辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中
考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题1．sin 240=
A B ．1
2
C ．
D ．12
-
2．已知边长为ABC 的外接圆圆心为O ，则AOC ∠所对的劣弧长为（）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
3．已知向量(1,1)a = ， b a 与b 的夹角为5π
6
，则||a b += （
）
A
B ．2
C
D ．14
4．设函数()sin()(,0,0,||)2
f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，若12,63x x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（
）
A ．1
2
B ．2
C ．
2D ．1
5．已知O 为ABC 的外心，4AB =uuu r ，则AO AB ⋅=
（
）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
6．若sin 7a π=，3cos 7b π=，tan 7
c π
=，则a 、b 、c 之间的大小关系为（
）
A ．a b c
<<B ．b a c
<<C ．b<c<a D ．a c b
<<
7．已知ABC 中，若sin 2cos A A -=tan A =（）
A ．3
-B ．3
C ．3-或
1
3
D ．3或13
-
8．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上
的图像与直线2y =有且仅有一个交点，则ω的最小值为（）
A ．
4
3
B ．
34
C ．
32
D ．1
二、多选题
9．已知向量()1,sin θ=
a ，(cos
b θ= ，则下列命题正确的是（
）
A ．存在θ，使得λa b
=
B ．当tan 2
θ=时，a 与b 垂直
C ．对任意θ，都有a b
≠r r
D ．当a b ⋅
a 在
b 10．下列论述中正确的是（）
A ．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a b ==r r ，c a b =- ，则c 与a 的夹角等于
3
π
B ．若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠
，则b c
=
C ．在四边形ABC
D 中，()6,8AB DC == ，且AB AD AC
AB AD AC +=
，则BD = D ．在ABC 中，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r
，则O 是ABC 外心
11．已知函数π
()sin()(0,0,||)
2
f x A x A ωϕωϕ=+>><条对称轴之间的距离为
2
π，且()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，则下列结论正确的是（
）
A ．函数()f x 的图象关于直线512
x π
=
对称
B ．当[,]66x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为2
-
C ．若()6
5f π
α-=
，则44sin cos αα-的值为45
-D ．要得到函数()f x
的图象，只需要将()cos 2g x x 的图象向右平移6
π
个单位12．在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）
A ．sin A tan 3
B =，则A B <B ．tan tan 1A B ⋅<
C ．sin sin cos cos A B A B
+>+D ．sin sin 1
A B +>三、填空题
13．已知α，β为锐角，4sin 5α=
，()cos 5
αβ+=-，则cos 2β=______.14．已知
(),2a λ= ，()3,5b =- ，且a 与b
的夹角为锐角，则λ的取值范围是
_________________．
15．已知函数()22sin cos 24f x x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的值域为______.
四、双空题
16．设tan θ＝2，则tan (4
π
θ+
＝________，
sin cos sin cos θθ
θθ
-+＝________.
五、解答题
17．已知2= a ，b = ()()
239a b b a +⋅-=
(1)求a 与b
的夹角θ；
(2)在ABC 中，若AB a
=
，AC b = ，求BC 边的长度.18．已知1
sin cos 2
αα+=，0απ<<.(1)求sin cos αα的值.(2)求sin cos αα-的值.
(3)-
的值.19．已知以角B 为钝角的ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
()sin ,2sin m A B =
，)
sin n A =
-
，且m n ⊥
.
(1)求角B 的大小；(2)求cos cos A C +的最大值.20．在①函数()()1sin 0,22f x x πωϕωϕ⎛
⎫=
+>< ⎪⎝
⎭的图像向右平移12π个单位长度得到
()g x 的图像，()g x 图像关于原点对称；
②函数()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=
++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦；③函数()()
1cos sin 064f x x x πωωω⎛
⎫=+-> ⎪⎝
⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图像相邻两对称中心之间的距离为2
π
.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若06
π
θ<<
，且()3
10
f θ=
，求cos 2θ的值.
21．已知函数()2
cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈.
(1)求()f x 的最小值()g a ；
(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围.
22．设O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =
的“相伴函数”为
()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),a M b O =
称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴
向量”.
(1)设函数()2sin cos 36h x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求()h x 的“相伴向量”；
(2)记()0,2OM =
的“相伴函数”为()f x ，若函数()()1g x f x x =+-，
[]0,2x π∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(3)已知点(),M a b 满足22340a ab b -+<，向量OM
的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最
大值.当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.
