第六章 套利定价理论(APT)
7第六章 套利定价理论
套息是指利用外币币种之间储蓄利率 的差别赚取较高的利息收入。 的差别赚取较高的利息收入。如美元存 款利率高于日元存款利率， 款利率高于日元存款利率，如果将手中 的日元兑换成美元， 的日元兑换成美元，一年期存款可以获 左右的净息差收益。 取4％左右的净息差收益。
22
热钱涌入国际资本市场， 热钱涌入国际资本市场，也为套息交 易时代正式揭开序幕， 易时代正式揭开序幕，风险基金大量借 入低息货币，再转存高息货币， 入低息货币，再转存高息货币，将所得 的利息差投入金融市场。 的利息差投入金融市场。 日本经济泡沫发生后， 日本经济泡沫发生后，伴随了长达十 余年的零利率，是套息交易的萌芽时代。 余年的零利率，是套息交易的萌芽时代。
A B C D
资产组合
100 100 100 -300 0
11
资产组合在任何情况下利润均为 正。投资者希望尽可能扩大组合头 但市场却会作出反应：股票D 寸，但市场却会作出反应：股票D价 格下跌， 价格上升。 格下跌，A、B、C价格上升。套利机 会逐渐消失。 会逐渐消失。
12
根据CAPM理论， 根据CAPM理论，市场均衡状态下 CAPM理论 不存在套利空间，但在实际市场中， 不存在套利空间，但在实际市场中， 证券的定价可能偏离均衡， 证券的定价可能偏离均衡，在一定 时间段内给套利者提供了套利机会， 时间段内给套利者提供了套利机会， 而这种套利活动又会促使证券价格 趋向均衡。 趋向均衡。
20
四、套利和套息
套利是指利用外汇汇率的波动赚取买 卖差价收益。如果在美元兑日元汇率 卖差价收益。 03.00时卖出美元买进日元， .00时卖出美元买进日元 103.00时卖出美元买进日元，当汇率 波动至100 100时 再抛出日元买回美元元， 波动至100时，再抛出日元买回美元元， 这一买一卖之间就可以赚取3 这一买一卖之间就可以赚取3％的汇差 盈利。 盈利。
APT套利定价理论
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
套利定价理论(英文版)
套利定价理论(英文版)Arbitrage Pricing Theory (APT) is a financial theory that seeks to explain the pricing of assets in a market by considering the relationship between their expected returns and various sources of systematic risk. Developed by economist Stephen Ross in the 1970s, APT is an alternative to the Capital Asset Pricing Model (CAPM) and provides a more flexible framework for understanding asset pricing.APT is based on the idea that an asset's return is influenced by multiple risk factors, rather than just one market-wide factor as suggested by CAPM. These risk factors can include economic variables such as interest rates, inflation, GDP growth, industry-specific events, and other factors that affect the performance of certain asset classes. APT assumes that investors are rational and will demand higher returns for taking on additional risk.The theory posits that the expected return of an asset is a linear function of its exposure to various risk factors, where the coefficients in the linear equation represent the sensitivity or "beta" of the asset to each factor. The APT model suggests that the market value of an asset should reflect its sensitivity to the factors that affect its return. If an asset is undervalued or overvalued relative to its expected return, an arbitrage opportunity arises. Arbitrage refers to the process of exploiting price discrepancies between two or more markets to make a risk-free profit. According to APT, if an asset is mispriced relative to