平谷区2022届初三一模数学试题及答案

平谷区2022年学业水平考试统一练习（一） 初 三 数 学 2022.4
一、 选择题（本题共16分，每小题2分） 1．右图是某几何体的展开图，该几何体是 (A)长方体
(B)三棱锥 (C)圆锥
(D)三棱柱
2．2022年北京冬奥会圆满结束，运动健儿奋力摘金夺银的背后，雪务工作人员也在攻坚克难，实现了一项项技术突破，为奥运提供了有力的雪务保障.整个造雪期持续6周，人工造雪面积达到125000平方米，125000用科学记数法表示应为
（A ）51025.1⨯ （B ）41025.1⨯ （C ）31025.1⨯ （D ） 21025.1⨯ 3．如图，直线AB ∥CD ，点F 是CD 上一点，90,EFG ∠=︒EF 交AB 于M ，若∠CFG=35°，则∠AME 的大小为
（A ）35° （B ）55° （C ）125° （D ）130°
4．2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最
完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是
（A ） 它是轴对称图形 （B ） 它是中心对称图形 （C ） 它的外角和是360° （D ）它的每个内角都是140° 5.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若,a b a -<<，则b 的值可以是 (A) -1
(B) -2
(C)2
(D)3
6.从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是
(A) 16
(B) 14 (C) 31 (D) 21
7. 如图，四边形ABCD 内接于○o ，若∠ADC=110°，则∠AOC 的度数为
（A ） 55° （B ）110° （C ）130° （D ）140°
8.研究发现，近视镜的度数y （度）与镜片焦距x(米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为
（A ） 300度 （B ）500度 （C ）250度 （D ）200度 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若代数式
1
2
x x +-有意义，则x 的取值范围是 . 10.分解因式：2a +2ax+a x = . 11.方程1
102
x -
=+的解为 . 12.
13<
<，请写出一个满足条件的a 值 .
13.如图，正方形ABCD 中，将线段BC 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接BE 、DE ，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是 .
14.若已知关于x 的一元二次方程022
=++k x x
总有两个不
相等的实数根，则k 的取值范围为 .
15.甲、乙两个人10次射击成绩的折线图，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为2
2
s s 甲乙，，则2
2
s s 甲乙
(填“>”，“<”或“=”)
16. 新年联欢，某公司为员工准备了A 、B 两种礼物，A 礼物单价a 元，重m 千克，B 礼物单价（a+1）元，重（m-1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差
元，通过称重其他盲盒，大家发现
若这些礼物共花费2018元，则a= 元.
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.-1
o 1-3tan302
5⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
18.解不等式组：2253
2
x x x x +>⎧⎪
⎨+≥⎪⎩
19.已知0222=-+a a ，求代数式)1(2)1)(1(-++-
a a a 的值．
20.有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍，他们在图纸上设计了以下施工方案：
①在O e 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于二分之一AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交O e 于点D ； ②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆； ③大O e 即为所求作。

（1）使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成如下证明. 证明：连接CA 、CB
在△ABC 中，∵CA=CB ，O 是AB 的中点， ∴CO ⊥AB (____________)(填推理的依据). 设小O e 半径长为r ∵OB=OD ，∠DOB=90° ∴BD=r 2
∴2
O 2）（大圆r S π==_____S 小圆O
21．在平面直角坐标系xoy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点（-1，0）和（0，
2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x>-2时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值小于一次函数
(0)y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围.
22.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉, 水柱从垂直于湖面的水枪喷出,水柱落于湖面的路径形状是抛物线. 现测量出如下数据, 在距水枪水平距离为d 米的地点, 水柱距离湖面高度为h 米.
请解决以下问题:
(1) 在下边网格中建立适当的平面直角坐标系, 根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接.
(2) 请结合表中所给数据或所画图象, 估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为________米（精确到0.1）；
(3) 公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险。

23.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为AB 边中点，过D 点作AB 的垂线交BC 于点E ，在直线DE 上截取DF ，使DF=ED ，连接AE 、AF 、BF.
（1）求证：四边形AEBF 是菱形；
（2）若35
COS EBF ∠=，BF=5,连接CD ，求CD 的长.
24.如图，AB 是O e 的直径，C 是圆O 上一点，过C 作O e 的切线交AB 的延长线于点D ，连接AC 、BC ，过O 作OF ∥AC 交BC 于E ，交DC 于F 。

（1） 求证：∠DCB=∠DOF ；
（2） 若1
tan 2
A ∠=，BC=4，求OF 、DF 的长。

25.2022年2月20日晚，北京冬奥会在国家体育场上空燃放的绚丽烟花中圆满落幕，伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰上运动、了解冰上运动知识的热潮.为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并随机从七八两个年级各抽取30名同学的数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了相关信息：
a.七年级测试成绩的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：40≤x <50，50≤x <60，60≤x <70，70≤x <80，80≤x <90)：
b .七年级测试成绩的数据在70≤x <80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78
c 七、八两个年级测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m 的值；
(2)抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A 的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B 的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是_________理由是_________；
(3)若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人.
26.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2
2y x bx =-． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b 的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点1(b 1,y )A -和2(b 2,y )B +,当120y y ⋅<，求b 的取值范围．
27.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线C D，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF=EC，连接BF交CD于G.
(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠CAE=∠BCD
(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明.
28．在平面直角坐标系xoy中，O
e的半径为r，对于平面上任意一点P，我们定义：若在O
e
上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在O
e内，我们就称点P为O
e的友好点。

