高考数学10年真题解析— 三角函数图象与性质

三角函数图象与性质
年份题号考点考查内容
2011课标理11三角函数性质三角函数的周期性、奇偶性、单调性
课标文11三角函数性质
三角公式、诱导公式、三角函数的性质及分析处理问题
能力．
2012课标理9三角函数性质三角函数的单调性
课标文9三角函数性质三角函数的对称轴等性质
2013卷2文16三角函数图像变换三角函数图像平移变换2014卷1文7三角函数图像本三角函数的周期性．
2015卷1理8
文8
三角函数图像已知三角函数图像求解析式及三角函数的单调性．
2016卷3理14三角函数图像变换两角和与差的三角公式及图像平移变换．卷1文6三角函数图像变换三角函数周期、三角函数的平移变换．卷2文3三角函数图像已知三角函数图像求解析式
卷3文14三角函数图像辅助角公式及三角函数平移变换．
2017卷1理9三角函数图像变换诱导公式、三角函数图像变换，化归与转化思想卷3理6三角函数性质三角函数周期、对称性、零点与单调性．
卷2文3三角函数性质三角函数周期性
2018
卷2理10三角函数性质辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．
卷
3
理15三角函数性质三角函数的零点、转化与化归思想与运算求解能力卷2
文10
三角函数性质
辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．
卷3文6
同角三角函数基本关系三角函数性质同角三角函数基本关系与三角函数的周期，运算求解能力与化归与转化思想．
2019
卷2理9
三角函数性质
含绝对值的三角函数的周期性与单调性，转化与化归思想．
卷3理12三角函数性质含绝对值的三角函数的周期性、单调性、极值与零点，转化与化归思想．
卷1文15三角函数性质诱导公式、三角函数的最值，转化与化归思想．卷2文8三角函数性质
三角函数的极值、周期等性质．2020
卷1
理7
三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性文7三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性卷3
理16三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性文12
三角函数图象及其性质
三角函数最值，三角函数图象的对称性
考点39三角函数性质
1．(2020全国Ⅲ文12理16)已知函数()1
sin sin f x x x
=+，则()
A ．()f x 的最小值为2
B ．()f x 的图像关于y 轴对称
C ．()f x 的图像关于直线x =π对称
D ．()f x 的图像关于直线2
x π=
对称【答案】D
【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D ．
【解析】sin x 可以为负，
所以A 错；()()()1
sin 0,,sin sin x x k k f x x f x x
π≠∴≠∈-=--=-Z Q Q ，()f x ∴关于原点对称；11
(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x
ππ-=--
≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2
x π
=
对称，故C 错，D 对，故选D ．2．(2019•新课标Ⅱ，理9)下列函数中，以2
π
为周期且在区间(
4π，2
π
单调递增的是()
A ．()|cos 2|f x x =
B ．()|sin 2|f x x =
C ．()cos ||
f x x =D ．()sin ||
f x x =【答案】A
【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项；()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项；()|sin 2|f x x =在
4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2
π
单调递增，可排除B ．故选A ．
3．(2019•新课标Ⅲ，理12)设函数()sin(0)5
f x x π
ωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：
①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,
)10
π
单调递增④ω的取值范围是12[5，29
)
10
其中所有正确结论的编号是()
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
【答案】D
【解析】当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，25
π
πω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+
< ，∴1229
510
ω<
，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,10π单调递增，则(2)102
ωππ
+<，即3ω<，
1229
510
ω<
，故③正确，故选D ．4．(2019•新课标Ⅱ，文8)若14x π=
，234
x π
=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω=)
A ．2
B ．
3
2
C ．1
D ．
12
【答案】A 【解析】14x π= ，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，322()44T ππππω
∴=-==，2ω∴=，故选A ．
5．(2018•新课标Ⅱ，理10)若()cos sin f x x x =-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是()
A ．
4
π
B ．
2
πC ．
34
πD ．π
【答案】A
【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π
=-=--=--，由ππk 22+-≤πππk x 22
4+≤-，k Z ∈，得ππππk x k 24
324+≤≤+-
，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3
]4π，由()f x 在[a -，]
a 是减函数，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤-≥-434π
πa a ，∴
4π≤a ，则a 的最大值是4π，故选A ．
