、有⊥------------------证∥,错过来4、利用角+角=90°关注:等腰(等边)三线合一;中位线;直角三角形1、如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O 交于点D,与PA的延长线交于点E,求证:PB为⊙O的切线;2、已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线,连结CO,若AD∥OC交⊙O于D,求证:CD 是⊙O的切线。

3、如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M求证:DM与⊙O相切.4、已知:如图,中,,以为直径的交于点,于点.(1)求证:是的切线;5、已知:如图⊙O是△ABC的外接圆,P为圆外一点,PA∥BC,且A为劣弧的中点,割线PBD过圆心,交⊙0于另一点D,连结CD.(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系,并证明你的结论.(2)当AB=13,BC=24时,求⊙O的半径及CD的长.6、如图,点B、C、D都在半径为6的⊙O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)求弦BD的长;(3)求图中阴影部分的面积.7、已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90︒。

(1) 求证:直线AC是圆O的切线;(2) 如果∠ACB=75︒,圆O的半径为2,求BD的长。

8、如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=错误!未找到引用源。

∠CAB.(1)求证:直线BF是⊙O的切线;9、已知⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE 交OP于C,求证:PC=CD。

圆的切线课件

圆的切线课件
介绍圆的切线的定义、性质和求法,以及与圆有关的形态变化和 函数问题的解决方法。
什么是圆的切线?
圆的切线是与圆只有一个公共点的直线,可以通过圆心与切点之间的连线来 画出切线。
圆的切线的性质
1 垂直性质
切线与半径垂直,形成90度的角。
2 切点延长线
切点在半径所在直线的延长线上。
3 夹角性质
两条切线的夹角等于对应切点处圆心角的一半。
如何求圆的切线?
求圆的切线的方法有两种: 1. 直接通过圆心和切点画出切线。 2. 利用勾股定理和切线的性质求出切线方程。
圆与直线的位置关系

圆内一条与圆心的距离小于 半径的直线。
切线
圆内一条与圆心的距离等于 半径的直线。
割线
圆内一条与圆心的距离大于 半径的直线。
结语
圆的切线是圆的基本性质之一,它的定义、性质和求法可以帮助解决与圆有 关的形态变化、函数等问题。 通过深入了解圆的性质,我们可以更好地理解和应用数学知识。

证明圆的切线的七种常用方法

证明圆的切线的七种常用方法

证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点:连半径,证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图,⊙O的直径AB=12,点P是AB延长线上一点,且PB=4,点C是⊙O上一点,PC=8. 求证:PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.(1)求证:P A是⊙O的切线;(2)若PD =5,求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC 的中点,以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证:DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图,已知四边形OABC的三个顶点A ,B ,C在以O为圆心的半圆上,过点C 作CD ⊥AB,分别交AB,AO 的延长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF,且∠E=30°,点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由;(2)求证:CF=OC;(3)若⊙O的半径是6,求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图,AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在⊙O 上,且四边形AOCD 是平行四边形,过点D 作⊙O 的切线,交OC 的延长线于点F ,连接BF .求证:BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点:作垂直,证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,E 是AB 上一点,DE =DC ,以点D 为圆心,BD 长为半径作OD ,AB =5,EB =2. (1)求证:AC 是OD 的切线;(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图,四边形ABCD 中,∠A =∠ABC =90°,AD +BC =CD ,以AB 为直径作⊙O . 求证:⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。

圆的切线方程

圆的切线方程
O
x
经过点M 的切线方程是 x0 y y ( x x ), 0 0 y 0
因为点 M在圆上,所以 x2 y 2 r 2, 0 0 所求的切线方程是 x x y y r 2. 0 0
当点M在坐标轴上时, 可以验证,上面方程 同样适用.
例 2 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程. y
圆的切线方程
北师大版必修2
回顾:
1 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特例:
2+y2=r2 x
2 使用圆的标准方程的条件:
所给条件与圆心坐标及半径联系紧 密。
练习:已知圆过点P(2,-1)和直线
x-y=1相切,它的圆心在直线
y=-2x上,求圆的方程。 答案: (x-1)2+(y+2)2=2 (x-9)2+(y+18)2=338
本节要求:
1 掌握求圆的切线方程的方法。
2 会判断直线与圆的位置关系。
例 1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过 y 圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
解:设切线的斜率为 k , OM x 0 y0 1 . k, k 则 k OM x k 0. y 0
M ( x0 , y0 )
k-2 d= 2 k +1
总结:
1 过圆 x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为: 2 求已知圆的切线方程时,用待定系数法. 3 直线和圆的位置关系:
方法 关系
x0x+y0y=r2
代数法 △<0
几何法 r<d
相离 相切 相交
△=0 △>0
r=d r >d