its expected return, investors can engage in arbitrage by simultaneously buying and selling the asset and its related securities to exploit the pricedifference. This process of arbitrage will then push the asset's price towards its fair value by eliminating the mispricing.In practical terms, an arbitrageur would identify assets that are mispriced according to their expected returns and risk factors. They would then create a portfolio that is hedged against the systematic risks by taking long or short positions in the mispriced asset and its related securities. By constructing such a portfolio, the arbitrageur can eliminate the effects of systematic risk, thereby making a risk-free profit.APT provides a more realistic approach to asset pricing compared to the CAPM as it accounts for multiple risk factors and their impact on asset returns. It allows investors to identify mispriced assets and profit from them through arbitrage. By using this theory, market participants can enhance their investment strategies and potentially achieve higher returns by capitalizing on pricing discrepancies in various markets.APT的良好理论基础始于对市场有效性和资产定价的理解。
APT套利定价理论
套利定价理论Arbitrage Pricing Theory﹝APT﹞一、套利定价理论的基本机制套利定价理论试图以多个变量去解释资产的预期报酬率。
套利定价理论认为经济体系中，有些风险都是无法经由多元化投资加以分散，例如通货膨胀或国民所得的变动等系统性风险。
二、套利定价理论的意义套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。
套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。
事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。
因此，套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。
套利定价理论与现代资产组合理论、资本资产定价模型、期权定价模型等一起构成了现代金融学的理论基础。
三、套利定价理论的基本机制套利定价理论的基本机制是：在给定资产收益率计算公式的条件下，根据套利原理推导出资产的价格和均衡关系式。
ＡＰＴ作为描述资本资产价格形成机制的一种新方法，其基础是价格规律：在均衡市场上，两种性质相同的商品不能以不同的价格出售。
套利定价理论是一种均衡模型，用来研究证券价格是如何决定的。
它假设证券的收益是由一系列产业方面和市场方面的因素确定的。
当两种证券的收益受到某种或某些因素的影响时，两种证券收益之间就存在相关性。
四、套利定价理论与资本资产定价模型的异同点1976年，美国学者斯蒂芬·罗斯在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的资产定价模型，此即套利定价理论(APT理论)。
套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。
与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：1、投资者有相同的投资理念；2、投资者是回避风险的，并且要效用最大化；3、市场是完全的。
套利定价理论(APT)
第二个性质与风险的分散化有关。
• 分散化导致因子风险的平均化。 • 分散化缩小非因子风险。
3 多因子模型
经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此， 对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生 深远的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体， 用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的。
一般来说，下面的四种因素基本上可以描述整个经济 的前景。
