高中数学_4.1.1 n次方根与分数指数幂教学课件设计

情境引入
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一 个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少 呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现 导致了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
1
c
1 c2＝2 (c>0)
合作探究
二、素养落地 通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂
的互化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养.
阅读与思考
从16世纪数学家斯蒂文尝试用分数指数 幂符号开始，历经17世纪牛顿用有理指数幂符 号表示根式，直到18世纪欧拉明确给出定义， 这一表示法才被人们普遍接受和应用。
阅读与思考
题型一 根式与指数幂的互化 角度1 分数指数幂化根式
【例2-1】用根式的形式表示下列各式（a>0）
3
(1) a 4
3
(2) a 5
角度2 根式化分数指数幂 【例2-2】 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式
(1) 3 x2 x 0
(3) p6 p5 p 0
(2) 5 m n 4 m n
a3
(4)
合作探究
①
2
4
②
2
9
4
③ 4 16
3
④ 3 1
3
⑤ 3 8
;
① 22
;
② (2)2
;
③ 3 33
;
④ 3 (3)3
;
⑤ 4 (1)4
试一试， 有规律吗？
; ; ; ; ;
根式的性质
性质1： (n a )n a
性质2：当n为奇数时, n a n a 当n为偶数时, n an | a | aa, a, a00
第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
主讲人：
学习目标
1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)
2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． (重点、难点) 4.了解分数指数幂的拓展过程，掌握分数指数幂的运算性质． (重点、难点)
总结:当根式的被开方数的指数 不能被根指数整除时,根式可以 写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
3
5 43 45 ;
2
3 a2 a 3 ;
1
b b2;
5
4 c5 c 4 .
3
43的5次方根是 4 5 ;
2
a2的3次方根是 a 3 ;
1
b的2次方根是 b 2
5
c5的4次方根是 c 4
[微思考]
1. 分数指数幂
m
an
可以理解为
m
个
a
相乘吗？
n
提示 分数指数幂是根式的一种新写法.
21
2. a 4 =a 2 ?
mp
m
当a 0时，a np a n (m, n, p N )
4.有理数指数幂的运算性质 记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘
(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). (2)拓展：aars＝ar－s(a>0，r，s∈Q).
2 2 的意义是什么？
课后作业：
1、课时作业27 2、阅读课本107-108页
一师一优课 一课一名师
Shandong Liaocheng No. 1 Middle SchooL
诚请指导 谢谢大家
聊城一中教研办公室监制
10
(25 )2 25 2 2 ;
12
34 3 3 ;
12
a4;
10
a5
结论:当根式的被开方数的指数 能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
类比
3
5 43 45 ;
2
3 a2 a 3 ;
1
b b2;
5
4 c5 c 4 .
注：其中a,b,c都大于0
【例1-1】 求下列各式的值：
(1) 3 83
(2) 102 (3) 4 3 4
(4) a b 2
【例 1-2】 求使等式 （a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的 取值范围.
合作探究
分数指数幂
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
210
3 312 4 a12 5 a10
结果表明:根式与分数指数幂是可以互化的.
综上,我们得到 正数的正分数指数幂
的意义.
概念解析
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
(a 0, m, n N,且n 1)
2.正数的负分数指数幂的意义：
a
m n
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N,且n 1)
3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
2.根式和分数指数幂的互化
m
a n n am
m
an
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N,且n 1)
3. 分数指数幂的运算性质 (1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). (2)拓展：aars＝ar－s(a>0，r，s∈Q).
a0
a
题型二 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例3】（1）
16
3 4
81
（2）计算下列各式（式中字母均是正数）
2 1 1 1 1 5 (2a 3b2 ) 6a2b3 3a6b6 ຫໍສະໝຸດ 总结提升一、归纳总结
1.根式的定义和性质
xn a
x n a; (当n是奇数)
x n a. (当n是偶数,且a＞0)
问题一 n次方根的概念
2 4
4 16
xn=a
3 8
5 32
a的n次方根的定义
一般地，如果__x_n=_a__，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
问题二 n次方根的概念
(1) 64的3次方根________; -32的5次方根___________. (2)9的2次方根________; 16的4次方根___________; -81的2次方根________. (3) 0的3次方根________; 0的2次方根___________.
任意实数 a的n次方根 一定存在吗？如果存在，有几个呢？
一：a的n次方根的定义
一般地，如果__x_n=__a_，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
①当n为奇数时, a的奇次方根只有1个,用n a 表示
②当n为偶数时, 正数的偶次方根有2个, 用 n a (a 0)表示
0的偶次方根是0 负数没有偶次方根
二：根式的概念
式子n a 叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被开方数
根指数
a n 被开
根式
方数
[微判断]
n
1.当 n 为偶数，a≥0 时， a≥0.( √ )
n
2.当 a≥0 时， a表示一个数.( √ )
3.实数 a 的 n 次方根有且只有一个.( × )
提示 当n为大于1的偶数时，实数a的n次方根有0或1或2个.