七年级上册郴州数学期末试卷专题练习(解析版)

七年级上册郴州数学期末试卷专题练习（解析版）
一、选择题
1．2020的相反数是（ ） A ．2020
B ．﹣2020
C ．
1
2020
D ．﹣
1
2020
2．已知关于x 的方程34x a -=的解是x a =-，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 3．下列四个数中，最小的数是（）
A ．5
B ．0
C ．1-
D ．4-
4．下列运用等式性质进行变形：①如果a =b ，那么a ﹣c =b ﹣c ；②如果ac =bc ，那么a =b ；③由2x +3=4，得2x =4﹣3；④由7y =﹣8，得y =﹣，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．下列各项中，是同类项的是（ ）
A ．xy -与2yx
B ．2ab 与2abc
C ．2x y 与2x z
D ．2a b 与2ab 6．一袋面粉的质量标识为“100±0.25千克”，则下列面粉质量中合格的是（ ）
A ．100.30千克
B ．99.51千克
C ．99.80千克
D ．100.70千克
7．如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A ．两点之间，线段最短
B ．经过一点，有无数条直线
C ．垂线段最短
D ．经过两点，有且只有一条直线
8．一件商品，按标价八折销售盈利 20 元，按标价六折销售亏损 10 元，求标价多少元？小
明同学在解此题的时候，设标价为 x 元，列出如下方程： 0.8200.610x x -=+．小明同
学列此方程的依据是（ ） A ．商品的利润不变 B ．商品的售价不变 C ．商品的成本不变
D ．商品的销售量不变
9．如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，且∠C=80°，则∠D 的度数为（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．100°
10．若，
，则多项式
与
的值分别为( ) A ．6，26
B ．－6，26
C ．-6，－26
D ．6，－26
11．2020的相反数是（ ）
A ．2020
B ．﹣2020
C ．
1
2020
D ．﹣
1
2020
12．下列说法正确的是（ ） A ．如果ab ac =，那么b c = B ．如果22x a b =-，那么x a b =- C ．如果a b = 那么23a b +=+
D ．如果
b c
a a
=，那么b c = 13．下列单项式中，与2a b 是同类项的是（ ） A ．22a b
B ．22a b
C ．2ab
D ．3ab 14．若x 3=是方程3x a 0-=的解，则a 的值是( ) A ．9 B ．6 C ．9- D ．6- 15．对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（ ）
A ．(3)a --+
B ．2a -
C ．1a -+
D ．1a --
二、填空题
16．方程2x+1=0的解是_______________.
17．已知关于 x 的一元一次方程 5x - 2a = 6 的解 x=1，则 a 的值是___________. 18．有理数中，最大的负整数是____.
19．已知关于x 的方程345m x -=的解是1x =，则m 的值为______.
20．某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件____元.
21．如果20a b --=，那么代数式122a b +-的值是_____．
22．数轴上有A 、B 、C 三点，A 、B 两点所表示的数如图所示，若BC =3，则AC 的中点所表示的数是_______．
23．将一副三角板如图放置（两个三角板的直角顶点重合），若28β∠=︒，则
α∠=______︒.
24．6的绝对值是___．
25．如果一个角的余角等于它本身，那么这个角的补角等于__________度.
三、解答题
26．如图，线段 AB 的中点为 M ，C 点将线段 MB 分成 MC ：CB=1：3 的两段，若 AC=10，求AB 的长．
27．先化简，再求值：(
)()2
2
2
2222x xy y
x
xy y +--+-，其中1x =-，2y =.
28．定义：点C 在线段AB 上，若BC ＝π⋅AC ，则称点C 是线段AB 的一个圆周率点． 如图，已知点C 是线段AB 的一个靠近点A 的圆周率点，AC ＝3． （1）AB ＝ ；（结果用含π的代数式表示）
（2）若点D 是线段AB 的另一个圆周率点（不同于点C ），则CD = ；
（3）若点E 在线段AB 的延长线上，且点B 是线段CE 的一个圆周率点．求出BE 的长．
29．、两地相距，甲、乙两车分别沿同一条路线从地出发驶往地，已知甲车
的速度为，乙车的速度为
，甲车先出发
后乙车再出发，乙车到达地后
再原地等甲车.