2 i 2 2 F
2 ei
为因子风险； 2 i 对于证券 i 和 2 j 而言，它们之间的协方差为 ei 定义2： 我们称(6.5)式中的
2 为非因子风险。 b F
•
(6.6)
ij bi b j
2 F
单因子模型具有两个重要的性质。 第一个性质，单因子模型能够大大简化我们在均值-方 差分析中的计算量。
F 1t
F2 t
eit
bi1 bi 2 ai
例子
rt
r6 13% e6 3.0% INFt
INFt 3.1%
GDPt 2.9%
a 5.8%
GDPt
证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的 影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券B的回 报率、GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线 性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个 平面。这个平面的方程为
When we speak of news, then, we refer to the surprise part of any announcement and not the portion that the market has expected and therefore has already discounted. The unanticipated part of return---that portion resulting from surprise---is the
apt资本资产定价模型公式解释
apt资本资产定价模型公式解释
APT（Arbitrage Pricing Theory，套利定价理论）是一种资本资产定价模型，旨在解释资产回报率的波动和确定资产的合理价格。
APT模型认为，资产的回报率可以通过多个因素来解释，而不仅仅是市场因素。
APT模型的公式如下：
E(Ri) = Rf + β1 × λ1 + β2 × λ2 + … + βn × λn
其中，E(Ri)表示资产i的预期回报率，Rf表示无风险回报率，β1到βn表示资产i对因子1到因子n的敏感度，λ1到λn表示因子1到因子n的风险溢价。
这个公式可以理解为资产的预期回报率等于无风险回报率加上资产对各个因子的敏感度乘以各个因子的风险溢价。
APT模型基于资本市场理论，假设投资者可以通过套利来利
用资产之间的价格差异。
模型的核心观点是，资产的回报率可以被解释为与不同的因子相关，这些因子可能是经济指标、利率、通货膨胀率等。
通过分析这些因子对资产回报率的影响，可以确定资产的合理价格。
APT模型的优点在于可以解释资产回报率的波动，并且可以
应用于不同的市场和时间段。
然而，这个模型的一个限制是对于确定因子和风险溢价的选择存在一定的主观性，而且需要大量的数据和分析才能得到准确的结果。
6第六章套利定价理论APT
第一节 套利定价模型
如果用 X(x1,xn)表示套利组合，则应满足的三个性 质可以表示成
n
(1)xJ 0,(净增投资为0) J 1
J 是证券 J的收益率为与因子 I 无关的残差。
第一节 套利定价模型
并假设有：
E(J ) 0
（6.2）
E(JK)0，不同证券的残差不相关
（6.3）
,
E(JI)0，证券J的残差与因子I不相关 （6.4）
为记号简单，以下记 Z E (Z )，Z 可以是任意随机变量，
于是如同单指数模型一样以得到证券J的预期收益率为
rJrFJ(rMrF)
它与CAPM形式完全一样， 但其导出过程和思想却完 全不同。
第一节 套利定价模型
二、多因子模型
多因子模型是假定各证券收益率都受多个市场因子影
响，并具有线性结构，即任意证券 J 的收益率可表示
为 K 个因子收益率的线性模型
K
rJAJ JiIiJ,J1, ,N
其中：
i1
第一节 套利定价模型
要求L的最大值，为此将其对x J 及 0 , 1 求偏导数并 令其等于零，得如下方程组
L xJ
rJ
0
1
J 0,J 1,
,n
（6.13）
L
0
n
xk
k1
0, L
1
n
xkk
k1
0
从(6.13)可以求出使套利组合收益率最大的 r J 与 J
的关系
rJ01J,J 1 , ,n （6.14）
套利定价理论APT
套利定价理论APT套利定价理论（APT）是金融学领域中的一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系。
它采用了套利思想，即通过买入低估的资产并卖出高估的资产，从市场的价格差异中获得利润。
APT模型的基本假设是，资本市场是有效市场，并且所有的投资者都是理性的。
它认为，资本市场的价格决定因素不仅仅是资产本身的特性，还包括宏观经济因素、行业因素以及特定的个股风险。
根据APT的理论框架，资本资产定价模型（CAPM）可以被看作是APT模型的一个特例。
CAPM假设只有一个因素（即市场风险），而APT则认为市场因子可能不止一个。
根据APT模型，资产的期望收益率可以通过以下公式计算：E(Ri) = RF + β1 * λ1 + β2 * λ2 + ... + βn * λn其中，E(Ri)是资产i的期望收益率，RF是无风险利率，β是资产i对各个因子的敏感度，λ是各个因子的预期收益率。
APT模型的基本原理是，资产的价格应该与各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度相关。
如果市场对某个因子的预期收益率发生变化，这将影响到资产的定价，从而为套利提供机会。