(完整版)证明圆的切线经典例题

(完整版)证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有:一、若直线l过⊙O 上某一点A,证明l 是⊙O 的切线,只需连OA,证明OA⊥l 就行了,简称“连半径,证垂直” ,难点在于如何证明两线垂直.例 1 如图,在△ ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径的⊙ O交BC 于D,交AC 于E, B 为切点的切线交OD 延长线于 F.求证:EF 与⊙ O 相切.证明:连结OE,AD.∵AB 是⊙ O 的直径,∴AD ⊥ BC.又∵ AB=BC ,∴∠ 3=∠ 4.⌒⌒∴B⌒D=DE ,∠ 1=∠ 2.又∵ OB=OE ,OF=OF ,∴△ BOF ≌△ EOF(SAS)∴∠ OBF= ∠OEF.∵BF 与⊙O 相切,∴OB ⊥ BF.∴∠ OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的例 2 如图, AD 是∠ BAC 的平分线, 求证: PA 与⊙ O 相切 .证明一: 作直径 AE ,连结 EC.∵AD 是∠ BAC 的平分线, ∴∠ DAB= ∠ DAC. ∵PA=PD ,∴∠ 2=∠1+∠ DAC. ∵∠ 2=∠B+ ∠ DAB , ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B= ∠E , ∴∠ 1=∠ E∵AE 是⊙O 的直径, ∴ AC ⊥ EC ,∠ E+ ∠ EAC=90 0. ∴∠ 1+∠ EAC=90 0. 即 OA ⊥ PA. ∴PA 与⊙O 相切.∵PA=PD , ∴∠ PAD= ∠PDA.又∵∠ PDA= ∠BDE,证明二: 延长 AD 交⊙O 于 E ,连结∵A ⌒D 是⌒∠ BAC 的平分线, ∴BE=CE ,∴ OE ⊥BC.∴∠ E+∠ BDE=90.∵OA=OE , ∴∠ E=∠ 1.P 为BC 延长线上一点,且 PA=PD.说明:例3求证:证明一证明二∴∠ 1+∠PAD=90 0 即OA ⊥PA. ∴PA与⊙O 相切此题是通过证明两角互余,证明垂直的如图,AB=AC ,AB 是⊙O 的直径,DM 与⊙ O 相切.:连结OD.AB=AC ,∠ B= ∠ C. OB=OD ,∠ 1=∠ B. ∠ 1=∠ C. OD∥AC.DM ⊥AC ,DM ⊥ OD.DM 与⊙ O 相切:连结OD,AD.∵ AB 是⊙ O 的直径,∴ AD ⊥BC.又∵ AB=AC,∴∠ 1=∠2.∵DM ⊥AC ,∴∠ 2+∠ 4=900 ∵OA=OD ,∴∠ 1=∠ 3.,解题中要注意知识的综合运用⊙ O交BC于D,DM⊥AC 于M∴∠ 3+∠4=900.即 OD ⊥ DM.∴ DM 是⊙ O 的切线解题中注意充分利用已知及图上已知例 4 如图,已知: AB 是⊙ O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上 .求证: DC 是⊙O 的切线 证明: 连结 OC 、 BC.∵OA=OC , ∴∠ A=∠1=∠300.∴∠ BOC= ∠ A+ ∠1=600. 又∵ OC=OB , ∴△ OBC 是等边三角形 ∴OB=BC. ∵ OB=BD ,∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙ O 的切线 .说明: 此题是根据圆周角定理的推论 好.例 5 如图, AB 是⊙O 的直径, CD ⊥ AB ,且 OA 2=OD ·OP. 求证: PC 是⊙O 的切线 . 证明: 连结 OC∵OA 2=OD · OP ,OA=OC , ∴ OC 2=OD · OP ,说明: 证明一是通过证平行来证明垂直的 .证明二是通过证两角互余证明垂直的,C 在⊙ O 上,且∠ CAB=30 0, BD=OB ,3 证明垂直的, 此题解法颇多, 但这种方法较OC OP.OD OC . 又∵∠ 1= ∠1,∴△OCP∽△ ODC.∴∠ OCP= ∠ODC.∵CD⊥AB,∴∠ OCP=900.∴PC是⊙O的切线.说明:此题是通过证三角形相似证明垂直的例 6 如图,ABCD 是正方形,G 是BC 延长线上一点,AG 交BD 于 E ,交CD 于F.