参考答案：
1．C
【详解】试题分析：00sin 240sin 60=-=C ．考点：诱导公式2．D
【分析】根据等边三角形的性质可得AOC ∠，再根据弧长公式求解即可
【详解】因为边长为的等边ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边ABC 的中心，故23AOC π∠=
，且6OA OC ==
，故AOC ∠所对的劣弧长为2643ππ⨯=故选：D 3．A
【分析】首先计算a r 和a b ⋅
，再代入+= a b ，即可求得答案.
【详解】 (1,1)a =
，a == 又
= b a 与b 的夹角为56
π
∴cos 32θ⎛⎫
⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ a b a
b +=== a b 故选：A.4．C
【分析】根据图像求出()sin(2)3
f x x π
=+，由12()()f x f x =得到126
x x π
+=
，代入即可求解.
【详解】根据函数()sin()(,0,0,||)2
f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象，可得：A =1;因为
236T πππω⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
，2ω∴=，结合五点法作图可得2(06
π
ϕ-+= ，3
π
ϕ∴=
，()sin(2)3
f x x π
=+．
如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，结合2(0,)3x ππ+∈，可得122(23322
x x πππ+++=，
126
x x π∴+=
，12()()sin()6332f x x f πππ∴+===
5．A
【分析】根据平面向量数量积的几何意义，结合外心的性质求解即可【详解】取AB 中点D ，因为O 为ABC 的外心，故OD AB ⊥，故cos 248
AO AB AO AB OAB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅=⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
故选：A 6．B
【分析】根据诱导公式，结合正弦函数的单调性判断,a b ，再根据正弦与正切的关系判断,a c 即可
【详解】由题，3cos cos sin sin 7214147b a πππππ⎛⎫==-=<= ⎪⎝⎭
，又sin
7tan sin 77cos 7
c a π
πππ==
>=，故b a c <<故选：B 7．A
【分析】由10
sin 2cos 2
A A -=，利用同角三角函数间的基本关系求出1tan 3A =或3-，再
分类即可求解．
【详解】10sin 2cos 2
A A -=
()2
2222sin 2cos 5tan 4tan 45sin cos 2tan 12
A A A A A A A --+∴
=⇒=⇒
++1tan 3A =或3-，10
sin 2cos 0sin 2cos 2
A A A A -=
⇒> tan 2(cos 0)A A ⇒>>或tan 0(cos 0)A A <<，tan 3A ∴=-，
8．D
【分析】结合函数()f x 图像的对称性，及()f x 在区间,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的单调性，可知232T π≤，又()f x 的图像与直线2y =的交点的横坐标为()2Z 2k x k ππωω=+∈，从而得2222ππππ
ωωω
≤<+，进而可求出ω的取值范围.
【详解】解：因为函数()2sin (0)f x x ωω=>的图像关于原点对称，并且在区间,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上
是增函数，
所以24323T T ππ≤⇒≥，又20
T πωω⎧
=⎪⎨⎪>⎩，得302ω<≤，令()2sin 2f x x ω==，得()2Z 2k x k ππ
ωω
=
+∈，所以()f x 在()0,∞+上的图像与直线2y =的第一个交点的横坐标为2π
ω
，第二个交点的横坐标为22ππ
ωω
+，所以
2222ππππωωω
≤<+，解得15ω≤<，综上所述，3
12
ω≤≤，故ω的最小值为1故选：D 9．BD
【分析】利用向量平行得关系验证可判断A
；利用商数关系可得cos θ=θ，在判断0a b ⋅=
是否成立，即可判断B ；通过向量的模得求法求解θ即可判断C ；利用向量数量积的
坐标表示结合平方关系求得2cos θ，a 在b 方向上的投影向量的模长即为a 在b
方向上的投影的绝对值，再根据向量的投影的定义即可判断D.