套利定价理论的重要性在于它提供了一种解释和预测资产价格变动的工具。
通过分析和估计各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度，投资者可以找到被低估或高估的资产，并利用市场的定价差异获得套利机会。
然而，APT模型也存在一些限制。
首先，它的有效性依赖于投资者对各个因子的预期收益率和资产对这些因子的敏感度的准确估计。
如果估计出现误差，那么套利机会可能会有所降低或消失。
其次，APT模型假设资本市场是完全有效的，但实际市场中存在信息不对称的情况，这可能导致价格的波动和套利机会的减少。
综上所述，套利定价理论（APT）是一种理论框架，用于解释金融资产价格之间的关系，并提供了一种套利的思路。
虽然APT模型有其局限性，但它仍然为金融学研究提供了有价值的理论基础。
套利定价理论（APT）是金融学中一种定价模型，旨在解释不同金融资产价格之间的关系以及利用价格差异进行套利交易。
套利定价理论APT
三、无套利法则、无套利均衡
一价法则和等值等价法则统称为无套利法则。
无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方法
“一价法则” “等值等价法则”
两种具相同风险的资产不能以不同的期望收益率出售， 否则会出现套利机会
四、APT的基本原理
APT的基本原理：由无套利原则，在因素模型下， 具相同因素敏感性的资产（或组合），应提供相 同的期望收益率。否则，“准套利”机会便产生, 投资者必将利用这一机会，而他们的行动将最终 使套利机会消失，均衡价格得以形成。 —— APT逻辑核心。
n
零投资
wi wT 1 0
（7.1）
i 1
n
wibi1 wT b1 0
i1
无风险
n
i1
wi bi 2
wT b2
0
（7.2）
M
M
Байду номын сангаас n
i1
wibim
wT bm
0
即，1、bj（j=1,2,…,m)线性无关。
如市场有效，则会有套利均衡，则零投资、无风险 的组合必然无收益则：
四、套利定价模型（APT Model）
▪ （一）APT结构形式为一个均衡状态下的因素模 型
▪ 罗斯是基于以下两点来推导APT模型的
（1）在一个有效市场中，当市场处于均衡状态时，不存 在无风险套利机会。 （2）对一个高度多元化的资产组合来说，只有几个共同 因素需要补偿。证券i的收益率与这些共同因素的关系为：
投资者为获利必尽可能购入h，使其价格上升，预期收益率
下降，最终到达APT定价线。在均衡时，所有证券都落在套 利定价线上。
套利组合是如何构造的
套利定价理论
套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory,简 称APT)是由斯蒂夫•罗斯(Stephen Ross)于 1976年提出的。他试图提出一种比CAPM传统 更好的解释资产定价的理论模型。经过十几年 的发展，APT在资产定价理论中的地位已不亚 于CAPM。
第一节 因素模型和套利 p54
bPK x1 b1K ... xn bnK 0 x1 E1 ... xn En 0 , Ei E(~ri )
对公式的说明
可以用矩阵的方式表示 x表示权重改变量，未知，需要求解 满足公式的x都是套利组合 解一般是不唯一的
构建套利组合后的“处境”
1
lim n n
n i 1
(
E
(
R~i
)
0
b K
k 1 ik
k )2
0
对定价公式的说明
证明过程给出了公式中系数λ i的具体计算 系数λ i＝因素i的风险溢价 总误差=每个证券的残差平方和 证券的数量大的时候，总误差趋向于0 将每个证券残差V，从大到小“排队” “小的”——定价准确 对个别证券，其定价可能“不准确” 可以用线性代数的方法推导定价公式
构建套利组合需要满足的3个条件
第一，不增加额外资金。套利组合中买入 证券需要的资金来自卖出证券所的资金
第二，套利不承担风险。因素模型中的风 险是因素风险
第三，套利提供正利润。新证券组合的收 益率必须大于前组合的收益率
套利组合条件公式表示
x1 x2... xn 0 bP1 x1 b11 ... xn bn1 0
从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合 新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合 套利组合期望收益率＞0 新组合的敏感性=旧组合的敏感性 新组合因素风险＝旧组合因素风险 由于存在非因素风险 新组合风险不一定等于旧组合的风险
第六章 套利定价理论(APT)
例子：考虑股票A，有αIi =2%，ß I i=1.2， 这意味着股票A的市场模型为： rA 2% 1.2riI AI
因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回 报率预期为14%（=2%+1.2*10%）。同样，如果市 场预期的回报率为-5%，则证券A的预期回报率为4%。 注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率 中没有被市场模型所完全解释的部分），当市场指 数上升10%或下降5%时，证券A的回报率将不会准 确地为14%或-4%。即，实际回报率和所给定市场指 数回报率之间的差额将归结于随机误差项的影响。
（三）关于CAPM检验的罗尔批评 （Roll’s Critique）
Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见： 1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括 所有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值方差效率。 2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股 票指数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则 任何单个风险资产都会落在证券市场线上，而这 是由于恒等变形引起的，没有实际意义；
二、单因素模型的一般形式 一般地，单因素模型认为有一个因素F 对证券收益产生广泛影响，这种影响力 通过对每种证券i在任意时期t的建立如 下方程来反映： Rit i i F it t
Rit 是证券i在t时期的收益率，t 是宏观因素 F
在t期的值， i 是证券i对宏观因素的敏感度， it 是一个均值为零的随机变量， i 是当宏观因素均值为零时证券收益率。
既然非系统风险因素可以被分散掉，那么只 有系统风险在市场均衡中控制证券的风险溢 价。在充分分散的投资组合中，各个厂商之 间的非系统风险相互抵偿，因此，在一个证 券组合中，与其期望收益相关的就只有系统 风险了。 （第二个性质）
套利定价模型(APT)
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
rit rf （rp1t rf ）bi1t （rp 2t rf ）bi 2t （rp 3t rf ）bi 3t （rpkt rf ）bikt
主要内容
一 套利与“一价定律” 二 套利如何实现
套利组合的构建
三 套利定价模型的实现
1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响）
2 2 ri a bi F i , 证券i的方差为: i2 (证券风险) bi2 F（因素风险） （非因素风险） i
2.双因素模型（ 所有资产 的收益受两个因素影响）
双因素以及多因素模型的定价公式
用同样的方法我们可以得到：
ri 0 1bi1 2bi 2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为 1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp 2 rf 从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 （rp 3 rf ）bi 3 （rpk rf ）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
投资学第六章 套利定价模型(APT)
• 两者的主要区别 第一，在APT中，证券的风险由多个因素来解 释；而在CAPM中，证券的风险只用证券相对于市场 组合的β系数来解释。 第二，APT并没有对投资者的证券选择行为做 出规定，因此APT的适用性增强了；而CAPM假定投 资者按照期望收益率和标准差，并利用无差异曲线 选择投资组合。 第三，APT并不特别强调市场组合的作用，而 CAPM强调市场组合是一个有效的组合。 第四，APT建立在一价定律的基础上的，集中 于无套利条件；而CAPM理论则建立在马科维茨的有 效组合基础之上，强调的是一定风险下的收益最大 化和一定收益下的风险最小化。
套利组合 • 构造套利组合必须满足三个条件： 零投资 无风险 正收益
• 因此，用数学语言表示套利组合的条件就是：
n ∑ωi = 0 i= 1 n D(∑ω r ) = 0 i i 1 i= n ∑ω E(r ) > 0 i i i =1
• 以下是APT模型的非严格证明。 • 首先，APT理论是建立在充分分散化的基础上的。 因为充分分散化的组合的ep的期望值为0，同时 其方差也趋于0，所以得出结论ep的值几乎为0。 所以，对于充分分散的投资组合，单因素模型 可以写为：
⇒
Eri − rf
βj
• 记为 λ E ri − r f • 所以
β
⇒
i
=
E rj − rf
β
= λ
j i j
E ri = r f + λ β
E rj = rf + λ β
所以，APT模型为 Eri = rf + λβi 习惯上，称λ为风险溢价、β为风险因子
套利定价模型与资本资产定价模型 的关系
rp = E(rp ) + β p F
套利定价模型(APT)
风险评估
风险测量
套利定价模型可以通过分析资产的历史价格数据和其他相关信息，计算出资产的风险水平。这有助于投资者了解 投资组合的整体风险状况，并采取相应的风险管理措施。
风险分散
套利定价模型可以帮助投资者识别不同资产之间的相关性，从而合理分散投资组合的风险。通过投资相关性较低 的资产，投资者可以在一定程度上降低投资组合的整体风险。
05
未来研究方向
改进模型参数估计方法
引入更先进的统计和机器 学习方法
利用大数据和人工智能技术，开发更有效的 参数估计方法，提高模型的预测精度和稳定 性。
考虑非线性关系
探索模型中变量之间的非线性关系，以更准确地描 述金融市场的复杂性和不确定性。
考虑时变参数
研究模型参数随时间变化的特性，以更好地 反映市场环境和投资者情绪的变化。
模型设定误差
假设与现实的偏离
套利定价模型基于一系列假设， 如市场有效性、无摩擦成本等。 如果这些假设不成立，模型可能 无法准确反映现实市场的套利机 会。
参数估计误差
模型参数的估计可能存在误差， 这会影响模型的预测精度和稳定 性。
风险因子的选择
