江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试 数学 Word版含答案

.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式： 锥体体积公式：13V S h =，其中S 为底面积,h 为高；柱体体积公式：V S h =，其中S 为底面积,h 为高. 样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()ni i s x x n==-∑，其中11ni i x x n==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I ▲ . 2．设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本 数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ . 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲ . 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字 中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ . 7．设双曲线2221(0)x ya a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ .9．将函数3sin (2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .10．将矩形A B C D 绕边A B 旋转一周得到一个圆柱，3A B =，2B C =，圆柱上底面圆心第4题图+为O ，E F G ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O E F G -体积的最大值 是 ▲ .11．在A B C ∆中，已知A B =，3C π=，则C A C B ⋅uur uur的最大值为 ▲ .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线)13y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长 是 ▲ .13．在平面直角坐标系x O y 中，已知点P 为函数2l n y x =的图像与圆222:(3)M x yr-+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点O ，P ，M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .14．在A B C ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则A B C ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，B C A C ⊥，D ,E 分别是A B ,A C 的中点． （1）求证：11B C ∥平面1A D E ； （2）求证：平面1A D E ⊥平面11A C C A ．16．(本小题满分14分)在A B C ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =． （1）求角C ；（2）若3sin ()35B π-=，求sin A 的值.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系x O y 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14xy E b+=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦P Q 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,T M T N 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.A B C A 1B 1C 1DE第15题图18．(本小题满分16分)如图所示，某街道居委会拟在E F 地段的居民楼正南方向的空白地段A E 上建一个活动中心，其中30A E =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形A B C D ，上部分是以D C 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长G E 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3ta n 4θ=.（1）若设计18A B =米，6A D =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计A B 与A D 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，1()3a g x a x x-=+-（a R ∈）.（1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈）F 第18题图B20．(本小题满分16分)若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n nn a d N k a n q a N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，A B 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,P A P B 分别交半圆O 于点,D C .若2A D =，4P D =，3P C =，求B D 的长.B .（选修4-2：矩阵与变换） 设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦PC ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2c o s ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦A B 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X). 23．（本小题满分10分）设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈. （1）求值：①11k k n n k C n C ---；②()221211kk k n n n k C n n C n C -------（2k ≥）；（2）化简：()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1- 2. 1 3. 12 4. 9 5.566.347.38. 63 9. 512π 10. 4 11.3212.512 13.9814.5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为D ,E 分别是A B ,A C 的中点，所以//D E B C ， ...............2分又因为在三棱柱111A B C A B C -中，11//B C B C，所以11//B C D E . ...............4分又11B C ⊄平面1A D E ，D E ⊂平面1A D E ，所以11B C ∥平面1A D E . ...............6分（2）在直三棱柱111A B C A B C -中，1C C ⊥底面A B C ，又D E ⊂底面A B C，所以1CC D E ⊥. ...............8分又B C A C⊥，//D E B C，所以DE ⊥， ...............10分又1,C C A C ⊂平面11A C C A ，且1C C A CC =，所以DE ⊥平面11A C C A . ...............12分又D E ⊂平面1A DE ，所以平面1A D E ⊥平面11A C C A ． ...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明D E ⊥平面11A C C A ，类似给分） 16．解：（1）由s i n 2b C cB =，根据正弦定理，得2sin sin co s sin sin B C C C B =， …………2分因为si B C >>，所以1c o s 2C =， …………4分又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3s in ()35B π-=，所以4c o s ()35B π-==. …………8分又23A B π+=，即23A B π=-，所以2si 3A Bπ=-si3Bπ= (1)2分413252510=-⨯=. …………14分17．解：（1）因02b <<，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆22:O x y b +=经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =， ……………3分所以224b=，即22b=，所以椭圆E的方程为22142xy+=. ……………6分（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x yy k x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x k m x m +++-=， 所以122412k m x x k+=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-，所以0k x m=-，012k y m k m m=-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m mk k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. ……………14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=， 又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()0121202x x x y y y -+-=，∴()1201202y y y x x x -+=-，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y k x m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x k y +=，①又00(,)T x y 在直线y k x m =+上，∴00y k x m =+，② 由①②可得02212k m x k=-+，0212m y k=+. ……………10分以下同方法一.18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18A B =，6A D =，所以半圆的圆心为(9,6)H半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=， ...............2分 9=，解得24b =或32b =（舍）. 故太阳光线所在3244y x =-+， ...............5分令30x =，得 1.5E G =米 2.5<米.所以此时能保证上述采光要求. ...............7分 （2）设A D h =米，2A B r =米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ． 方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=|344|r h b r +-=，解得2b hr =+或2b h r=-（舍）. ...............9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522E G r h =+-，由52E G ≤，得25h r ≤-. ...............11分所以222133222(252)222S rh rrh rr r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20A B =米且5A D =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y +-=． ...............10分由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5r h r +-=．