（1）求乙车出发多长时间追上甲车？ （2）求乙车出发多长时间与甲车相距？
30．解方程
（1）610129x x -=+； （2）21
232
x x x +--
=-. 31．运动场环形跑道周长400米，小红跑步的速度是爷爷的
5
3
倍，小红在爷爷前面20米，他们沿跑道的同一方向同时出发，5min 后小红第一次与爷爷相遇.小红和爷爷跑步的速度各是多少?
32．如图，点P 是∠AOB 的边OB 上的一点 （1）过点P 画OA 的平行线PQ （2）过点P 画OA 的垂线，垂足为H （3）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C
（4）线段PH 的长度是点P 到______的距离，______是点C 到直线OB 的距离． （5）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC ．PH 、OC 这三条线段大小关系是______（用“＜“号连接）．
33．计算:
（1）(3)74--+-- （2）2
11()(6)5()32
-⨯-+÷-
四、压轴题
34．已知M ，N 两点在数轴上所表示的数分别为m ，n ，且m ，n 满足：|m ﹣12|+（n +3）2＝0
（1）则m ＝ ，n ＝ ；
（2）①情境：有一个玩具火车AB 如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A 移动到点B 时，点B 所对应的数为m ，当点B 移动到点A 时，点A 所对应的数为n ．则玩具火车的长为 个单位长度：
②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？
（3）在（2）①的条件下，当火车AB 以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P 和点Q 从N 、M 出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB 运动后对应的位置为A ′B ′．是否存在常数k 使得3PQ ﹣kB ′A 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 35．概念学习：
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
如：222÷÷，()()()()3333-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作
32，读作“2的3次商”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()43-，读作“3-的4次
商”．一般地，我们把n 个()0a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”． （1）直接写出结果：3
12⎛⎫
=
⎪⎝⎭______，()42-=______． （2）关于除方，下列说法错误的是（ ） A ．任何非零数的2次商都等于1 B ．对于任何正整数n ，()111n --=-
C ．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数
D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 深入思考：
除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
()43-=______ 6
15⎛⎫
= ⎪⎝⎭______
（4）想一想，将一个非零有理数a 的n 次商写成乘方（幂）的形式等于______．
（5）算一算：2019
23420201111162366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷-÷---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
36．如图，已知∠AOB =120°，射线OP 从OA 位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB 旋转；与此同时，射线OQ 以每秒6°的速度，从OB 位置出发逆时针向射线OA 旋转，到达射线OA 后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ 返回并与射线OP 重合时，两条射线同
时停止运动. 设旋转时间为t 秒．
（1）当t =2时，求∠POQ 的度数； （2）当∠POQ =40°时，求t 的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t 的值，使得∠POQ =1
2
∠AOQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
37．已知A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点
A ，P 是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离；
(2)已知线段OB 上有点C 且6BC =，当数轴上有点P 满足2PB PC =时，求P 点对应的
数；
(3)动点P 从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P 能移动到与A 或B 重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?
38．数轴上有两点A ，B ， 点C ，D 分别从原点O 与点B 出发，沿BA 方向同时向左运动. （1）如图，若点N 为线段OB 上一点，AB=16，ON=2，当点C ，D 分别运动到AO ，BN 的中点时，求CD 的长；
（2）若点C 在线段OA 上运动，点D 在线段OB 上运动，速度分别为每秒1cm, 4cm ，在点C ，D 运动的过程中，满足OD=4AC ，若点M 为直线AB 上一点，且AM-BM=OM ，求AB OM
的值.
39．对于数轴上的,,A B C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两点的“倍联点”. 例如数轴上点,,A B C 所表示的数分别为1，3，4，满足2AB BC =，此时点B 是点,A C 的“倍联点”.
若数轴上点M 表示3-，点N 表示6，回答下列问题：
（1）数轴上点123,,D D D 分別对应0，3. 5和11，则点_________是点,M N 的“倍联点”，点N 是________这两点的“倍联点”；
（2）已知动点P 在点N 的右侧，若点N 是点,P M 的倍联点，求此时点P 表示的数. 40．已知AOB ∠是锐角，2AOC BOD ∠=∠.
（1）如图，射线OC ，射线OD 在AOB ∠的内部（AOD AOC ∠>∠），AOB ∠与
COD ∠互余；
①若60AOB ︒∠=，求BOD ∠的度数； ②若OD 平分BOC ∠，求BOD ∠的度数.
