初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编及答案解析

初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编及答案解析
一、选择题
1．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）
A ．
15151
12x x -=+ B ．
1515112
x x -=+ C ．
15151
12
x x -=- D ．
1515112
x x -=- 【答案】B 【解析】 【分析】
设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可． 【详解】
解：设小李每小时走x 千米，依题意得：
1515112
x x -=+ 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
2．若数a 使关于x 的分式方程
2311a x x x
--=--有正数解，且使关于y 的不等式组211
42
y a y y a ->-⎧⎪
⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】
解方程
2
311a x x x --=--，得： 12
a x +=，
∵分式方程的解为正数，
∴1
a+>0，即a>-1，又1
x≠，
∴
1
2
a+
≠1，a≠1，
∴a>-1且a≠1，
∵关于y的不等式组
21
1
4
2
y a y
y a
->-
⎧
⎪
⎨
+
⎪⎩…
有解，
∴a-1<y≤8-2a，
即a-1<8-2a，
解得：a<3，
综上所述，a的取值范围是-1<a<3，且a≠1，
则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．
3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x个零件，根据题意可列方程为（）
A．
600450
25
x x
=
-
B．
600450
25
x x
=
-
C．
600450
25
x x
=
+
D．
600450
25
x x
=
+
【答案】C
【解析】
【分析】
原计划平均每天生产x个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.
【详解】
由题意得：现在每天生产（x+25）个，
∴
600450
25
x x
=
+
，
故选：C.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.
4．已知关于x的分式方程12
1
11
m
x x
-
-=
--
的解是正数，则m的取值范围是()
A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6
【解析】
【详解】
方程两边同时乘以x-1得，
1-m-（x-1）+2=0，
解得x=4-m．
∵x为正数，
∴4-m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4-m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选A．
5．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（）
A．60(125%)60
60
x x
⨯+
-=B．
6060(125%)
60
x x
⨯+
-=
C．
6060
60
(125%)x x
-=
+
D．
6060
60
(125%)
x x
-=
+
【答案】D
【解析】
【分析】
设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为(125%)x
+公里，根据题意即可列出分式方程.
【详解】
解：设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为(125%)x
+公里，
依题意得：6060
60
(125%)
x x
-=
+
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
6．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝21
a
b a
-．若x⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）
A．1 B．1
3
C．﹣1 D．-
1
3
【答案】A 【解析】
【详解】
解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21
121x x x
-=-， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】
本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．30007200
4030
x x -=+ B ．72003000
4030x x -=+ C ．
72003000
4030x x -=+ D ．
30007200
4030x x
-=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：
72003000
4030x x -=+ 故选：C 【点睛】
本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．
8．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A ．
120100
x x 10=- B ．
120100
x x 10
=+ C ．
120100
x 10x
=- D ．
120100
x 10x
=+ 【答案】A 【解析】 【分析】
甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，
所以，120100 x x10
=
-
.
故选A.
9．方程
100
20x
+
＝
60
20x
-
的解为（）
A．x＝10 B．x＝﹣10 C．x＝5 D．x＝﹣5
【答案】C
【解析】
【分析】
方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．
【详解】
解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），
得100（20﹣x）＝60（20+x），
整理，得8x＝40，
解得，x＝5，
经检验，x＝5是方程的根，
∴原方程的根是x＝5；
故选：C．
【点睛】
本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．
10．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 m
x，则可列方程为( )
A．500040001000
5
1.2
x x x
=+-B．
500010004000
5
1.2
x x x
+=+
C．500040001000
5
1.2
x x x
-=+D．
500010004000
5
1.2
x x x
-=+
【答案】D
【解析】
【分析】
本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】
设原来每天修路xm，引入新技术后每天修路1.2xm，实际工作天数为（10004000
1.2
x x
+），
原计划工作天数为5000
x
天，根据题意得，
500010004000
5
1.2
x x x
-=+，
故选D.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．
11．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（）
A．300300
20
1.2
x x
-=B．
30030020
1.260
x x
=-
C．30030020
1.260
x x x
-=
+
D．
30020300
60 1.2
x x
-=
【答案】D
【解析】
【分析】
原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计
划植300棵树可用时300
x
小时，实际用了
300
1.2x
小时，根据关键语句“结果提前20分钟完
成任务”可得方程．
【详解】
设原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由
题意得：30020300
60 1.2
x x
-=，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．
12．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）.
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
++
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】
设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.
13．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）
A．10
x
-
10
2x
=20 B．
10
2x
-
10
x
=20 C．
10
x
-
10
2x
=
1
3
D．
10
2x
-
10
x
=
1
3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】
由题意可得，
10 x -
10
2x
=
1
3
，
故选：C．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
14．如果解关于x的分式方程
2
1
22
m x
x x
-=
--
时出现增根，那么m的值为
A．-2 B．2 C．4 D．-4【答案】D
【解析】
【详解】
2122m x
x x
-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2． 当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4， 故选D ．
15．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x 千米/时，则下面所列方程正确的为( )
A ．
5x ＋16＝
5
2x B ．
5x ＝52x ＋16
C ．
5x
＋10＝5
2x D ．
5x
－10＝5
2x
【答案】B 【解析】 【分析】
设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程． 【详解】
设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，
由题意得,
5x ＝5
2x ＋16
所以答案为B. 【点睛】
本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.
16．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．600480
40x x
=- B ．600480
40x x =+ C ．
600480
40x x =+ D ．
600480
40
x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
480600
40x x =+. 故选B ． 【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480
x
天和现在生产600台机器所需时间为
600
40
x +天是解答本题的关键．
17．关于x 的分式方程
26
344
ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组172
2x a x x >⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】
解分式方程
26344
ax x x -+=---得：x=4
3a -，
因为分式方程的解为正数，
所以
43a -＞0且
4
3a -≠4， 解得：a ＜3且a≠2，
解不等式172
2x a x x >⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7，
∵不等式组有解， ∴a+7＞1， 解得：a ＞-6，
综上，-6＜a ＜3，且a≠2，
则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为： |-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组
有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．
18．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060
(%)x x -=+ B ．2530
10180(%)x x -=+ C ．
302510
18060
(%)x x -=+
D ．
3025
10180(%)x x
-=+
【答案】A 【解析】
若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，
()253010180%60
x x -=+ 故选A ．
19．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x
-=+ B ．6060
30(125%)x x
-=+
C ．
60(125%)60
30x x
⨯+-=
D ．
6060(125%)30x x
⨯+-= 【答案】C 【解析】
分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．
详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%
x
+万
平方米，
依题意得：6060
30
125%
x x
-=+，即()60125%6030x x
⨯+-=． 故选C ．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭
，则a 的值为( )
A ．1a =-
B ．7a =-
C ．1a =
D ．13
a = 【答案】D
【解析】
【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423
a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．
【详解】
根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，
则P 点横纵坐标的和为0，
故11+423
a a -+=0， 解得：a=
13. 故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.。