选择正确的风险因子是关键，但 确定所有相关的风险因子可能是 一项挑战。
行为金融学
将套利定价模型与行为金融学理论相 结合，研究投资者心理和行为对市场 价格的影响。
市场微观结构理论
探讨套利定价模型在市场微观结构中 的作用，以更深入地理解市场交易机 制和价格形成机制。
THANKS
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02
无套利原则
套利定价模型的基本假设是市场是无套利的，即不存在套利机会。这意
味着投资者无法通过低买高卖来获得无风险的利润。
03
apt套利定价模型公式
apt套利定价模型公式APT套利定价模型公式APT套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，简称APT）是一种用于评估资产定价的理论模型。
它基于一个假设，即资产的预期收益可以通过一系列因素的组合来解释和预测。
这些因素可以是宏观经济因素、行业特定因素或公司特定因素等。
APT套利定价模型的公式如下：Er = Rf + β1F1 + β2F2 + ... + βnFn + ε其中，Er表示资产的预期收益率；Rf表示无风险利率；β表示资产对各因素的敏感度或贝塔系数；F表示各因素的影响；ε表示不可解释的部分或误差项。
根据APT套利定价模型，资产的预期收益率可以通过对各因素的敏感度进行加权求和来确定。
这些因素可以是市场因子（如股票市场的整体表现）、经济因子（如通货膨胀率、利率水平等）或公司特定因子（如盈利能力、市场份额等）。
在使用APT套利定价模型时，首先需要确定适用于特定资产的相关因素，并计算出每个因素的贝塔系数。
然后，根据资产的预期收益率、无风险利率和各因素的敏感度，可以使用公式来计算资产的合理定价。
APT套利定价模型的优势在于它可以通过考虑多个因素来解释和预测资产的收益，相比于传统的CAPM模型，更具灵活性和适应性。
它可以更好地适应不同市场环境和资产特征，提供更准确的定价结果。
然而，APT套利定价模型也存在一些局限性。
首先，确定适用于特定资产的因素和计算贝塔系数是一个复杂的过程，需要充分的数据和分析。
其次，模型中的预期收益率、因子敏感度等参数的确定也存在一定的主观性和不确定性。
为了有效利用APT套利定价模型，投资者需要进行充分的研究和分析。
他们需要收集和整理相关数据，确定适用于特定资产的因素，并计算出各因素的贝塔系数。
然后，他们可以使用公式来计算资产的预期收益率，并与市场价格进行比较，以确定是否存在套利机会。
APT套利定价模型是一种用于评估资产定价的理论模型。
它通过考虑多个因素的影响来解释和预测资产的预期收益率。
金融经济学第六章
K
N p
i 1 i
K
i
0, 则在期初卖空这个证券组合，获得正
i 1
N p。
i 1 i i
期末时，由于终端支付
K
N x
i 1
K
i i
0, 所以不需要任何
支付。这是第一类套利机会，与假设矛盾。同样地，这个
图6.1中，零因子是4％，即当GDP的预期增长率为零时， A的回报率。 A的回报率对 GDP 增长率的敏感度 b 为2，即图
中直线的斜率。
本例中，第 6 年的GDP 的预期增长率为 2.9％， A 的实际 回报率是13％。因此，A的回报率的特有部分（由
et 给出）为
3.2％{＝13％－[4＋（2×2.9％）} 。
所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差的准确度方
面，多因子模型比市场模型更有效。
因子模型的特点：
◎ 模型中的因子是系统影响所有证券价格的经济因 素
◎ 构造因子模型时，我们假设两个证券的回报率一
起对选择的因子产生共同反应 ◎ 证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证 券所独有的，与其他证券回报率的特有部分无关。
这里，
i 1 N
N
a p i ai ,
i 1 N
i 1
N
bp1 i bi1 F1 ,
i 1
N
bp 2 i bi 2 F2 , e p i ei。
i 1
N
多因子模型具有和单因子模型一样的重要性质： ❶ 有关证券组合前沿的计算量大大减少；
❷ 分散化导致因子风险的平均化；
若 p N1 p1 N2 p2 ，构造如下策略：
卖空由 N1 份证券1和 N 2 份证券2形成的证券组合，再 分别买入 N1 份证券1和 N 2 份证券2。
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套利定价理论 （Arbitrage Pricing Theory，APT）
CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性
1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现 实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味 着信息是无成本的，与现实不符；
3.投资者为风险厌恶的假设过于严格；
（二）CAPM的实证检验问题
假设证券的回报率生成过程仅包含一个因素，例如认 为证券的回报率与预期国内生产总值的增长率有关。
这一关系也可用下面的图形表示
•
• • • •
24 20 16 12 8 4
•
2
4
6
8
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP
一、因子模型的特点
第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有 证券价格的经济因子；