（2）若射线OD 在AOB ∠的内部，射线OC 在AOB ∠的外部，AOB ∠与COD ∠互补.方方同学说BOD ∠的度数是确定的；圆圆同学说：这个问题要分类讨论，一种情况下
BOD ∠的度数是确定的，另一种情况下BOD ∠的度数不确定.你认为谁的说法正确?为什么?
41．如图，已知数轴上点A 表示的数为10，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=30，动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
(1)数轴上点B 表示的数是________，点P 表示的数是________(用含的代数式表示)； (2)若M 为线段AP 的中点，N 为线段BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化,请用含的代数式表示这个长度； (3)动点Q 从点B 处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时与点Q 相距4个单位长度? 42．射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 有公共端点O ．
（1）若OA 与OE 在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角；
（2）若∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n ＜72），OB 平分∠AOE，OD 平分∠COE（如图2），求∠BOD 的度数；
（3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC 绕点O 在∠AOD 内部旋转（不与OA 、
OD重合）．探求：射线OC从OA转到OD的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由．
43．点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝1
2
x﹣5的解，在数轴上是否存在
点P使PA+PB＝1
2
BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣3
4
BN的值不变；②
13
PM
24
BN的值不
变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据相反数的定义可直接得出结论．
【详解】
解：2020的相反数是−2020．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，题目比较简单，掌握相反数的定义是解决本题的关键．2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意将解代入方程解出a即可.
【详解】
将x=-a代入方程得:-a-3a=4,
解得:a=-1.
故选C.
【点睛】
本题考查一元一次方程的解题方法,熟练掌握解题方法是关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
按照正数大于0,0大于负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小的法则进行数的大小比较，从而求解.
【详解】
解：由题意可得：-4＜-1＜0＜5
故选:D
【点睛】
本题考查有理数的大小比较，掌握正数大于0,0大于负数，两个负数比大小，绝对值大的反而小是本题的解题关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接录用等式的基本性质分析得出答案．
【详解】
解：①如果a=b，那么a-c=b-c，正确；
②如果ac=bc，那么a=b（c≠0），故此选项错误；
③由2x+3=4，得2x=4-3，正确；
④由7y=-8，得y=-，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等式的基本性质，正确把握性质2是解题关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案．
【详解】
A．﹣xy与2yx，所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项．故选项A符合题意；
B．2ab与2abc，所含字母不相同，不是同类项．故选项B不符合题意；
C．x2y与x2z，所含字母不相同，不是同类项．故选项C不符合题意；
D．a2b与ab2，所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项．故选项D不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了同类项，关键是理解同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意，明确“正”和“负”所表示的意义求出合格产品的范围，再求解即可.
【详解】
依题意，合格面粉的质量应大于等于97.75千克，
小于等于100.25千克
选项中只有99.75<99.8<100.25
故答案选C
【点睛】
本题考查了正负数的意义，本题难度较小，解决本题的关键是理解正负数的意义.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题干图片可知，剪痕是一条线段，而被减掉的部分是两条有共同端点的线段，据此进行解答即可.
【详解】
解：剪痕是一条线段，而被减掉的部分是两条有共同端点的线段，根据两点之间线段最短可解释该现象，
故选择A.
【点睛】
本题考查了两点之间，线段最短概念的实际运用.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
0.8x-20表示售价与盈利的差值即为成本，0.6x+10表示售价与亏损的和即为成本，所以列此方程的依据为商品的成本不变.
【详解】
解：设标价为x元，则按八折销售成本为(0.8x-20)元,按六折销售成本为(0.6x+10)元，
根据题意列方程得， 0.8200.610x x -=+. 故选：C. 【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，即销售问题，根据售价，成本，利润之间的关系找到等量关系列方程是解答此题的关键.
9．A
解析：A 【解析】
∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ． ∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠D ．∴∠CAD=∠D ．
∵在△ACD 中，∠C+∠D+∠CAD=180°，即80°+∠D+∠D=180°， 解得∠D=50°，故选A ．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】 分别把与
转化成（a 2+2ab ）+(b 2+2ab)和（a 2+2ab ）-(b 2+2ab)的形式，代
入-10和16即可得答案.
