2020届江苏高考学科基地密卷(五)数学试题含附加题(含扫描版解析)

2020江苏高考学科基地秘卷（五）
数 学
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．若(a ＋b i)(1﹣2i)＝5(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ﹣b 的值为 ．
2．设集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{2，3}，C ＝{}
R 13x x ∈≤<，则(A I C)U B ＝ ． 3．已知一组数据7，8，11，14，15，则该组数据的方差为 ． 4．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ．
5．从数字1，2，3，4，5中任取两数相加，则和是3的倍数的概率为 ．
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M(2，t)是双曲线22
21x y a -=与抛物线212
y x =的一
个公共点，则该双曲线的焦距为 ． 7．函数1
()lg(42
)x
x f x +=-的定义域为 ．
8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是其前n 项和．若23524a a a +=，且
369S S =，则6a 的值为 ．
9．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，若对x ∀∈R ，均有0()()f x f x ≤恒成立，则0()
4
f x π+
的值为 ．
10．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别为DD 1，DB
的中点，则三棱锥B 1—CEF 的体积为 ．
第10题
第4题
11．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，()f x =，函数8()log g x x =，则方程()()f x g x =的解的个数为 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为B 2，
B 1，b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且12PB PB 8
9
k k -=
，则椭圆的离心率为 ．
13．在四边形ABCD 中，AD ＝2，BC ＝3，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且MN ＝
2
，若5AB DC 2
⋅=u u u r u u u r ，则AC BD ⋅u u u r u u u r
的值为 ．
14．已知a ＞0，b ＞0，m ＞0≤
恒成立，则m 的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2b cosC ．
（1）若cosB ＝
1
3
，求sinA 的值；
（2）若a ＝4，△ABC 的面积为AC 的中点为D ，求BD 的长．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M ，N 分别为PD ，AB 的中点，△PAD 为锐角三角形，平面PAD ⊥平面PAB ．
（1）求证：直线MN ∥平面PBC ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ．
现准备在一块玉上设计制作一个面积为200 cm 2，高CP 为10 crn 等腰梯形ABCD 工艺展品(如图)，为了提升观赏度，将其加工成镶金工艺品，其中金丝部分为线段AM ，NB ，BC ，CD ，DA ，若∠ABC ＝θ(0＜θ＜
2
π
)，MN ＝BP ，金丝部分总长为L cm ． （1）试表示出关于θ的函数()L θ； （2）当θ为何值时，L 取得最小值?
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2﹣2mx ＋m 2﹣1＝0． （1）若圆O 与圆C 相交于A ，B 两点．①求实数m 的取值范围；②设P 为圆O 上异于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 与x 轴分别相交于M ，N 两点．设△POM 与△PON 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最大值；
（2）已知点Q(4，2)，D ，E 分别为圆O 与圆C 上的动点，求QD QE +u u u r u u u r
的最小值的
取值范围．
已知a ∈R ，函数()x
f x e ax =-．
（1）若函数()f x 在区间[﹣1，0]上单调递减，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 的图象与x 轴相切．①求()f x 的单调区间；②记函数()ln g x x x
=1x -+，当x ≥1时，()()f x kg x ≥恒成立，求实数k 的最大值．
20．（本小题满分16分）
设数列{}n a 是公差为d (d ≠0)的等差数列，数列{}n b 满足2
12n n n n b a a a ++=-，N n *
∈．
（1）求证：数列{}n b 是等差数列；
（2）设数列{}n b 的首项为1，数列{}n c 满足11
(21)(21)
n n n b b c +=
--，记
{}n c 的前n 项和为n S ，若对∀N n *∈，均有1
n
S
∈(m ﹣1，m ]，求正整数m 的值；
（3）设数列{}n b 的公差为d ，若存在正整数s ，t ，使得s t a b +是整数，求118a 的最小值．
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵M ＝1 00 b ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，N ＝ 00 1a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(a ＞0，b ＞0)，若圆x 2＋y 2＝1在矩阵MN 对应的变换作用下得到椭圆2
214
x y +=，求实数a ，b 的值．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 2sin x r y r α
α=⎧⎨=+⎩
(a 为参数，r ＞0)．以原
点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
cos()4
π
ρθ-=l 与圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 的长为数r 的值．
C ．选修4—5：不等式选讲
已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝5，求144a b b c c a
+++++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线C ：2
2y px =(p ＞0)的焦点，点A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，直线l 过点A 且与抛物线C 相切．
（1）若点A 的坐标为A(1，m )，且AF ＝2，求p 的值；
（2）若过点A 且与切线l 垂直的直线交x 轴于点B ，求证：∠FAB ＝∠FBA ． 23．（本小题满分10分）
设22
221220122122(1)
n n n n n x a a x a x a x a x ++++++=+++++L ，21012
(1)n x b b x b ++=++2221221n n n n x b x b x +++++L ，22212012212(1)n n n n n x p p x p x p x p x --+=+++++L ，其中
N n *∈．
（1）证明：212n n a b +=；
（2）用数学归纳法证明：当n ≥2，N n *
∈时，24n
n
n p <<．
参考答案。