【详解】解：对于A ，若λa b =
，则a b ∥，
sin cos 0θθ-=，
即1
sin 22
θ=
，所以sin θ=又[]sin 21,1θ∈-，
所以不存在θ，使得λa b =
，故A 错误；
对于B
，当tan 2
θ=-
时，则cos θ=θ，
则cos 0a b θθ⋅==
，所以a 与b 垂直，故B 正确；
对于C
，若a b ==r r 若a b =r r
，则221sin cos 2θθ+=+，
则22cos sin 1θθ-=-，即cos 21θ=-，
所以22k θππ=+，所以,Z 2
k k π
θπ=
+∈，即存在,Z 2
k k π
θπ=+∈，使得a b =r r ，故C 错误；
对于D
，cos in a b θθ⋅==
，
则223cos 2sin cos θθθθ+=+，
即()2222
cos 2sin cos cos sin 3θθθθθθ
+=++，
化简得22sin cos 2cos 0θθθθ-+=，
则2tan 20θ-θ+=
，解得tan θ=，
即22sin 2
cos θ=θ，所以2
1cos 3θ=，a 在b
方向上的投影向量的模长为a b b a b b
b b
⋅⋅⋅
==
D 正确.故选：BD.10．AC
【分析】分别求出,a c c ⋅ ，再根据cos ,a c
a c a c
⋅=
，即可判断A ；根据数量积的定义即可判
断B ；易知四边形ABCD 是边长为10的菱形，且120BAD ∠=︒，从而可判断C ；由平面向量的数量积可知OA BC ⊥，,OB AC OC AB ⊥⊥，即可判断D.
【详解】解：对于A ，()
212
a c a a
b a a b ⋅=⋅-=-⋅= ，
1c a b =-=
，
则1cos ,2
a c a c a c ⋅== ，
所以c 与a 的夹角为3
π
，故A 正确；
对于B ，若a b a c ⋅=⋅
，则cos ,cos ,a b a b a c a c =r r r r r r r r ，所以cos ,cos ,b a b c a c =
，故B 错误；
对于C ，因为
()6,8AB DC == ，所以四边形ABCD 为平行四边形，且10AB DC ==
，
又
AB AD AC
AB AD AC
+= ，所以四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒，
所以对角线BD =
C 正确；
对于D ，因为OA OB OA OC ⋅=⋅
，所以()
0OA OB OC OA CB ⋅-=⋅=uur uuu r uuu r uur uur
，
所以OA BC ⊥，
同理,OB AC OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC.
11．BD
【分析】利用最值，半个周期，对称点，以及ϕ取值范围确定())6
f x x π
+，分别利用
正弦函数的对称轴，整体法确定角度范围求最值，诱导公式和平方差公式，利用函数诱导公式变换表达式从而分析图像特点即可求解.
【详解】 函数π
()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><，其图象相邻的两条
对称轴之间的距离为
2
π，∴A =
1222
ππ
ω⋅=，
2ω∴=，())f x x ϕ=
+.
又因为()f x 的图象关于点(,0)12
π
-
对称，
所以())0,126
f ππ
ϕ-=-+=所以,6
k k Z π
ϕπ-
+=∈,
所以6,k k Z πϕπ=
+∈.因为||2
ϕπ
<，所以6πϕ=.
即())6
f x x π
=+.
对选项5
A,(
)012
f ππ==≠A 错误.
对选项B ，[,],2[,]66
6
62x x πππ
ππ
∈-+
∈-
，当()2,66x f x ππ
+=-时取得最小值B 正确.
对选项C,()sin(2)cos 26
2
5f ππ
ααα--=
，得到3cos 25
α=.因为442222
3sin cos (sin cos )(sin cos )cos 25
ααααααα-=+-=-=-，
故C 错误.
对选项D ，把()2g x x =的图象向右平移
6
π
个单位得到2())sin[
(2)])
6
3
2
3
6
y x x x x π
π
π
π
π
=-
=-
=+-
+
的图象，故D 正确，
故选：BD .12．ACD
【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角
对于A ，sin 5A =
，得cos A =，tan 2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，
cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；
对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+)sin()4
4
A B π
π
-
>-
，化简得
sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44
A B ππ->-，得2A B π
+>，
符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π
+>
，所以，2
A B π>-，
所以，sin sin sin()sin 2
A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π
+≥1>，
所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD
13．3
5
-##0.6
-【分析】根据平方关系求出cos α，()sin αβ+，再根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求出sin β，再根据二倍角得余弦公式即可得解.【详解】解：因为α，β为锐角，则,0,2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()0,αβπ+∈，
又4sin 5α=
，()cos αβ+=-
所以3cos 5α=，()sin 5
αβ+=，
则()()()sin sin sin cos cos sin 5
βαβααβαα
βα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦，所以2
3cos 212sin 5ββ=-=-.
故答案为：3
5
-.
