多自由度系统的振动

分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
两自由度的弹簧质量系统， 两物体均作直线平移，
Mx Kx 0
m1
0
0 m2
xx12
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
0 0
M
m1
0
0
m2
质量矩阵
K
k1 k2
k2
k2
k2
k3
刚度矩阵
5.1 两自由度系统的模态
假设系统的运动为
x
u1
u2
f
(t)
m 0
M
0
m,
K
k1 k2
k2
k2 k2 k3
5k 4k
4k
5k
将M、K代入频率方程，得
1
k, m
2 3
k m
对应的两个主振型和振幅比为
1
u (1) 2
u (1) 1
1,
2
u(2) 2
u(2) 1
1
uu12((11))
1 1
,
uu12((22))
1 1
5.1 两自由度系统的模态
这个比值称为振幅比
虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时， 振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。
19
5.1 两自由度系统的模态
➢ 固有振型（主振型）
。 对应于
12
和
2 2
振幅A1和A2，之间有两个确定的比值
x1 u1 sin t x2 u2 sin t
F1 F2
(t ) (t)
设位移向量 速度向量
x ={x1，x2}T
x {x1, x2}T
加速度向量 x {x1, x2}T
激励向量 F(t) ={F1(t)，F2(t)}T
两自由度系统的运动微分方程：
Mx Cx Kx F
5.1 两自由度系统的模态
➢ 双质量弹簧系统的自由振动
略去激励力及其它阻尼。
2、多自由度系统
❖描述系统运动状态需多个广义坐标； ❖系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程 组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数） ❖数学求解需联立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解 耦），然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态分析。 ❖系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一 个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。 主振动是一种简谐振动。 ❖系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整 个系统具有确定的振动形态，称为主振型。
5.1 两自由度系统的运动微分方程
设 m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2 画出隔离体如图 (b)所示。
f1(t)
f2(t)
5.1 两自由度系统的运动微分方程
根据牛顿第二定律可以得到
mm21xx21
F1 F2
(t (t
) )
k1x1 k3 x2
c1x1 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) c3x2 k2 (x2 x1) c2 (x2 x1)
Байду номын сангаас
-k2
0
-k2
k2+k3 2m2
这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程
5.1 两自由度系统的模态
(K 2M)u 0
特征方程 K 2M 0
特征值
ω2
特征向量 u
i2
5.1 两自由度系统的模态
i2
5.1 两自由度系统的模态
5.2.3 系统的通解
K 2M 0
k1+k2 2m1
频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为
2 1, 2
ad 2
a d 2 (ad bc) 2
a K1 K2 m1
ad
a
d
2
bc
2
2
b K2 c K2
m1
m2
弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c， d的值都是正数
d K1 K2 m2
12 和 22 都是实根
5.1 两自由度系统的模态
✓研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振 动特性的基础。
5.1 两自由度系统的运动微分方程
例 4.1 图a)是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系 统，分别在m1，m2建立坐标系O1x1，O2x2以描述m1， m2的振动。坐标原点O1，O2分别取 m1，m2的静平衡 位置。两个坐标系的正向均向右。
5.1 两自由度系统的模态
5.1 两自由度系统的模态
5.1 两自由度系统的模态
mm21xx21
(c1 c2 )x1 c2 x2 c2 x1 (c2 c3 )x2
(k1 k2 )x1 k2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2
F1 (t ) F2 (t)
5.1 两自由度系统的运动微分方程
mm21xx21
(c1 c2 )x1 c2 x2 c2 x1 (c2 c3 )x2
➢固有振型
将特征值 12 和
22
分别代回方程组
(a 2 )u1 bu2 0 cu1 (d 2 )u2
0
任一式
v1
， 。 v2
u (1) 2
u (1) 1
u(2) 2
u(2) 1
a 12
b
a
2 2
b
c
d 12
c
d 22
对应于
12
和
2 2
振幅A1和A2
之间有两个确定的比值
A(2) 2
cos(2t
2)
v2
A(2) 1
cos
2t 2
系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位 置，以确定的频率和振型作简谐振动。
5.1 两自由度系统的模态
例1 试求图示两个自由度系 统振动的固有频率和主振型。 已知各弹簧的弹簧常量k1＝ k2＝k3＝k，物体的质量m1＝ m，m2＝2m。 解：（1）建立运动微分方程式
将初始条件（1）代入式，解得