【详解】 ∵，
，
∴=（a 2+2ab ）+(b 2+2ab)=-10+16=6，
a 2-
b 2=（a 2+2ab ）-(b 2+2ab)=-10-16=-26，
故选D. 【点睛】
本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据相反数的定义可直接得出结论． 【详解】
解：2020的相反数是−2020． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了相反数的定义，题目比较简单，掌握相反数的定义是解决本题的关键．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等式基本性质分析即可．
【详解】
A ． 如果ab ac =，当0a ≠， 那么b c =，故A 选项错误；
B ． 如果22x a b =-，那么12
x a b =-
，故B 选项错误； C ． 如果a b = 那么22a b +=+，故C 选项错误；
D ． 如果b c a a
=，那么b c =,故D 选项正确． 故选：D
【点睛】
本题考查了等式基本性质，理解性质是关键．
13．A 解析：A
【解析】
试题分析：含有相同字母，并且相同字母的指数相同的单项式为同类项，故选A ． 考点：同类项的概念．
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
把x =3代入方程3x ﹣a =0得到关于a 的一元一次方程，解之即可．
【详解】
把x =3代入方程3x ﹣a =0得：9﹣a =0，解得：a =9．
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
15．D
解析：D
【解析】
【分析】
负数一定小于0，分别将各项化简，然后再进行判断．
【详解】
解：A ． (3)a --+=3-a ，当a 3≤时，原式不是负数，选项A 错误；
B ． 2a -，当a=0时，原式不是负数，选项B 错误；
C ． 1a -+，当a 1≠-时，原式才符合负数的要求，选项C 错误；
D ． 1a --10≤-<，原式一定是负数，符合要求，选项D 正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数的加减法以及绝对值，正确的将各项化简是解此题的关键．二、填空题
16．x=-
【解析】
【分析】
先移项，再系数化1，可求出x的值．
【详解】
移项得：2x=-1，
系数化1得：x=-．
故答案为：-．
【点睛】
解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同
解析：x=-1 2
【解析】
【分析】
先移项，再系数化1，可求出x的值．【详解】
移项得：2x=-1，
系数化1得：x=-1
2
．
故答案为：-1
2
．
【点睛】
解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，移项时要变号，最后系数化1．
17．-
【解析】
【分析】
把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求解．
【详解】
把x=1代入方程得5-2a=6，
解得：a=-．
故答案为：-．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解的定义
解析：-1 2
【解析】
【分析】
把x=1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求解．【详解】
把x=1代入方程得5-2a=6，
解得：a=-1
2
．
故答案为：-1
2
．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
18．-1.
【解析】
【分析】
最大的负整数是-1.
【详解】
在有理数中，最大的负整数是-1.
故答案为-1.
【点睛】
本题考查了有理数，解题的关键是掌握最大的负整数是-1．
解析：-1.
【解析】
【分析】
最大的负整数是-1.
【详解】
在有理数中，最大的负整数是-1.
故答案为-1.
【点睛】
本题考查了有理数，解题的关键是掌握最大的负整数是-1．
19．3
【解析】
【分析】
方程的解满足方程，所以将代入方程可得的值.
解：将代入方程得
解得.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键 解析：3
【解析】
【分析】
方程的解满足方程，所以将1x =代入方程可得m 的值.
【详解】
解：将1x =代入方程345m x -=得
345m -=
解得3m =.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键.
20．150
【解析】
设该商品的标价为每件x 元，由题意得：80%x ﹣100=20，解得：x=150， 故答案为150．
解析：150
【解析】
设该商品的标价为每件x 元，由题意得：80%x ﹣100=20，解得：x =150，
故答案为150．
21．【解析】
【分析】
将所求式子化简后再将已知条件中整体代入即可求值；
【详解】
，
，
；
故答案为．
【点睛】
本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．
【解析】
【分析】
将所求式子化简后再将已知条件中2a b -=整体代入即可求值；
【详解】
20a b --=，
∴2a b -=，
∴()12212145a b a b +-=+-=+=；
故答案为5．
【点睛】
本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．
22．5或4.5
【解析】
【分析】
分两种情况得到C 点所表示的数，再根据中点坐标公式可求AC 的中点所表示的数．
【详解】
解：∵B 为5，BC=3，
∴C 点为2或8，
∴AC 的中点所表示的数是（1+2）÷
解析：5或4.5
【解析】
【分析】
分两种情况得到C 点所表示的数，再根据中点坐标公式可求AC 的中点所表示的数．
【详解】
解：∵B 为5，BC=3，
∴C 点为2或8，
∴AC 的中点所表示的数是（1+2）÷2=1.5或（1+8）÷2=4.5．
故答案为：1.5或4.5．
【点睛】
本题考查了数轴，解题的关键是确定C 点所表示的数，注意分类思想的应用．
23．152
【解析】
【分析】
根据周角以及直角的定义进行解答即可.