求证:CE 与△ CFG 的外接圆相切分析:此题图上没有画出△ CFG 的外接圆,但△ CFG 是直角三角形,圆心在斜边FG 的中点,证明:为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC 即可得解.取FG 中点O ,连结OC.∵ ABCD 是正方形,∴BC ⊥ CD,△ CFG 是Rt△∵O 是FG 的中点,∴O 是Rt△ CFG 的外心.∵OC=OG ,∴∠ 3=∠G,∵AD ∥BC,∴∠G= ∠4.∵ AD=CD ,DE=DE ,∠ADE= ∠CDE=45 0,∴△ADE ≌△ CDE(SAS)∴∠ 4=∠1,∠ 1=∠3.∵∠ 2+∠3=900,∴∠ 1+∠2=900.即CE⊥ OC.∴CE 与△ CFG 的外接圆相切、若直线l与⊙ O没有已知的公共点,又要证明l 是⊙ O的切线,只需作OA⊥l,A 为垂足,证明OA 是⊙ O 的半径就行了,简称:“作垂直;证半径” 例7 如图,AB=AC ,D 为BC 中点,⊙ D 与AB 切于 E 点.求证:AC 与⊙ D 相切.证明一:连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.∵ AB 是⊙ D 的切线,∴ DE⊥ AB.∵DF⊥AC ,∴∠ DEB= ∠DFC=90 0.∵ AB=AC ,∴∠ B= ∠C.又∵ BD=CD ,∴△ BDE ≌△ CDF(AAS )∴DF=DE.∴F 在⊙ D 上.∴ AC 是⊙ D 的切线连结DE,AD ,作DF⊥ AC ,F是垂足.证明二:∵ AB 与⊙ D 相切,∴ DE⊥ AB.∵ AB=AC ,BD=CD ,∴∠ 1=∠ 2.∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴ DE=DF. ∴ F 在⊙ D 上 . ∴ AC 与⊙ D 相切 .说明: 证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE 的,证明二是利用角平分线的性 质证明 DF=DE 的,这类习题多数与角平分线有关 .例 8 已知:如图, AC ,BD 与⊙ O 切于 A 、B ,且 AC ∥BD ,若∠ COD=90 0. 求证: CD 是⊙ O 的切线 .证明一: 连结 OA , OB ,作 OE ⊥CD ,E 为垂足.∵∠ 4+∠5=900.∴∠ 1=∠5.∴Rt △ AOC ∽Rt △BDO.∴AC OC .∴ OB OD .∵ OA=OB ,∴AC OC .∴ OA OD . 又∵∠ CAO= ∠ COD=90 0, ∴△AOC∽△ ODC ,∴∠ 1=∠2.又∵ OA ⊥AC ,OE ⊥CD,∴OE=OA.∴E 点在⊙ O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明二:连结OA ,OB,作OE⊥CD 于E,延长DO 交CA 延长线于 F.∵AC,BD 与⊙O 相切,∴AC⊥OA ,BD ⊥ OB.∵AC∥BD ,∴∠ F=∠ BDO.又∵ OA=OB ,∴△ AOF ≌△ BOD(AAS∴ OF=OD.∵∠ COD=90 0,∴ CF=CD ,∠ 1=∠ 2.又∵ OA⊥AC ,OE⊥CD,∴ OE=OA.∴E点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三:连结AO 并延长,作OE⊥CD 于E,取CD 中点F,连结OF.∵AC 与⊙O 相切,∴ AC ⊥AO.∵AC∥BD ,∴ AO⊥ BD.∵BD 与⊙O 相切于B,∴ AO 的延长线必经过点∴ AB 是⊙ O 的直径.∵ AC ∥BD ,B.CF=DF ,∴OF∥AC ,∴∠ 1=∠ COF.∵∠ COD=90 0,CF=DF ,1∴ OF CD CF .2∴∠ 2=∠ COF.∴∠ 1=∠ 2.∵OA⊥AC ,OE⊥CD,∴ OE=OA.∴E点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明:证明一是利用相似三角形证明∠ 1=∠ 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠ 1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠ 1=∠2,这种方法必需先证明 A 、O、B 三点共线.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考。