6．(2018•新课标Ⅱ，文10)若()cos sin f x x x =-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是()
A ．
4
πB ．
2
πC ．
34
πD ．π
【答案】C
【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π
=-=--=--，由2
2422πππππ+≤-≤+-k x k ，k Z ∈，得4
3224ππππ+
≤≤+-
k x k ，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π
，由()f x 在[0，]a 是减函数，得4
3π≤
a ，则a 的最大值是34π
，故选C ．
7．(2018•新课标Ⅲ，文6)函数2tan ()1x
f x tan x
=+的最小正周期为(
)
A ．
4
πB ．
2
πC ．πD ．2π
【答案】C
【解析】函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x x tan x x x ===++的最小正周期为22
π
π=，
故选C ．
8．(2017新课标卷3，理6)设函数π
()cos()3
f x x =+，则下列结论错误的是()
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线8π
3
x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6
x =D ．()f x 在π
(,π)2
单调递减
【答案】D
【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上
先递减后递增，D 选项错误，故选D ．
9．(2017新课标卷2，文3)函数()
f x =π
s i n （2x +
）3
的最小正周期为
A ．4π
B ．2π
C ．
π
D ．
2
π
【答案】C
【解析】由题意22
T π
π=
=，故选C ．10．(2014新课标I ，文7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ，④4
2tan(π
-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．②④B ．①③④
C ．①②③
D ．①③
【答案】C
【解析】∵|2|cos x y ==cos 2x ，∴T =
22
π
=π；由|cos |x y =图像知其周期为π，由周期公式知，62cos(π+
=x y 为π，)42tan(π-=x y 为2
π
，故选C ．11．(2012全国新课标，理9)已知ω＞0，函数()f x =sin()4x πω+在(2
π
，π)单调递减，则ω的取值范围是()
A ．[12，5
4
]
B ．[
12，34
]C ．(0，
12
]D ．(0，2]
【答案】A
【解析】∵ω＞0，x ∈(
2π，π)，∴4x πω+∈(24ωππ+，4πωπ+)，∵()f x =sin()4x πω+在(2
π，π)
单调递减，∴(24ωππ+，4πωπ+)⊂(2π，32π)，∴2π≤24ωππ+且4πωπ+≤32π，解得12≤ω≤5
4
，故选A ．
12．(2012全国新课标，文9)已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54
π
是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=()(A)π
4
(B)π3
(C)π2
(D)3π4
【答案】A
【解析】由题设知，πω=544ππ-，
∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈)，∴ϕ=4
k π
π+(k Z ∈)，∵0ϕπ<<，∴ϕ=
4
π
，故选A ．13．(2011全国课标，理11)设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++(ω＞0，||ϕ＜2
π
)的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x (A)在(0，
2
π
)单调递减(B)在(
4π，34π)单调递减(C)在(0，2
π
)单调递增(D)在(
4π，34
π
)单调递增【答案】A
【解析】∵()f x +4x πωϕ+，由题意知
2πω=π且+4πϕ=2k ππ+，解得ω=2，ϕ=4
k π
π+，又
∵||ϕ＜
2π，∴ϕ=4π，∴()f x +)2x π2x ，当x ∈(0，2
π
)时，2x ∈(0，π)，故()f x 在(0，
2
π
)单调递减，故选A ．14．设函数()f x =sin(2cos(244
x x ππ
+++，则y =()f x (A)在(0，
2π)单调递增，其图像关于直线x =4π
对称(B)在(0，2π)单调递增，其图像关于直线x =2π
对称(C)在(0，2π)单调递减，其图像关于直线x =4π
对称(D)在(0，
2π)单调递减，其图像关于直线x =2
π
对称
【答案】D
【解析】()f x =sin(2cos(2)44x x ππ+++2
x π
+2x ，
∵2u x =在(0，2
π
)上是增函数，值域为(0,)π，y u =在(0,)π是减函数，∴()f x 在(0，
2
π
)是减函数，
又∵(4
f π
)4π⨯
=0，不是最值，()2f π2π
⨯）
=是最小值，∴()f x 图像关于直线x =
2
π
对称，故选D ．15．(2017天津)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(
)28f π=，()08
f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ
=B ．23ω=，12ϕ11π
=-C ．13ω=，24
ϕ11π=-D ．13ω=
，24
ϕ7π=【答案】A 【解析】由题意5π8x =
取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34
T
，所以3T π=或T π=，又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以22
3
T πω=
=，排除C 、D ；由5π(
)28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+，即212k πϕπ=+，令0k =，12
π
ϕ=．选A ．16．(2015四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是
A ．cos(22
y x π
=+