【详解】
解：由图可知
∵
∴
故答案为:152.
【点睛】
本题考查了周角及直角的定义，以及角度的和差关系，掌握角度的和差关系是解
解析：152
【解析】
【分析】
根据周角以及直角的定义进行解答即可.
【详解】
解：由图可知360-90-90-αβ∠=∠
∵28β∠=︒
∴360-90-90-28=152α∠=
故答案为:152.
【点睛】
本题考查了周角及直角的定义，以及角度的和差关系，掌握角度的和差关系是解题的关键. 24．【解析】
【分析】
根据绝对值的意义解答即可.
【详解】
解：6是正数，绝对值是它本身6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，属于应知应会题型，熟知绝对值的定义是解题关键. 解析：【解析】
【分析】
根据绝对值的意义解答即可.
【详解】
解：6是正数，绝对值是它本身6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，属于应知应会题型，熟知绝对值的定义是解题关键.
25．135
【解析】
【分析】
根据互余两角和为，由题意可得出这个角的度数，再根据两个互补的角和为求解即可．
【详解】
解：设这个角为，由题意可得，，解得，，
∵，
∴这个角的补角等于135度．
故答案
解析：135
【解析】
【分析】
根据互余两角和为90︒，由题意可得出这个角的度数，再根据两个互补的角和为180︒求解即可．
【详解】
解：设这个角为α，由题意可得，α90α=︒-，解得，α45=︒，
∵18045135︒-︒=︒，
∴这个角的补角等于135度．
故答案为：135．
【点睛】
本题考查的知识点是余角和补角的概念定义，掌握余角和补角的概念定义是解此题的关键．
三、解答题
26．16
【解析】
试题分析：本题需先设MC=x ，根据已知条件C 点将线段MB 分成MC ：CB=1：3的两段，求出MB=4x ，利用M 为AB 的中点，列方程求出x 的长，即可求出
试题解析：设MC=x ，
∵MC ：CB=1：3∴BC=3x ，MB=4x ．
∵M 为AB 的中点．∴AM=MB=4x ．
∴AC=AM+MC=4x+x=10，即x=2．
∴AB=2AM=8x=16．
27．223x y -+;11
【解析】
【分析】
去括号合并同类项后，再代入计算即可；
【详解】
原式=22222224x xy y x xy y +---+223x y =-+；
当1x =-，2y =时，原式11211=-+=；
【点睛】
本题考查整式的加减，解题时根据是熟练掌握整式的加减法则，属于中考常考题型,熟悉整式的运算法则是解题关键．
28．（1）33π+；（2）3-3；（3）3或3π.
【解析】
【分析】
（1）根据AB=AC+BC 计算即可；
（2）根据点D 是线段AB 的另一个圆周率点得到AD=
BD ，由此求出BD=3，再用AB-AC-BD 求出CD ；
【详解】
(1)AB=AC+BC=3+3π;
(2) ∵点D 是线段AB 的另一个圆周率点（不同于点C ），且AB=AD+BD ，
∴AD=
BD ∴BD BD AB ,
∴(1
)33BD , ∴BD=3
∴CD=AB-AC-BD=3+3π-3-3=3π-3;
（3）
∵点B 是线段CE 的一个圆周率点，
∴BC BE ＝
或BE BC ＝, 当BC BE ＝
时，BE= 33BC , 当BE BC ＝时，BE=233.
∴BE 的长是3或23π.
【点睛】
此题考查代数式的计算，正确理解线段的圆周率点列式计算，注意当点B 是线段CE 的一个圆周率点时应分为两种情况讨论，不要忽略掉某一种.
29．（1）乙车出发2小时追上甲车；（2）乙车出发、
、与甲车相距
【解析】
【分析】
(1)设乙车出发x 小时追上甲车，由此时甲车走了(x+1)小时，根据两车所走的路程相等，列出方程进行求解即可；
(2)分乙车没追上甲车、乙车追上甲车、乙车到达B 地而甲车没到达B 地三种情况分别解即可.