第二，在构造的因子模型中，我们假设两个证 券的回报率相关（一起运动仅仅是因为它们对 因子运动的共同反应导致的）； 第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部 分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率 的特有部分无关。
2
2 定义6.2 我们称上式中的i2 G为因子风险； 2为非因 ei 子风险
2 i 2 i 2 G
2 ei
再来看协方差。如果另外有一家公司j的股票，根据 其业绩表现统计测算出它的 j 4 。股票i和股票j的收益 率的协方差可以容易地算出
ij i j
经过十几年的发展，APT在资产定价理论中的地位已 不亚于CAPM。 套利定价理论模型的逻辑起点――因素模型与充分分 散风险的投资组合。 因素模型由威廉.夏普在1963年提出.它是是描述证券 收益率生成过程的一种模型，建立在证券关联性基础 上。认为证券间的关联性是由于某些共同因素的作用 所致，不同证券对这些共同的因素有不同的敏感度。 这些对所有证券的共同因素就是系统性风险。 因素模型正是抓住了对这些系统影响对证券收益的影 响，并用一种线性关系来表示。
既然非系统风险因素可以被分散掉，那么只 有系统风险在市场均衡中控制证券的风险溢 价。在充分分散的投资组合中，各个厂商之 间的非系统风险相互抵偿，因此，在一个证 券组合中，与其期望收益相关的就只有系统 风险了。 （第二个性质）
6.2
市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用证券市场指数 来作为影响证券价格的单因素，此时 的单因素模型被称为市场模型。 市场模型实际上是单因素模型的一个 特例。
方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为：
期望收益率：根据单因素模型，证券i的期望 收益率可以表示为：E( R ) E( F )
i i i
方差：在单因素模型中，同样可以证明任意证券i 的方差等于： 2 2 2 2
i i F ( i )
在这里，δ 2F 是因素的方差，δ 2(ε i)是随机误 差项的方差 协方差：在单因素模型中，计算证券间的协方 差变得十分简单。
充分分散风险的投资组合 假如一个投资组合是充分分散风险的， 那它的厂商特定风险或非系统风险可以 被分散掉，保留下来的只有因素（系统） 风险，即收益与风险为：
rp E (r p ) p F
p p F
这里： w i i p
i 1 n
我们把充分分散的投资组合定义为：满足按 比例分散持有足够大数量的证券组合，而每 种证券i的数量又小到可以使非系统方差被忽 略掉。
（三）关于CAPM检验的罗尔批评 （Roll’s Critique）
Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见： 1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括 所有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值方差效率。 2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股 票指数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则 任何单个风险资产都会落在证券市场线上，而这 是由于恒等变形引起的，没有实际意义；
若用有风险资产的市场组合的收益率的风险补偿来 作为宏观经济指数。于是
~ r (~ r ) e ~ ri f i i rM f i
下表反映了公司i的股票收益率 r 和国内生产总值
i
（ＧＤＰ）的增长率（简记为因子Ｇ）和通货膨胀率
（简记为因子I）６年的统计情况。 年度 １ 2 3 4 5 6 Ｇ 5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9 Ｉ 1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
ri
14.3% 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
~ ~ G, ei
E(ri ) i i E(G)
现在我们来看公司i的股票的收益率的方差。因 ~ 为 cov(ei , G) 0 ，所以可以导出
如果经统计测算出G增长率的方差是 G 0.0003 ， 2 非系统风险的方差是 ei 0.00152，则可算出股票收益 率的方差为 i2 0.00272
ij i j
2 F
先考虑一个宏观经济指标（Ｇ）对公司i的股票收益率 的影响，即研究Ｇ与公司i的股票收益率 ri 的关系。由一元 线性回归可得如下方程：
ri i iG ei
其中 ~, r
i
是随机变量， 4%, 2 是由回归确定 i i ~ ~ 的系数。且 E(ei ) 0 ， cov(~ ~ cov(ei , G) 0 ， ei , e j ) 0, i j ，并 有
罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础