证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法

证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法

证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直:当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径,证垂直”2、作垂直,证半径:当直线和圆的公共点没有明确时,可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”类型一、有公共点:连半径,证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图,AB为⊙O的直径,点P为AB延长线上一点,点C为圆⊙O上一点,PC=8,PB =4,AB=12,求证:PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2、如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.(1)求∠P的度数;(2)求证:P A是⊙O的切线;(3)若PD=5,求⊙O的直径.方法3、等角代换法证垂直3、如图,已知Rt △ABC 中,∠C =90°,D 为BC 的中点,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。

求证:DE 是⊙O 的切线;方法4、平行线性质法证垂直4、如图,已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上,过点C 作CD ⊥AB ,分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ,AE 交半圆O 于点F ,连接CF .且︒=∠30E ,点B 是的中点(1)判断直线DE 与半圆O 的位置关系,并说明理由;(2)求证CF=OC(2)若半圆O 的半径为6,求DC 的长.方法5 全等三角形法证垂直5、如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,且四边形AOCD 是平行四边形,过点D 作⊙O 的切线,交OC 的延长线于点F ,连接BF ,求证:BF 是⊙O 的切线。

A B O D CF类型二、无公共点:做垂直,证半径方法6 角平分线的性质法证半径6.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,E 为AB 上的一点,DE =DC ,以D 为圆心,DB 长为半径作⊙D ,AB =5,EB =2.(1)求证:AC 是⊙D 的切线;(2)求线段AC 的长.方法7 全等三角形法证半径7.已知四边形ABCD 中,∠BAD =∠ABC =90°,CD BC AD =+,以AB 为直径的⊙O 。

证明圆的切线经典例题

证明圆的切线经典例题

例1 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
求证:PA与⊙O相切.
例2 如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
求证:PC是⊙O的切线.
(12分)如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上一点,连接DC,且AC=DC,BC=BD.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)作CD的平行线AE交⊙O于点E,已知DC=10,求圆心O到AE的距离.
如图,已知△ABC 内接于⊙O ,AC 是⊙O 的直径,D 是弧AB 的中点,过点 D 作
直线 BC 的垂线,分别交 CB 、CA 的延长线 E 、F
(1)求证:EF ⊙是 O 的切线;
(2)若 AB =8,EB =2,求⊙O 的半径
如图,△ABC 内接于⊙
O ,AB =8,AC =4,D 是AB 边上一点,P 是优弧BAC 的中点,
连接PA 、PB 、PC 、PD ,当BD 的长度为多少时,△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形?
并加以证明
在Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=3cm ,BC=4cm ,以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D 。

(1)求线段AD 的长度;
(2)点E 是线段AC 上的一点,试问当点E 在什么位置时,直线ED 与⊙O 相切?请说明理由。

圆的切线方程

圆的切线方程
方程是 x0 x y0 y r 2 y
M (x0 , y0 )
O
x
结论二:
过圆(x a)2 ( y b)2 r2上一点(x0, y0)的切 线方程为:(x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2.
y
M (x0 , y0 )
(a,b)
O
x
结论三:
过圆x2 y2 Dx Ey F 0上一点(x0, y0)的切线
方程为:
xx0
y
yy0
D
x
x0 2
E
y
y0 2
F
0.
M (x0 , y0 )
O
x
例1: 求与圆x2 y2 13切于P(3, 2) 点的切线方程。
解: P(3,2)是切点 可直接写出切线方程: 3x 2 y 13 3x 2 y 13 0
练习: 写出过圆x2+y2=10上一点M(2, 6) 的切线的方程.
y
(-2,4)
0 (1,0)
x
注:过圆外一点的切线有两条,若求的一个k值,则 过已知点垂直x轴的直线也是所求的切线.
例2:已知圆C的方程为 (x 1)2 ( y 3)2 1 ,
求过点 M (2,4) 的切线方程。
四、总结
三、已知斜率的切线方程:
例3 : 设圆的方程为x2 y2 13,它与斜率
22 42 4
ox
42 4
(2).求经过点(1, 7)与圆x2 y2 25相切的切线方程 并求切线长
例 2. 已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点
(-2,4)的圆的切线方程. 解:∵圆心(1,0)到点(-2,4)的距离为5大于半径3
∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条