B ．sin(2)2
y x π=+
C ．sin 2cos 2y x x =+
D ．sin cos y x x
=+【答案】A
【解析】由cos(2sin 22
y x x π
=+
=-，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ．17．(2015安徽)已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+(Α，ω，ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23
x π=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A ．()()()
220f f f <-<B ．()()()
022f f f <<-
C ．()()()202f f f -<<
D ．()()()
202f f f <<-【答案】A
【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23
x π
=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=
-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=
，512
|(2)|66
πππ---=，|0|66ππ-
=，∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<
，2233πππ-<-<，2033
ππ
-<<，∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<，故选A ．18．(2011山东)若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω=A ．
2
3
B ．
32
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，
3
π
为函数()f x 的四分之一周期，故
243π
πω
=
，解得32
ω=．19．(2011安徽)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6
f x f π
≤对x R ∈恒成立，且
(()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣
⎦
C ．2,()63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦【答案】C
【解析】因为当x R ∈时，()|(|6
f x f π
≤恒成立，所以()sin(
)16
3f ππϕ=+=±，可得26
k πϕπ=+或526k πϕπ=-
，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2
f f π
πϕϕππϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-
，所以5()sin(26f x x π=-，由5222262
k x k πππ
ππ-+-+≤≤(k Z ∈)，得263
k x k ππ
ππ+
+
≤≤(k Z ∈)，故选C ．
20．(2019•新课标Ⅰ，文15)函数3()sin(23cos 2
f x x x π
=+-的最小值为．
【答案】4
-【解析】3()sin(23cos 2
f x x x π
=+
- 2cos 23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11≤≤-t ，2()231f t t t =--+ 的开口向上，对称轴3
4
t =-，在[1-，1]上先增后减，
故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-．21．(2018•新课标Ⅲ，理15)函数()cos(36
f x x π
=+在[0，]π的零点个数为．
【答案】3
【解析】()cos(3)06f x x π=+= ，362x k πππ∴+=+，k Z ∈，1
93
x k ππ∴=+，k Z ∈，当0k =时，9x π=
，当1k =时，49x π=，当2k =时，79x π=，当3k =时，10
9
x π=，[0x ∈ ，]π，9x π∴=
，或49x π=，或7
9
x π=，故零点的个数为3．22．(2018北京)设函数π()cos(0)6f x x ωω=->，若π
()()4
f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．【答案】
2
3
【解析】由于对任意的实数都有π()(4
f x f ≤成立，故当4x π=
时，函数()f x 有最大值，故(14
f π
=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )，又0ω>，∴min 2
3
ω=．23．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3
x π
=对称，则ϕ的值是．
【答案】π
6
-
【解析】由函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-
<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13
πϕ+=±，因为22ϕππ-
<<，所以27636πππϕ<+<，则232ππϕ+=，6
πϕ=-．
24．(2011安徽)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若
()()6
f x f π
≤对一切则x ∈R 恒成立，则
①11(
)012
f π
=②7(
)10f π＜()5
f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦
⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号)．
【答案】①③
【解析】()sin 2cos 2)f x a x b x x ϕ=+=
+(其中tan b
a
ϕ=
)，因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13
π
ϕ+=±，
可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6
f x x π
=+．
而1111(
012126
f πππ=⨯+=，所以①正确；
74717|(
)||||123030f πππ==，17|()||530
f ππ=，所以7|(