14．10635
λλ<
≠-且【详解】试题分析：因为向量a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅<
且a 与b 不共线，所以3100λ-+>且56λ≠-，解之得：106
35
λλ<
≠-且考点：向量夹角及坐标运算.15．[]
2,3【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数()f x 化简，再根据x 的取值范围，求出23
x π
-的
范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：函数2
()2sin ()24
f x x x
π=+-
1cos(2)22
x x
π
=-+
-sin 221
x x =-+
1
2sin 2212x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 213x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，
即()2sin 213f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
，
又
42ππx ≤≤∴
226
3
3
x π
π
π
≤-
≤
∴1
sin(2),132x π
⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
，
∴[]2sin(2)1,23
x π
-∈，
∴()[]2,3f x ∈；
故答案为：[]2,316．
－3
1
3
【分析】由两角和的公式计算出tan(4
π
θ+
，把它展开后切弦互化可得sin cos sin cos θθ
θθ
-+．
【详解】解：由tan θ＝2，得tan (4
π
θ+
＝
tan tan
41tan tan
4
π
θπ
θ+-＝－3，
sin cos sin cos θθθθ-+＝tan 1tan 1θθ-+＝13
.
故答案为：3-；13
．
17．(1)56
π
【分析】（1）先求出a b ⋅
，再带入公式计算即可；
（2）根据题意得到()
2
2BC b a =- ，展开计算求解即可.
（1）
因为()(
)2
222
2335232529
a b b a a a b b a b +⋅-=--⋅+=-⨯-⋅+⨯
= ，
所以3a b ⋅=-
，所以cos a b a b θ⋅==- []0,θπ∈，所以56
πθ=.
（2）
因为BC AC AB b a =-=-
，所以()
2222=213BC b a b a b a =--⋅+= ，
所以BC =
18．(1)38
-
(3)43
-
【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则
sin cos αα-=
（
3
=
得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.【详解】（1）解：因为1sin cos 2
αα+=
，所以()2
22
1sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4
αααααααα+=++=+=
，所以3
sin cos 8
αα=-；
（2）解：因为0απ<<，3
sin cos 8
αα=-，
所以sin 0,cos 0α
α><，所以
sin cos 2
αα-=
；（3）解：由（2）得sin 0,cos 0
αα><，
1sin 1cos cos sin αα
αα
--=
-
-()()
sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-
sin cos 1sin cos αααα+-=-
11238
-=--
43
=-.19．(1)23
B π=
【分析】（1）利用0m n ⋅= ，结合正弦定理，求出sin B =，B 为钝角，所以23B π
=
.
（2）化简cos cos 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，2,
333A πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，即可确定cos cos A C +的取值范围，(1)
解：因为()sin ,2sin m A B =
，)
sin n A =
- ，且m n ⊥
.
所以0m n ⋅=
2sin sin 0A B A -=，
因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以sin 2
B =，因为B 为钝角，所以23
B π=.(2)
解：因为1cos cos cos cos cos cos sin 3223A C A A A A A A ππ⎛⎫
⎛
⎫+=+-=++
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭，
由（1）知，0,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
，
故cos cos A C +的取值范围是32⎛ ⎝.