（1）如图1若r为1，
①已知点P1( 0,0),P2（-1,1）,P3(2,0)中,是O
e的友好点的是；
②若点P（t，0）为O
e的友好点，求t的取值范围.
（2）已知M(0,3)、N（3，0），线段MN上所有的点都是O
e的友好点，求r取值范围.
平谷区2022年一模试卷评分标准
初三数学2022年4月一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.
-1
o
1
-3tan302
5
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
5-32
3
⨯- (4)
3 (5)
18.解不等式组：
22
53
2
x x
x
x
+>
⎧
⎪
⎨+
≥
⎪⎩
解①得2
x< (2)
解②得1
x≥- (4)
12
x
∴-≤< (5)
19.先化简，再求值：
)1
(2
)1
)(
1
(-
+
+
-a
a
a
2122
a a
=-+- (2)
223
a a
=+- (3)
22
220,+2a=2
a a a
+-=∴
Q (4)
2-3-1
∴==
原式···········
(5)
20. （1）尺规作图
(2)
（2）三线合一 ·
............................................................................................. 4 2 (5)
21.（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点（-1，0）和（0，2）
∴0
2k b b -+=⎧⎨
=⎩
(1)
∴22k b =⎧⎨=⎩
(2)
22y x ∴=+
（2）22y x =+直线 当x=-2时，y=-2
当y=mx 过点（-2,-2）时，m=1 ·
······························································· 3 当y=mx 与直线y=2x+2平行时，m=2 ·
(4)
12m ∴≤≤时结论成立. ·
(5)
22．解：（1）
(2)
（2）6.7（大于6.3小于7.3均给分） ····················································· 3 （3有淋水的危险
设抛物线的解析式为2
356y a(x ).∴=-+ ∵抛物线过点（0.2）.解得a=-0.4
2
04356y .(x ).∴=--+
································································ 4 当x=1时，y=4
∵4.2>4
∴游船有淋水的危险 (5)
23.（1）证明：
,BECD AD BD ED FD ==∴Q 四边形是平行四边形
(1)
AB EF
⊥∴Q 四边形AEBF 是菱形
············································································· 2 （2）Q 四边形AEBF 是菱形
∴AE BF,AE BE =P ···················································································· 3 ∴∠EBF =∠AEC
3
5
COS EBF ∠=Q 35
COS AEC ∴∠=
在Rt △ACE 中，∵∠ACE=90°，3
5COS AEC ∴∠=，AE=BF=5
∴EC=3，AC=4 (4)
∵AC=4,BC =8
AB ∴= (5)
在Rt △ACE 中，∵∠ACE=90°，D 为AB 中点
1
2
CD AB ∴== (6)
24．（1）解：连结OC ．
∵CD 为CD O e 的切线
∴∠DCO=90° ··············································· 1 ∴∠DCE+∠2=90°， ∵ AB 为O e 的直径
∴∠ACE=90°． ∵OF 平行AC
∴∠OEB=∠ACB=90°． ···································· 2 ∴∠1+∠DOF=90°. ∵OC=OB ∴∠1=∠2
∴∠DCB=∠DOF (3)
（2）∵∠ACB=90°，1
tan 2A ∠=，BC=4，
2
1
∴AC=8
∵∠OEB=90° ∴BE=EC=2
∵O 是AB 的中点 ∴OE=4 (4)
1
tan DCB tan DOF 2
∠=∠=
Q ∴EF=1
∴OF=4+1=5 (5)
由勾股，CF = ∵OF ∥AC
DFO DAC ∴∆∆: ∴OF DF =AC DC
设DF=x
5
=
8∴=DF (6)
25．解：（1）74； ·························································································· 1 （2）B ； ····································································································· 2 因为A 的排名是15，因为八年级中位数和众数都为73，说明B 的排名一定在14名 或14名以前，所以B 的排名更靠前 ··································································· 4 （3）1
2801402
⨯
=（人）
(6)
26.（1）解：∵抛物线过点（2，0）
∴4-4b=0 b=1 (1)
22y x x =- (2)
（2）对称轴x=b (3)
（3）当抛物线过点（b-1，0）时，2
（b-1）-2b （b-1）=0
解得±b=1 (4)
当抛物线过点（b+2，0）时，2
（b+2）-2b （b+2）=0
解得±b=2 (5)
∴-2<b<-1或1∴<b<2·
(6)
27.(1)补全图形............................................1 (2) 证明：
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACD=90°
∵AE ⊥CD
∴∠CAE+∠ACD=90°
∴∠CAE=∠BCD (3)
（3）BG=FG.................4 过B 作BM ⊥CD 于M ，
∵∠CAE=∠BCD ，AC=BC ，∠AEC=∠BMC=90° ∴△AEC ≌△CBM （AAS ）.................5 ∴BM=CE ∵CE=EF
∴BM=EF.................6 ∵∠AEG=∠BMG=90°
∠EGF=∠BGM
∴△EFG ≌△BMG （AAS ） ∴FG=BG (7)
方法二：
证明：延长AE 到H ，使EH=FE ，连接FC 、CH 、BH. ∵AE ⊥CD 于E,EF=EC ∴△FEC 是等腰直角三角形 ∵EF=EH
∴FC=CH ，∠CFH=∠CHE=45°
∴△FCH 是等腰直角三角形.................5 ∵∠HCB+∠BCF=90° ∠ACF+∠BCF=90° ∴∠ACF=∠BCH ∵AC=BC ，CH=CF
∴△AFC ≌△CHB （SAS ）.................6 ∴∠CHB=∠CFA=135° ∴∠AHB=135°-45°=90° ∴EG 平行于HB
∴
1
1
FG FE BG EH == ∴FG=BG (7)
A
28．解：（1）P2，P3； (2)
（2）-3<t<-1或1<t<3; (4)
（3）
r为半径的圆和以O为圆心3r为半径的圆环区域内（不包含边界）
(5)
如图一，当r=1时，线段MN开始完全落在圆环区域内；
如图二，当线段MN
与小圆相切时，
=
r (6)
1r
∴<< (7)。