x10
u (1) 1
cos(t
1)
u(2) 1
cos(t
2)
1
x20
u (1)
11
cos(t
1)
u(2)
21
cos(t
2)
0
x10
u1(1)1 sin(t
1)
u1(
2) 2
sin(t
2)
0
x20 u1(1)11 sin(t 1) u1(2) 22 sin(t 2 ) 0
-k2
0
-k2
k2+k3 2m2
为了书写简便，引入符号：
a K1 K2 b K2 c K2
m1
m1
m2
a 2 b
0
c d 2
d K2 K3 m2
4 (a d ) 2 (ad bc) 0
5.1 两自由度系统的模态
5.2.3 系统的通解
4 (a d ) 2 (ad bc) 0
0 0
质量矩阵
m
M
0
0 2m
（2）解频率方程，求ωi
刚度矩阵
2k k
K k
2k
系统的第一阶和第二阶固有频率为
将M和K代入频率方程，得
2k 2m
k
0
k 2k 2 2m
12
0.634
k m
22
2.366
k m
1
0.634k 0.796 k
m
m
(2k 2m)(2k 2 2m) k 2 0
c2
c2
c2
c3
阻尼影响系数
刚度矩阵
K
k1 k2
k2
k2 k2 k3
刚度影响系数
均是对称矩阵
5.1 两自由度系统的运动微分方程
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2 k2
k2 k2 k3
x1 x2
5.1 两自由度系统的运动微分方程
➢两个自由度的振动系统
✓工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统， 往往需要简化成多自由度系统；
✓两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是 模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一 般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等， 两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区 别，却有数学上求解比较简便的好处。
2
2.366k. 1.538 k
m
m
5.1 两自由度系统的模态
（3）求主振型
将12、22 分别代入，得
1
A(1) 2
A(1) 1
k11 12m11
k12
2k 12m
k
1 0.732
2
A(2) 2
A(2) 1
k11 22m11
k12
2k 22m
k
1 2.732
主振型为
u (1)
uu12((11))
1 0.732
u(2)
uu12((22))
1
2.732
节点
5.1 两自由度系统的模态
例2 在上题所示系统中，已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k，求 该系统对以下两组初始条件的响应：
（1）t＝0，x10＝1cm， x20 x10 x20; 0 （2） t＝0，x10＝1cm，x20 1cm, x10 x。20 0 解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为
第五章 多自由度系统的振动
两自由度系统的运动微分方程 两自由度系统的模态 两自由度系统的强迫振动 多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动
5.1 两自由度系统的运动微分方程
1、单自由度系统
❖描述系统运动状态只需一个广义坐标； ❖系统振动微分方程为一个二阶常微分方程； ❖数学求解一个二阶常微分方程。 ❖系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。
5.1 两自由度系统的运动微分方程
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2 k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t ) (t)
定义：系统的质量矩阵
M
m1
0
0
m2
质量影响系数
阻尼矩阵
C
c1 c2
uf
(t)
代入运动方程，两边左乘uT
uT Muf (t) uT Kuf (t) 0
即：
f (t) f (t)
uT Ku uT Mu
f (t)+ 2 f (t)=0
f (t) a cos(t ) x(t) ua cos(t )
对于正定系统，只能出现如上式x(t)的同步运动，称为主振动。 13
(k1 k2 )x1 k2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2
F1 (t ) F2 (t)
写成矩阵形式
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2 k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t ) (t)
5.1 两自由度系统的模态
➢ 主振动
系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动
第一阶主振动为
x(1) 1
u (1) 1
cos(1t
1)
x(1) 2
u (1) 2
cos(1t
1)
v1u1(1)
cos
1t 1
第二阶主振动为
x(2) 1
A(2) 1
cos(2t
2 )
x(2) 2
5.1 两自由度系统的模态
➢ 固有振型（主振型）
2 1, 2
a
d 2
a
d
2
b
c
2
v1 v2
A2(1) A1(1)
A2( 2 ) A1( 2 )
a 12
b
a
2 2
b
c
d 12
d
c
2 2
v1
1 b
a
d 2
a
d
2
bc
0
2
v2
1 b
a
d 2
a
2
d
2
bc
0
o说明系统以频率ω1振动时，质量与总是按同一个方向运动， 而以频率ω2振动时，则按相反方向运动。
u (1) 1
1, 2
u(2) 1
1, 2
1 0,
2 0
x1 (t )
1 2
cos 1t
1 2
cos 2t
1 2
cos
k1 t cos 3
m2
k t
m
(cm)
x2 (t)
1 2
cos 1t
1 2
cos 2t
1 2
cos
k t 1 cos 3 m2
k t
m
(cm)
这表明，其响应为频率ω1、ω2的两种主振动的线性组合。