圆的切线的二级结论及其证明

圆的切线的二级结论及其证明

圆的切线的二级结论及其证明结论一:过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程:x 0⋅x +y 0⋅y =r 2 标准方法:由题意可知切线过(x 0,y 0),只需要求得斜率k 即可方法一:由初中阶段圆的切线知识可知,切线与过切点的半径互相垂直而过切点的半(直)径的斜率为y 0x 0∴切线的斜率k =-x 0y 0∴切线方程为 y -y 0=-x 0y 0(x -x 0) 即y 0y -y 02=-x 0x +x 02点(x 0,y 0)在圆上∴x 02+y 02=r 2移项可得x 0⋅x +y 0⋅y =r 2方法二:圆心到直线的距离为r设直线为y -y 0=k (x -x 0),即kx -y -kx 0+y 0=0圆心到该直线的距离d =|-kx 0+y 0|k 2+1=r (注意目标:解出k ) k 2x 02-2kx 0y 0+y 02=r 2(k 2+1) (解出k 恐怕不太容易)整理可得: (x 02-r 2)k 2-2x 0y 0k +y 02-r 2=0 (由k 的唯一性可知这货的∆=0)∴k =x 0y 0x 02-r2 ∴切线方程为: y -y 0=x 0y 0x 02-r2(x -x 0) 整理为: x 02y -r 2y +y 0r 2=x 0y 0x (这怎么能是答案呢?但真的是)∵点(x 0,y 0)在圆上∴x 02+y 02=r 2∴x 02 =r 2-y 02代入上式:(r 2-y 02)y -r 2y +y 0r 2=x 0y 0x整理即为结论方法三:使用代数方法,联立直线和圆,应该有唯一解,即一个交点,求出k 当k 不存在时,切点就是(±r ,0),易得切线即为x =±r ,符合结论⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=r 2y -y 0=k ()x -x 0 x 2+(x -x 0)2k 2+2y 0(x -x 0)k +y 02-r 2=0(k 2+1)x 2-2k 2x 0x +2ky 0x +k 2x 02-2kx 0y 0+y 02-r 2=0(k 2+1)x 2-2(k 2x 0-ky 0)x +k 2x 02-2kx 0y 0+y 02-r 2=0(k 2+1)x 2-2k (kx 0-y 0)x +(kx 0-y 0)2-r 2=0∆=[2k (kx 0-y 0)]2-4(k 2+1)[(kx 0-y 0)2-r 2]=4k 2(kx 0-y 0)2-4k 2(kx 0-y 0)2+4k 2r 2-4(kx 0-y 0)2+4r 2=4k 2r 2-4(kx 0-y 0)2+4r 2=0∴k 2r 2-(kx 0-y 0)2+r 2=0 (观察可知,只有k 是未知的,其余x 0、y 0、r 均为常量)整理可得:(r 2-x 02)k 2+2x 0y 0k +r 2-y 02=0有k 的唯一性可知,上面关于k 的一元二次方程有唯一解k =k 1=k 2=x 0y 0x 02-r 2 ∴切线方程为:y -y 0=x 0y 0x 02-r 2 (x -x 0) x 02y -x 02y 0-r 2y +y 0r 2=x 0y 0x -x 02y 0x 02y -r 2y +y 0r 2=x 0y 0x ①∵x 02=r 2-y 02代入①式:(r 2-y 02)y -r 2y +y 0r 2=x 0y 0xr 2y -y 02y -r 2y +y 0r 2=x 0y 0x-y 02y +y 0r 2=x 0y 0x-y 0y +r 2=x 0x即:x 0⋅x +y 0⋅y =r 2方法四:对x 2+y 2=r 2两侧求导2x +2yy '=0∴k =y '=-x 0y 0,同方法一点评:由于圆具有最丰富的特性,因此其切线的求法方法也比较多,利用几何特性、代数表达都可以,以上三个方法,方法一、二必须掌握,但仅仅限于圆的问题,椭圆就不可以了;方法三是对椭圆、双曲线、抛物线切线的热身;计算让人头晕目眩,不过到了椭圆、双曲线时,不得不采用;方法四有点擦边球,大题不能采用,但最简单。

完整版)证明圆的切线经典例题

完整版)证明圆的切线经典例题

完整版)证明圆的切线经典例题证明圆的切线有以下两种常用方法:一、若直线l过圆O上某一点A,证明l是圆O的切线,只需连OA,证明OA⊥l即可。

这种方法简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直。

举例来说,对于△ABC中,若AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E,且B为切点的切线交OD 延长线于点F,要证明EF与圆O相切。

我们可以连结OE和AD,因为AB是圆O的直径,所以AD⊥BC。

又因为AB=BC,所以∠3=∠4,∠1=∠2,从而BD=DE。

又因为OB=OE,OF=OF,所以△BOF≌△EOF(SAS),因此∠OBF=∠OEF。

因为BF与圆O相切,所以OB⊥BF,即∠___。

因此EF与圆O相切。

这个例子是通过证明三角形全等证明垂直的。

二、若AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD,要证明___与圆O相切。

我们可以作直径AE,连结EC。

因为AD是∠BAC的平分线,所以∠DAB=∠DAC。

因为PA=PD,所以∠2=∠1+∠DAC。

因为∠2=∠B+∠DAB,所以∠1=∠B=∠E。

因为AE是圆O的直径,所以AC⊥EC,∠E+∠___,因此∠1+∠___,即OA⊥___。

因此PA与圆O相切。

这个例子是通过证明两角互余,证明垂直的,需要综合运用知识。

另外,对于例3中的问题,我们也可以通过连结OD和AD来证明DM与圆O相切。

因为AB是圆O的直径,所以AD⊥BC。

又因为AB=AC,所以∠1=∠2.因为DM⊥AC,所以∠2+∠4=90.因为OA=OD,所以∠1=∠3,∠3+∠4=90.因此OD⊥DM,即DM是圆O的切线。

本文将介绍证明圆的切线常用的三种方法。

第一种是利用相似三角形证明∠1=∠2.第二种是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.第三种是利用梯形的性质证明∠1=∠2,但需要先证明A、O、B三点共线。

对于第一种方法,我们可以通过观察图形发现,∆OAB与∆OCD相似,因为它们有两个对应角分别相等。

两圆的公切线(1)

两圆的公切线(1)