【详解】
(1)设乙车出发x 小时追上甲车，由此时甲车走了(x+1)小时，由题意得
60(x+1)=90x ，
解得：x=2，
答：乙车出发2小时追上甲车；
(2)①(小时)， ②(小时)，
③4小时后，甲距离地60千米，乙到达地等甲，还有可能相距50米，
(小时)，
答：乙车出发2小时追上甲车；乙车出发、
、与甲车相距. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解(1)的关键，分情况讨论是解(2)的关键.
30．（1）196
x =-
；（2）1x =. 【解析】
【分析】
（1）方程移项合并，将x 系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解．
【详解】
（1）612910x x -=+ 619x -=
196
x =- （2）解：去分母，得122(2)63(1)x x x -+=--.
去括号，得1224633x x x --=-+.
移项、合并同类项，得55x -=-.
系数化为1，得1x =.
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
31．小红速度为190 米/分,爷爷速度为114米/分.
【解析】
【分析】
由题意得第一次与爷爷相遇,必定小红比爷爷多跑一圈,所以小红的路程=爷爷的路程+400-20,由该等式列成方程解出即可.
【详解】
解:设爷爷的速度为x 米/分,小红的速度为
53x 米/分. 5·53
x =5x +400-20 251538033
x x -=
103803
x = x =114
53x =190 米/分. 答: 小红速度为190 米/分,爷爷速度为114米/分.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用,关键在于读题列出方程.
32．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）直线OA （或点H ）；线段CP 的长度；PH<PC<OC
【解析】
【分析】
按照要求作图即可，利用两个方格组成的矩形的对角线可作出与OB 的平行线MN 和垂线PC ，沿方格线可作出OA 的垂线；再由垂线段最短即可解答.
【详解】
解：(1)(2)(3)按要求作图即可，如下图，
(4) 由图可知，PH 是点P 到直线OA （或点H ）的距离，
点到直线的垂线段长度即为该点到直线的距离，故CP 的长度为点C 到直线OB 的距离； 故答案为: 直线OA （或点H ）；线段CP 的长度
(5)故PH ＜PC ；CP 是C 到OB 的距离，故CP ＜CO ，
故答案为：PH<PC<OC.
【点睛】
本题考查了与线相关的作图以及点到直线的距离.
33．(1)6；(2)22
【解析】
试题分析：（1）先去括号、去绝对值，然后进行加减运算即可；（2）先计算乘法，再计
算乘方，然后将除法变为乘法，最后进行加减运算即可. 试题解析：
（1）原式=3+7－4=6； （2）原式=2+5÷
1
4
=2+5×4=22. 点睛：掌握有理数混合运算法则.
四、压轴题
34．（1）m ＝12，n ＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k ＝6，15 【解析】 【分析】
（1）由非负性可求m ，n 的值；
（2）①由题意可得3AB ＝m ﹣n ，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t 分别表示出PQ ，B 'A 的长度，进而用参数t 表示出3PQ ﹣kB ′A ，即可求解． 【详解】
解：（1）∵|m ﹣12|+（n +3）2＝0， ∴m ﹣12＝0，n +3＝0， ∴m ＝12，n ＝﹣3； 故答案为：12，﹣3；
（2）①由题意得：3AB ＝m ﹣n ， ∴AB ＝
3
m n
-＝5， ∴玩具火车的长为：5个单位长度， 故答案为：5；
②能帮小明求出来，设小明今年x 岁，奶奶今年y 岁， 根据题意可得方程组为：40
116y x x y x y -=+⎧⎨
-=-⎩
，
解得：12
64
x y =⎧⎨
=⎩ ，
答：奶奶今年64岁；
（3）由题意可得PQ ＝（12+3t ）﹣（﹣3﹣t ）＝15+4t ，B 'A ＝5+2t ，
∵3PQ ﹣kB ′A ＝3（15+4t ）﹣k （5+2t ）＝45﹣5k +（12﹣2k ）t ，且3PQ ﹣kB ′A 的值与它们的运动时间无关， ∴12﹣2k ＝0， ∴k ＝6
∴3PQ ﹣kB ′A ＝45﹣30＝15 【点睛】
本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想.