的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型 （Arbitrage Pricing Theory，APT）。该模型由 一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一 价定律（The Law of One Price），即两种风险 －收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模 型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益 的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活 动则保证了市场均衡的实现。 同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作 了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。
假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期 证券市场指数（如标准普尔500指数）的收益率相联 系，即如果行情上扬，则很可能该股票价格会上升， 市场行情下降，则该股票很可能下跌。因此，可以用 市场模型的方程表示这一关系：
ri Ii Ii rI iI
式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 ri代表相同时期市场指数I的收益率 ε iI是随机误差项
二、单因素模型的一般形式 一般地，单因素模型认为有一个因素F 对证券收益产生广泛影响，这种影响力 通过对每种证券i在任意时期t的建立如 下方程来反映： Rit i i F it t
Rit 是证券i在t时期的收益率，t 是宏观因素 F
在t期的值， i 是证券i对宏观因素的敏感度， it 是一个均值为零的随机变量， i 是当宏观因素均值为零时证券收益率。
回归方程和直线都表示较高预期的GDP与较 高的证券收益率相关联。
任一给定证券的实际回报率由于含有非因素 回报率的缘故而位于拟合直线的上方或下方。 因此对例中的单因素模型多反映的关系的完 整描述为：
ri 4% 2GDP i
Ri i i G i
从方程中我们可以看出，任何一个证券的收 益由三部分构成： αi是宏观因素期望变化为零时的收益，是投 资者对证券的期初收益； βiG系统性风险收益，即随整个市场运动变 化不确定性（非预期的）的收益，且变化的 敏感度是βi； εi是与国内生产总值无关因素的作用，是非 系统性风险收益，即只与单个证券相关的非 预期事件形成的非预期收益。
1.市场组合的识别和计算问题 CAPM刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方法。 所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特点是，均衡资 产的收益率取决于市场资产组合的期望收益率。理论上， 市场资产组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的 权数等于该资产总市场价值占所有资产总价值的比重。但 实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛，因此，在CAPM 的实际运用中要识别一个真正的市场组合几乎不可能。 一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔 工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了检 验，得出的结果却与现实相悖。
6.1 单因子模型
定义6.1 因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回 报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。 因素模型中的因素常以指数形式出现（如GNP指数、股价 指数、物价指数等）,所以又称为指数模型。 单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题：一是提供一种 简化地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化 的宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具 体带来风险的因素因素模型。 以回归分析得单因素模型。
3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险 资产收益的任何情形都有可能出现，它取 决于无效指数的选择。 该结论断言，即便市场组合是均值-方差效 率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法 得到的SML，也不能够证明单一风险资产均 衡收益同β风险、市场组合之间存在某种有 意义的关系。 因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理 上的模糊，CAPM是无法检验的。
有如下假设： 收益率的生成过程由上述回归方程描述 对每一证券i， E( it ) 0 每一证券的残差与宏观因素不相关，这 意味着因素的结果对随机误差的结果没 有任何影响。 Cov( it , Ft ) 0 证券i与j的残差不相关，这意味着一种 证券的随机误差结果对任意其他证券的 随机误差结果不产生任何影响。换句话 说，两种证券的回报率仅仅通过对因素 的共同反应而相关联。Cov(i , j ) 0