A O1
B
P
C O2
证明:
连结O1A、O2B,作O1C⊥O2B于C
∵AB切两圆于点A、B ∴O1A⊥AB,O2B⊥AB ∴ABCO1为矩形 ∴BC=AO1,AB=O1C ∴O2C=r2-r1 又∵ ⊙O1与⊙O2外切于点P ∴O1O2=r1+r2 在Rt△O1O2C中 O1C2=O1O22-O2C2=(r1+r2)2-(r2-r1)2=4r1r2 ∴AB2=4r1r2
B O1
C
A
O2
A.点在圆内 C.点在圆外
B.点在圆上 D.关系不确定
9.若两圆外切于P点,AB、CD是两圆的外公切线,A、B、C、 D是切点,过P点的公切线分别交AB、CD于E、F点,则可能是: ①AB=CD ②CD=EF ): B.只有②和③ D.①、②和③ ③AD与BC相交于P点。 以上结论正确的是( A.只有①和② C.只有①和③
M
M O2
O1
P N
O1 O2
P N
7(1)
7(2)
(2)两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时,则: ①由圆的对称性易知:两条外公切线的长相等;两条内公切线 的长相等。 ②两条外(内)公切线如果相交,那么由轴对称的性质易知,交 点一定在连心线上,并且进一步可以由切线定理推知,两圆连 心线平分两条外(内)公切线的夹角,如图8(1)中,∠APO1= ∠CPO1,如图8(2)中,∠FQO2=∠HQO2。
3.如图(12),⊙O1与⊙O2内切于P点,⊙O2的弦AB切 ⊙O1于点C,连结PA、 PB,PC的延长线交⊙O2于点D。 求证:(1)∠APC=∠BPC,(2)PC2+AC· BC=PA· PB。
4.如图(13),已知⊙O与⊙O′外切于A点,BC为外公切线,B、 C为切点,BC与OO′的延长线交于D,DE⊥BD交BA延长线 于E点。