35．（1）2，14；（2）B ；（3）21()3-，45；（4）21()n a -；（5）29
- 【解析】 【分析】
（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义计算即可求出值； （3）将原式变形即可得到结果； （4）根据题意确定出所求即可； （5）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】
（1）311111122222
2⎛⎫=÷÷=÷= ⎪
⎝⎭， ()()()()()4111
222221224
-=-÷-÷-÷-=⨯
⨯=， 故答案为：2，
14
； （2）A ．任何非零数的2次商都等于1，说法正确，符合题意；
B ．对于任何正整数n ，当n 为奇数时，()111n --=-；当n 为偶数时，()111n --=，原说法错误，不符合题意；
C ．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，符合题意；
D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，符合题意． 故选：B ；
（3）()()()()()433333-=-÷-÷-÷-
111()()33=⨯-⨯-
21
()3
=-；
611111115555555
⎛⎫=÷÷÷÷÷ ⎪⎝⎭ 15555=⨯⨯⨯⨯
45=；
故答案为：2
1()3
-，45； （4）由（3）得到规律：2
1()
n n a a
-=，
所以，将一个非零有理数a 的n 次商写成乘方（幂）的形式等于2
1()
n a
-，
故答案为：2
1()
n a
-；
（5）2019
23420201111162366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷-÷---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()
()
()
2019
32
42
20202
112366---⎛⎫=÷-÷---⨯ ⎪⎝⎭
2018
20181111162966⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2018
11161866⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
11186
=-
- 29=-．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用；熟练掌握运算法则是解本题的关键．对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
36．（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ =40°时，t 的值为10或20；（3）存在，t =12或
18011或1807
，使得∠POQ =1
2∠AOQ ．
【解析】 【分析】
当OQ ，OP 第一次相遇时，t =15；当OQ 刚到达OA 时，t =20；当OQ ，OP 第二次相遇时，t =30；
（1）当t =2时，得到∠AOP =2t =4°，∠BOQ =6t =12°，利用∠POQ =∠AOB -∠AOP-∠BOQ 求出结果即可；
（2）分三种情况：当0≤t ≤15时，当15＜t ≤20时，当20＜t ≤30时，分别列出等量关系式求解即可；
（3）分三种情况：当0≤t ≤15时，当15＜t ≤20时，当20＜t ≤30时，分别列出等量关系式求解即可． 【详解】
解：当OQ ，OP 第一次相遇时，2t +6t =120，t =15； 当OQ 刚到达OA 时，6t =120，t =20；
当OQ ，OP 第二次相遇时，2t 6t =120+2t ，t =30； （1）当t =2时，∠AOP =2t =4°，∠BOQ =6t =12°， ∴∠POQ =∠AOB -∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°. （2）当0≤t ≤15时，2t +40+6t=120， t =10； 当15＜t ≤20时，2t +6t=120+40， t =20；
当20＜t ≤30时，2t =6t -120+40， t =20（舍去）； 答：当∠POQ =40°时，t 的值为10或20. （3）当0≤t ≤15时，120-8t=
1
2
(120-6t ），120-8t=60-3t ，t =12； 当15＜t ≤20时，2t –(120-6t ）=1
2(120 -6t ），t=18011
. 当20＜t ≤30时，2t –(6t -120）=12(6t -120），t=1807
. 答：存在t =12或18011或1807
，使得∠POQ =1
2∠AOQ .
【分析】
本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．
37．（1）A 、B 位置见解析，A 、B 之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P 与A 重合；点P 与点B 不重合． 【解析】 【分析】
（1）点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B 表示的数，再根据平移的过程得到点A 表示的数，在数轴上表示出A 、B 的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A 、B 之间的距离即可；
（2）设P 点对应的数为x ，当P 点满足PB=2PC 时，得到方程，求解即可；
（3）根据第一次点P 表示-1，第二次点P 表示2，点P 表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论． 【详解】
解：（1）∵点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧， ∴点B 表示的数为-10，
∵将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A ， ∴点A 表示的数为20， ∴数轴上表示如下：
AB 之间的距离为：20-（-10）=30； （2）∵线段OB 上有点C 且6BC =， ∴点C 表示的数为-4， ∵2PB PC =， 设点P 表示的数为x ， 则1024x x +=+， 解得：x=2或-6， ∴点P 表示的数为2或-6；。