所以cos cos A C +
20．(1)最小正周期T π=，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；
(2)3
10
【分析】（1）依题意函数的最小正周期T π=，再根据所选条件及三角恒等变换公式化简，即可得到()f x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由（1）可得3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 26πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，最
后根据两角差的余弦公式计算可得；(1)
解：若选条件①，由题意可知，2T π
πω
=
=，2ω∴=，
∴1()sin(2)2
f x x ϕ=+，将()f x 的图像向右平移12π
个单位长度得到1()sin(2)26g x x πϕ=+-，
又函数()g x 的图象关于原点对称，∴6k πϕπ=+
，Z k ∈， ||2
ϕπ
<，∴6πϕ=，
∴1()sin(226
f x x π
=
+，所以函数的最小正周期T π=，令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；
若选条件②，()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=
++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1cos 2sin 2cos cos 2sin 266x x x ππωωω⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭
11cos 22222x x ωω⎛⎫=
+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭又22T ππω
=
=，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π
=+．
所以函数的最小正周期T π=，令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；
若选条件③，11()cos sin()cos (sin cos cos sin 6
4
6
6
4
f x x x x x x π
ππ
ωωωωω=+-=+-
211cos cos 224x x x ωω=+-
1
2cos 244
x x ωω=
+111
2cos 2)sin(2)2226
x x x πωωω=
+=+即()1
sin(2)2
6
f x x π
ω=+，
又22T ππω
=
=，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．
所以函数的最小正周期T π=，令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈，
所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；
(2)
解：因为1()sin(2)26f x x π=
+且()310f θ=，所以()13sin 22610f πθθ⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭
，
所以3sin 265πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，因为06πθ<<，所以2662πππθ<+<，
所以4cos 265πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，
所以cos2cos 266θθππ⎡⎤
⎛
⎫=+-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
43132cos sin 2sin 666652520cos 1ππππθθ⎛⎫⎛
=⎫+++=⨯+⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．(1)()23,
03,20
44
2a a a
g a a a a ⎧
->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪
<-⎪⎩
，(2)3
a ≥【分析】（1）化简函数()2
2
sin 324
a a f x x a ⎛
⎫=+
-- ⎝
⎭，根据[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，分类讨论，即可求解函数的最小值；
（2）由()0f x =，可得2
sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x ≠，2
sin 3
1sin x a x
+=-，令sin [0,1)t x =∈，
则231t a t
+=-，利用单调性，即可求解.
(1)
由题意，函数()2
22
sin cos 4sin 324a a f x a x x a x a ⎛
⎫=-+-=+-+- ⎪⎝
⎭，
因为[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，当<02
a
-
时，即0a >时，则sin 0x =时，()f x 取得最小值()3g a a =-；当012a ≤-
≤时，即20a -≤≤时，则sin 2
a
x =-时，所以()f x 取得最小值()2
34
a g a a =-+-；
当12
a
->时，即2a <-时，则sin 1x =时，()f x 取得最小值()4g a =．
综上可得，()23,
03,20442a a a
g a a a a ⎧
->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪
<-⎪⎩
，．
(2)
∵[0,]x π∈，∴sin [0,1]x ∈，由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x =时，此等式不成立．
故有sin 1x ≠，2sin 3
1sin x a x
+=-，
令sin [0,1)t x =∈，则231t a t +=-，令()[)()23
0,11+=∈-t F t t t
，()()()
()
2
311--+'=
-t t F t t ，当[)0,1∈t 时，()0F t '>，()F t 单调递增，
所以()3≥F t ，故3a ≥．
【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，三角函数的基本关系式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式，转化为关于sin x 的二次函数，熟练应用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.22．
(1)12OM ⎛=- ⎝⎭
(2)[)1,3(3)3,4
⎛⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()3
6
h x x x =--+可化为(
)1sin 2
h x x x =-+进而根据题
意得答案；
（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3
）由())f x x ϕ=+可求得02+,Z 2
x k k π
πϕ=-∈时，f (x )取得最大值，其中
0tan a
x b
=
，换元求得a b 的范围，再利用二倍角的正切可求得0tan 2x 的范围．
（1）
解：111()2sin sin sin 222h x x x x x x x ⎫⎛⎫=---=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴()h x 的“相伴向量”
为12OM ⎛=- ⎝⎭
.
（2）
解：由题知：()0sin 2cos 2cos f x x x x =⋅+⋅=
.
4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ
⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭
=+-=⎨
⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩
可求得()g x 在03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调递增，3，ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，53ππ⎛⎫
⎪⎝⎭，
单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递减
且5(0)1,3()33(2,),,1
33g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫
===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∵()g x 图像与y k =有且仅有四个不同的交点
13
k ∴≤<所以，实数k 的取值范围为[)
1,3
（3）
解：()sin cos sin()f x a x b x x ϕ=++其中
cos sin tan b
a
ϕϕϕ==
=
R
x ∈ ∴当2,Z 2
x k k π
ϕπ+=
+∈即022
x k π
ϕπ=
-+时，()f x 取得最大值.此时022tan tan 2tan(2)tan 21tan x ϕπϕϕϕ
=-=-=--令tan b m a ϕ=
=，则由22430a ab b -+<知：23410m m -+<，解之得1
13
m <<0222
tan 211m x m m m
=-
=
--，
因为1y m m
=-
在1
(,1)3m ∈上单调递增，
所以
0222
tan 211m x m m m
=-
=
--在1(,1)3
m ∈上单调递减，
从而03tan 2,4x ⎛
⎫∈-∞- ⎪
⎝
⎭。