证明在圆形中,直径垂直于其所在的切线。

证明在圆形中,直径垂直于其所在的切线。

证明在圆形中,直径垂直于其所在的切线。

证明在圆形中,直径垂直于其所在的切线
1. 引言
在几何学中,圆是一个非常重要的图形。

在本文中,我们将讨
论并证明一个定理,即在圆形中,直径垂直于其所在的切线。

2. 定理的表述
定理:在圆形中,直径垂直于其所在的切线。

3. 证明
我们假设有一个圆以及它的直径。

现在我们需要证明直径与其
所在的切线垂直。

- 步骤1:假设P和Q是圆上的两个点,其中P是圆的中心,Q
在圆上。

我们将连接P和Q,并得到直径PQ。

- 步骤2:假设在Q点处存在与圆切线相交的直线AB。

- 步骤3:根据切线与半径垂直的性质,我们可以得出线段AP
和线段BP都与切线AB垂直。

- 步骤4:考虑三角形APB。

根据直角三角形的性质,如果两条边与第三条边垂直,则这两条边也垂直。

因此,线段PQ作为直径垂直于线段AB作为切线。

- 步骤5:由于PQ是直径,所以线段PQ垂直于切线AB。

经过以上证明,我们可以得出结论:在圆形中,直径垂直于其所在的切线。

4. 结论
根据我们的证明,我们可以得出结论:在圆形中,直径垂直于其所在的切线。

这个定理在几何学中是被广泛接受的,也是其他几何推理的基础。

注:为了简化证明过程和语言表达,我们省略了一些细节和推理过程的论述。

在实际应用中,应该更加详细和严谨地进行证明。

证明题之圆的切线证明题学生版

证明题之圆的切线证明题学生版

中考题型训练之圆的切线证明题(有切点,连半径,正垂直;无切点,做垂直,证半径)1.如图,△ABC 内接于半圆,AB 是直径,过A 作直线MN ,若∠MAC=∠ABC .(1)求证:MN 是半圆的切线;(2)设D 是弧AC 的中点,连结BD 交AC 于G ,过D 作DE⊥AB 于E ,交AC 于F .求证:FD =FG .(3)若△DFG 的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG 的面积.2.如图所示,AB 是O ⊙直径,OD ⊥弦BC 于点F ,且交O ⊙于点E ,若AEC ODB ∠=∠.(1)判断直线BD 和O ⊙的位置关系,并给出证明;(2)当108AB BC ==,时,求BD 的长.3.如图,已知AB 是O ⊙的直径,点C 在O ⊙上,过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ,AC PC =,2COB PCB ∠=∠.(1)求证:PC 是O ⊙的切线;(2)求证:12BC AB =; (3)点M 是AB 的中点,CM 交AB 于点N ,若4AB =,求MN MC 的值.4.如图, AB 是⊙O 的直径,∠BAC =30°,M 是OA 上一点,过M 作AB 的垂线交AC于点N ,交BC 的延长线于点E ,直线CF 交EN 于点F ,且∠ECF =∠E .(1)证明CF 是⊙O 的切线;(2)设⊙O 的半径为1,且AC =CE ,求MO 的长.5.如图,已知的直径垂直于弦于点,过点作交的延长线于点,连接并延长交于点,且. (1)试问:是的切线吗?说明理由;(2)请证明:是的中点; (3)若,求的长. 6、如图,在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 交x 轴于A 、B 两点,直线FA ⊥x 轴于点A ,点D 在FA 上,且DO 平行⊙O 的弦MB ,连DM 并延长交x 轴于点C .(1)判断直线DC 与⊙O 的位置关系,并给出证明;(2)设点D 的坐标为(-2,4),试求MC 的长及直线DC 的解析式.7、已知:如图,△ABC 内接于⊙O,点D 在OC的延长线上,,∠CAD=30°.(1)求证:AD 是⊙O 的切线; (2)若OD⊥AB,BC=5,求AD 的长.8、.已知:如图,A 是O 上一点,半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点,OC BC =,12AC OB =. (1)求证:AB 是O 的切线;(2)若45ACD ∠=°,2OC =,求弦CD 的长.9、已知:如图,在Rt ABC △中,90C ∠=,点O 在AB 上,以O 为圆心,OA长为半径的圆与DCAC AB ,分别交于点D E ,,且CBD A ∠=∠.(1)判断直线BD 与O 的位置关系,并证明你的结论;(2)若:8:5AD AO =,2BC =,求BD 的长.解:(1)(2)10、已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线,BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径.(1)求证:AE 与⊙O 相切;(2)当BC=4,cosC=13时,求⊙O 的半径. 11、 已知:如图,在△ABC 中,D 是AB 边上一点,圆O 过D 、B 、C 三点,?DOC =2?ACD =90?。

有关圆的切线的故事

有关圆的切线的故事

有关圆的切线的故事
有关圆的切线的故事有一则著名的数学传说——阿基米德和圆的切线。

据传说,古希腊数学家阿基米德(Archimedes)在公元前250年左右,接到一位国王的请求。

国王手中有一枚宝石,形状像一个圆,他想知道如何从宝石表面的点上切出一条直线,使得切线的长度与圆周上的弧长相等。

这对国王来说似乎是一项困难的任务。

阿基米德接受了这个挑战,并开始思考这个问题。

他经过数日的思考和实验后,终于找到了解决方法。

在一天的早晨,当他洗澡时,他突然顿悟到了问题的解答。

他欣喜若狂,甚至裸体着跑出了浴室,高喊着"Eureka!"(希腊语中的“我找到了!”)。

阿基米德找到了与圆的切线相等的长度。

他发现,当切线与圆相交的点与圆心连线垂直时,切线的长度与切点到圆心的距离之差等于与之相交的圆周弧长。

这个传说与数学的相关性在于,阿基米德的发现成为了圆的切线相关定理的基础。

圆的切线定理是学习数学几何时非常重要的一条定理,它在解决与圆相关的问题时起到了关键作用。

这个故事告诉我们,通过深入思考和实验,我们可以发现数学中的美妙和独特的规律,而这些规律也常常与我们日常生活有着密切的联系。

两圆相切的切线方程

两圆相切的切线方程

两圆相切的切线方程切线是解析几何中的概念,是与曲线相切且只有一个交点的直线。

当两个圆相切时,也存在相应的切线方程。

设两个圆的圆心分别为O1(x1, y1)和O2(x2, y2),半径分别为r1和r2。

如果两个圆相切,那么它们的圆心距等于两个圆的半径之和,即:√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = r1 + r2为了求出切线的方程,我们首先需要求出切点的坐标。

切点是切线与圆的交点,所以切点到圆心的距离等于圆的半径。

设切点坐标为P(x, y),切线的斜率为k。

由于切线与圆相切,所以切线与半径的夹角是直角。

根据直角三角形的性质,可以得到以下关系:斜率k = -1 / ((y2 - y1) / (x2 - x1))由于切线过切点P(x, y),所以切线的方程可以表示为:y - y1 = k(x - x1)将斜率k带入上式,可以得到:y - y1 = -((x2 - x1) / (y2 - y1))(x - x1)化简后可得:(y2 - y1)(y - y1) = -(x2 - x1)(x - x1)展开后可得:y^2 - 2y1y + y1^2 = -x^2 + 2x1x - x1^2将圆心坐标(x1, y1)和半径r1带入上式,可以得到第一个圆的切线方程。

