成比例线段自主学习导学案

成比例线段
【学习目标】
1．通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段；
2．掌握并会推导比例的性质；
3．会用比例的性质进行解题。

【学习重难点】
成比例线段、比例的性质；
比例性质的推导与应用。

【学习过程】
一、知识回顾：小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。

（2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。

（3）比例的基本性质是什么？
（4）地理中的比例尺是指什么？
你自己还了解哪些关于比例的知识，写出来，与同学们交流。

二、自主学习：
1．学习完成课本练习试一试与概括
（1）“比例线段”的概念：
已知四条线段a ．b ．c ．d ，如果d
c b a =（或a ：b=c ：
d ），那么a ．b ．c ．d 叫做组成比例的 ，线段a ．d 叫做比例 ，线段b ．c 叫做比例 ，线段 叫做a ．b ．c 第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即
c
b b a =（或a ：b=b ：
c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的 。

（2）“比例线段”和“线段的比”的区别
“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？
结论：
（3）注意：概念的有序性
线段的比有顺序性，a ：b 和b ：a 通常是不相等的。

比例线段也有顺序性，如d
c b a =叫做线段a ．b ．c ．
d 成比例，而不能说成是b ．a ．c ．d 成比例。

第四比例项也有顺序性，如d
c b a =中，线段
d 叫做a ．b ．c 的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b ．a ．c 的第四比例项”。

2．自学课本，完成课本练习
三、比例的性质
1．比例的基本性质 如果d
c b a =（或a ：b=c ：
d ），那么ad=bc ，即比例的两外项的积等于两内项的积， 证明：∵b ≠0，d ≠0 ∴bd 0
∴在等式的两边同时乘以bd ，得
试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？
逆命题是：如果ad=bc ，那么
证明：∵ad=bc ∴在等式的两边同时除以bd ，得
如果a ：b=c ：d 中的两个比例内项相等，即当a ：b=b ：c 时，又可以得到什么结论呢？
2．合比性质
刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质，如果我们继续用等式的性质，能否得到比例的其它性质呢？比如：在比例式d
c b a =的两边都加上1，会得到什么结果呢？并加以证明 解：如果
d c b a =，那么d
d c b b a +=+ ∵d
c b a = ∴+b a （ ）=
d c +（ ） ∴d
d c b b a +=+ 如果两边都减1呢？（请仿照上面的解题过程完成）
解：如果 ，那么
∵ ∴
∴ 综合上面的结论可得，合比性质：如果
d c b a =，那么 。

还有以下结论：如果d
c b a =，那么
d b c a =（交换内项）； 如果d
c b a =，那么a c b
d =（交换外项）； 如果d c b a =，那么a
b c d =（交换内外项） 这些结论正确吗？你能证明这些结论吗？试一试
3．等比性质： 试猜想n
m f e d c b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ），与n f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？ 猜想：n
m f e d c b a =⋅⋅⋅===＝n f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++，（0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ） 证明：设n
m f e d c b a =⋅⋅⋅===＝k ，则a=bk ，c=dk ，e=fk ，…，m=nk ∴n f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++＝()()()=++++++++n f d b nk fk dk bk ΛΛ=k ∴n m f e d c b a =⋅⋅⋅====n
f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++ 等比性质：如果
n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n
d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 。

四、巩固练习 1．已知m 、n 、p 、q 是成比例线段，其中m=2cm ，n=6cm ，q=27cm ，则p=_______cm 。

2．已知三个数1，2．
3，请你再添一个数，使它们构成的四个
数成比例关系。

解：设添的一个数为x 根据题得
（1）321x = ∴x=
（2）321=x
∴x=
综上所述，添的一个数是
五、拓展延伸
1．已知75===f e d c b
a ，b+d+f ≠0， 求（1）f d
b e
c a ++++的值。

（2）
d b c
a 33--的值。

2．已知432
z y x ==，且x+y-z=121，求x 、y 、z 的值。

【达标检测】
1．若m 是2．3．8的第四比例项，求m 的值。

2．（1）若x 是a ．b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，求x 的值；
（2）若线段x 是线段a ．b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，求x 的值；
3．若a ：b ：c=2：3：7，且a ＋b ＋c=36，求a ．b ．c 的值。