人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案

3.1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标.1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
知识点一.二倍角公式的推导
思考1.二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
答案.sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α
＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α
＝cos 2α－sin 2α；
tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α
. 思考2.根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？
答案.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；
或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.
知识点二.二倍角公式的变形
1.公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12
sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α
＝tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式
1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，
1＋cos α＝2cos
2α2，1－cos α＝2sin 2α2
. 降幂公式
cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.
类型一.给角求值
例1.求下列各式的值：
(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23
cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°
. 解.(1)cos 36°cos 72°＝
2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14
. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36
. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 2
75°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10° ＝
4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 反思与感悟.对于给角求值问题，一般有两类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
跟踪训练1.求下列各式的值：
(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7
； (2)1sin 50°＋3cos 50°
.
解.(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7
＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos 6π74sin 2π7
＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin 2π78sin 2π7
＝18. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12
sin 80°＝4.
类型二.给值求值
例2.(1)若sin α－cos α＝13
，则sin 2α＝ . 答案.89
解析.(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2
α－2sin αcos α ＝1－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⇒sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89
. (2)若tan α＝34
，则cos 2α＋2sin 2α等于(..) A.6425
B.4825
C.1
D.1625
答案.A
解析.cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34
代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516
＝6425.
故选A.
引申探究
在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13
，求sin 2α. 解.由题意，得(sin α＋cos α)2＝19
， ∴1＋2sin αcos α＝19
， 即1＋sin 2α＝19
， ∴sin 2α＝－89
. 反思与感悟.(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.
(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练2.已知tan α＝2.
(1)求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1
的值. 解.(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4
＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1
＝
2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2
＝1. 类型三.利用倍角公式化简
例3.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.
解.方法一.原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二.原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭
⎪⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α
(sin α＋cos α)2 ＝
cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 反思与感悟.(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角. ②降幂或升幂.
③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2
＝1±sin 2θ.
跟踪训练3.化简下列各式：
(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝ ； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝ . 答案.(1)sin α－cos α.(2)0
解析.(1)∵α∈(π4，π2
)，∴sin α＞cos α， ∴1－sin 2α＝1－2sin αcos α
＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2
α
＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.
(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴1＋cos 2αcos α－ 1－cos 2αsin α
＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α
＝－2cos αcos α－－2sin αsin α
＝0.
1.12sin π12cos π12
的值等于(..) A.14
B.18
C.116
D.12 答案.B
解析.原式＝14sin π6＝18
. 2.sin 4π12－cos 4π12
等于(..) A.－12 B.－32 C.12 D.32
答案.B
解析.原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin
2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos
2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°
＝ . 答案.1－
32 解析.tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°
＝12tan 15°＝1－32
. 4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案. 3
解析.∵sin 2α＝－sin α，
∴sin α(2cos α＋1)＝0，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－12
， sin α＝32
，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x 的值. 解.原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513
，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213
， ∴原式＝2×1213＝2413
.
1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4
的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2
n ＋1(n ∈N *). 2.二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2
；
③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2
. 课时作业
一、选择题
1.已知α是第三象限角，cos α＝－513
，则sin 2α等于(..) A.－1213
B.1213
C.－120169
D.120169
答案.D
解析.由α是第三象限角，且cos α＝－513
， 得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169
，故选D. 2.若tan θ＝－13
，则cos 2θ等于(..) A.－45 B.－15 C.15 D.45
答案.D
解析.tan θ＝－13
，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45
. 3.已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45
，则tan 2x 等于(..) A.724 B.－724 C.247 D.－247
答案.D
解析.由cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35
， 所以tan x ＝－34
， 所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D.
4.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4等于(..) A.16
B.13
C.12
D.23 答案.A
解析.因为cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2
， 所以cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A. 5.如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2
的值是(..) A.－105
B.105
C.－155
D.
155 答案.C
解析.∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15
， ∴cos θ<0，cos θ＝－15
. 又∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2
<0. ∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35
， sin θ2＝－155
. 6.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝
33，则cos 2α等于(..) A.－
53 B.－59 C.59 D.53
答案.A
解析.由题意得(sin α＋cos α)2＝13
， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23
. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0，
∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，
∴cos 2α＝－ 1－sin 22α
＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－ 1－49＝－53
，故选A. 7.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35
，则sin 2α等于(..) A.725
B.15
C.－15
D.－725 答案.D
解析.因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α－1， 又因为cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝2×925－1＝－725
，故选D. 二、填空题
8.2sin 222.5°－1＝ .
答案.－22 解析.原式＝－cos 45°＝－
22. 9.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .
答案.116
解析.原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6° ＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116
. 10.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15
x ，则tan 2α＝ . 答案.247
解析.cos α＝
x x 2＋42＝x 5， ∴x 2＝9，x ＝±3.
又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，
∴cos α＝－35，sin α＝45
， ∴tan α＝－43，tan 2α＝2×(－43)1－(－43)2＝－831－169＝－83－79
＝7221＝247
. 11.已知tan x ＝2，则tan 2(x －π4
)＝ . 答案.34 12.若tan α＋
1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝ . 答案.0 解析.由tan α＋1tan α＝103
， 得tan α＝13或tan α＝3. 又∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3. ∴sin α＝310，cos α＝110
. ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2cos π4
cos 2α
＝22×2sin αcos α＋22
(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－
22 ＝2×310×110
＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－22 ＝5210－22
＝0. 三、解答题
13.已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值. 解.∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45
. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725
， sin 2α＝2sin αcos α＝2425
， ∴原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α
＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 四、探究与拓展
14.等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为 . 答案.459
解析.设A 是等腰△ABC 的顶角，
则cos B ＝23
， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(23)2＝53
. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459
. 15.已知π<α<32
π，化简：
1＋sin α
1＋cos α－1－cos α＋1－sin α
1＋cos α＋1－cos α. 解.∵π<α<32π，∴π2<α2<34
π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2
. ∴1＋sin α
1＋cos α－1－cos α＋1－sin α
1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2
) ＝－2cos α2
.。