同样地,将圆心坐标(x2, y2)和半径r2带入上式,可以得到第二个圆的切线方程。

通过这两个切线方程,我们可以求出两个圆相切时的切线方程。

这个方程描述了切线与圆的关系,可以用来求解切点的坐标。

在实际问题中,切线方程可以用来解决很多几何问题。

例如,可以利用切线方程求出切点的坐标,从而确定切线和圆的位置关系;可以利用切线方程求出切线的斜率,从而计算切线的角度;还可以利用切线方程求出切线的长度,从而确定曲线的弯曲程度等等。

切线方程是解析几何中重要的工具,它能够描述切线与圆的关系,帮助我们求解各种几何问题。

通过理解和运用切线方程,我们可以更深入地理解几何知识,提高解决几何问题的能力。

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一、教材分析
1、教材的地位
2、教学重点和难点
重点、难点:理解切线的判定方法,能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。

二、设计思路
类比、
三、教学目标
1.知识目标:掌握判断圆的切线的方法。

2.能力目标:经历过圆上一点画圆的切线的过程,总结判定一条直线为圆的切线的方法,并灵活解题。

进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。

3.情感态度价值观:在观察与探索的过程中,感受数学的严谨性与数学解题策略的合理性。

四、教学流程
(一)温故知新
共点的直线是圆的切线,第二种是和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

为引入第三种判定方法作出铺垫。

二、知识建构
1.情境引人:
动手做一做:已知一个圆O及圆上一点A,你能过点A作圆O的
一条切线吗?
思考:直线l一定是圆O的切线吗?
【设计意图】通过学生动手过圆上一点作圆的切线,引导学生总
结归纳出判定切线的又一种方法。

2.知识归纳:(圆的切线的判定定理)
经过半径的,且的直线是圆的切线。

推理格式 :
∵l⊥OA,且l 经过⊙O上的A点
∴直线l是⊙O的切线
【设计意图】让学生经历从文字语言到几何语言的过程。

3.规律总结:
如何判定一条直线是已知圆的切线?
(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
(3)经过半径的的外端,且垂直于半径的直线是圆的切线。

【设计意图】总结归纳切线的判定方法,为下例选择不同方法作出铺垫。

4.典型例题:
例1 如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB。

求证:直线AB是⊙O的切线。

证明:连结0C
∵0A=0B,CA=CB,
∴AB⊥OC。

直线AB经过半径0C的外端C,
并且垂直于半径0C,所以AB
是⊙O的切线。

例2 如图,P是∠BAC上的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为D。

AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗?为什么?
解:∵ AB 是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC+ ∠BAC=90°
又∵∠DAC = ∠ABC
∴∠DAC + ∠BAC=90°
即AD ⊥ AB
直线AD经过半径OA的外端A,并且垂直于半径OA,所以直线AD与⊙O相切。

【设计意图】通过例一和例二的解答,总结证明切线的两种添加辅助线的方法。

1.如果已知直线过圆上某一点,则可作出过这点的半径,并证明直线与这条半径垂直。

2.若已知直线和圆的公共点没有确定,这时应过圆心作已知直线的垂线,再证
明圆心到直线的距离等于半径。

例3 如图:△ABC内接于⊙O,AB 是⊙O的直径,∠DAC =
∠ABC 。

判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由。

解:∵ AB 是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC+ ∠BAC=90°
又∵∠DAC = ∠ABC
∴∠DAC + ∠BAC=90°
即AD ⊥ AB
直线AD经过半径OA的外端A,并且垂直于半径OA,所以直线AD与⊙O相切。

变式:如图:△ABC内接于⊙O,AB 是⊙O的弦,∠DAC = ∠
ABC 。

判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由。

解:连接OA并延长AO交⊙O于点E,连接EC
∵AE是直径
∴∠ACE=90°
∴∠EAC+ ∠AEC=90°
∵∠ABC= ∠AEC,
∠DAC = ∠ABC
∴∠DAC= ∠AEC
∴∠EAC+ ∠DAC=90°
即AD ⊥ AE
直线AD经过半径OA的外端A,并且垂直于半径OA,所以直线AD与⊙O相切。

【设计意图】通过例3及变式训练展示从特殊-----一般—
特殊解决问题的一种思想方法。

5.课堂练习:
如图,AB是⊙O的直径,弦AE平分∠BAC,弦AC垂直ED,
垂足为点D,判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由。

【设计意图】通过添加辅助线再次巩固证明切线的判定方
法。

三、课堂小结:
本节课里,你学到了哪些知识,它们是如何应用的?
【设计意图】让学生自己通过这节课的学习归纳总结出本知识点,即判断直线与圆相切的方法以及二种添加辅助线的方法。

四、作业布置
作业:P131 2 P136 7
补充:如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC上一点D,AB=AC,且DE⊥AC。

求证:DE是⊙O的切线。

五、课后反思。

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