而点H (r ，h )在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即341005r h r +-=-，从而252h r =-． ...............13分又221322(252)22S rh rr r rπ=+=-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20A B =米且5A D =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230xxe e+-=，去分母，得22()310xxe e -+=，解得1xe=或12xe=， ……………2分故所求方程的根为0x =或ln 2x =-. ……………4分 （2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x a x x xϕ-=+=++->，所以222211(1)()a a x x a a x a x x a xxxxϕ-+----+'=+-==（0x >）， ……………6分①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->；③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a -<<.综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-；当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞. .……………10分（3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x'=+-单调递增，33()ln12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->，所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即003l n 10x x +-=， .……………12分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以20m in 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+，记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增， .……………14分所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--，由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-，由(1)0h =得，当λ=时，不等式2()h x λ≥有解， .……………12分下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立.显然当(0,1][3,)x ∈+∞时，不等式恒成立，只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立. 即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-，所以2221289()(3)(3)x x m x xx x x -+'=-=--，由()m x '=，得4x =-.……………14分当(1,4x ∈-，()0m x '>；当(43)x ∈-，()0m x '<；所以m a x 121()(4ln (4ln (42)ln 21033m x m +=-=--<--=-<.所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=. ……………3分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=，…∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b ==. ……………3分②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b q b d b q b dd b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦，∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列， 又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b db ------++=-+++=，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦， ……………6分133n n S λ-≤⋅，313n n S λ-∴≤，设313n n n S c -=，则()m ax n c λ≥，又()()()2221112322913193333n n nn n n n n n n n c c +-----++++-=-=，当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<，∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2m ax 14n c c ==， ……………9分∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞. ……………10分 方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列，∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+，易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=-，()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+， ………………6分以下同方法一.（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b b q-=，当m N*∈时，21k m k m b b d++-=，即()11k m k mkmb q b q b q q d+-=-=恒成立， ……………12分①若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则()1k mdqq b=-，则k mq为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132b b b =，得b d b q +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意. …………13分②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意.综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：P D P A P C P B ⋅=⋅则4(24)3(3)B C ⨯+=⨯+，解得5B C =， …………4分又因为A B是半圆O的直径，故2π=∠ADB , …………6分则在三角形PDB 中有34166422=-=-=PD PBBD . …………10分B、解：由题意得2322m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………4分 则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩， …………8分解得0m =，4λ=-. …………10分C 、解：直线35:(45x t l ty t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程为034=-y x ， …………2分圆C的极坐标方程2c o s ρθ=化为直角坐标方程为()1122=+-yx ，…………4分则圆C 的圆心到直线l的距离为()5434422=-+=d ， …………6分所以56122=-=dAB . (10)分D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ，当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min222=++zy x. (10)分22．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯. …………4分（2）由题意得1~(5,3X B，5512(),0,1,2,3,4,533kkkP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………6分所以X………8分所以，X 的数学期望为15()533E X =⨯=. …………10分23.解：（1）①()()()()111!!!!1!!kk n n n n k C n C k n k n k k n k ----=⨯-⨯---()()()()!!01!!1!!n n k n k k n k =-=----. ……………2分②()()()()()()2212212!!11!!2!!kk k n n n n n k C n n C n C k n n k n k k n k --------=⨯--⨯--- ()()()1!1!!n n kn k --⨯--()()()()()()!!!1!!2!!1!!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------()()!1102!!11n kk n k k k ⎛⎫=--= ⎪----⎝⎭. ………………4分（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时()()2221212kkkkkn n n n n k C k k C k C k C C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C n C n C C n n C n C C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦. ……………6分故()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()()()()221121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n CC C --------=++-+++++++L L()23nn n nC C C ++++L ()()()()21141232121n n nn n n n n --=++-+-+--()22254n nn -=++. ……………10分方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nk kn nn n n n x C x C x C x C x +=++++++，两边同乘以x ，得()1223111nk k nn n n n n x x x C x C x C xC x+++=++++++，两边对x求导，得()()()()11221112311nn kknnn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++，……………6分两边再同乘以x ，得()()()()12122311112311nn k k n n n n n n x x n x xx C x C x k C xn C x-+++++=++++++++，两边再对x 求导，得()()()()()1212111121nn n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k knnn n n n C x C x k C x n C x =++++++++. ……………8分 令1x =，得()121221222nn n n n n n n ---++-+()()22212212311knn n n n C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，即()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n nn -=++. …………10分。