)||()|105
f f ππ
=，故②错；③明显正确；④错误：
由函数())6f x x π=
+和()6
f x x π
=+的图象(图略)可知，不存在经过点
(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．
25．(2017浙江)已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．
(Ⅰ)求2(
3
f π
的值；(Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
【解析】(Ⅰ)由2sin
32π=，21
cos 32
π=-，
2(
)
3
f π
223131(()2222=---⨯-得2(
)23
f π
=．
(Ⅱ)由2
2
cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(26
f x x x x π=-=-+
所以()f x 的最小正周期是π由正弦函数的性质得
3222262
k x k πππππ+++≤≤，k ∈Z 解得
263
k x k ππ
ππ++≤≤，k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[
,]63
k k ππ
ππ++(k ∈Z )．26．(2013北京)已知函数2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+
(1)求()f x 的最小正周期及最大值；(2)若(
,)2
π
απ∈，且2()2f α=，求α的值．
【解析】：(1)2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+
1cos 2sin 2cos 42x x x =+11
sin 4cos 422x x
=+2sin(424
x π
=
+所以，最小正周期242
T ππ
==当4242x k πππ+
=+(k Z ∈)，即216
k x ππ
=+(k Z ∈)时，max 2()2f x =．
(2)因为22()sin(4242f παα=
+=，所以sin(4)14
π
α+=，因为
2παπ<<，所以9174444
πππ
α<+<，所以5442ππα+
=，即916
π
α=．27．(2012广东)已知函数()2cos()6
f x x π
ω=+，(其中0ω>，x R ∈)的最小正周期为10π．(1)求ω的值；(2)设,[0,
2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516
(5)617
f βπ-=，求cos()αβ+的值．
【解析】(1)21
105
T π
πωω==⇔=．(2)56334(5)cos(sin ,cos 352555
f ππαααα+
=-⇔+=-⇔==516815(5)cos ,sin 6171717
f πβββ-
=⇔==．4831513
cos()cos cos sin sin 51751785
αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-．
28．(2018上海)设常数a R ∈，函数
2()sin 22cos f x a x x =+．
(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；
(2)若(14
f π
=
+，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即2
2
sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ，化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；
(2)2()sin(22cos (11444
π
ππ
=⨯+=+=+f a a ，所以=a
故2()22cos =
+f x x x ．
则方程()1=f x 2
22cos 1+=x x ，
222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(26
π
+=x ，
即2sin(2)62π+
=-x ，解得1124ππ=-+x k 或524
π
π'=-+x k ，,'∈Z
k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,2424∈-k ，1929
[,]2424
'∈-k ，即0=k 或1；0'=k 或1，对应的x 的值分别为：1124π-
、1324π、524π-、19
24
π．考点40三角函数图像
1．(2020全国Ⅰ文理7)设函数()cos π6f x x ω=+⎛
⎫
⎪⎝
⎭
在[],-ππ的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为
(
)
A ．
10π9
B ．
7π6
C ．
4π3
D ．
3π2
【答案】C
【思路导引】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-
⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
是
函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962
πππω-⋅+=-，即可求得3
2ω=，再利用三角函
数周期公式即可得解．
【解析】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-
⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 09
6π
πω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，
又4,09π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点，∴4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=，∴函
数()f x 的最小正周期为
224332
T πππ
ω=
==，故选C ．2．(2020浙江4)函数cos sin y x x x =+在区间[],-ππ的图像大致为(
)
A ．
B ．
C ．
D
．
【答案】A
【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．【解析】()()()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=--+-=-+=-，[],x ππ∈-，
∴函数是奇函数，故排除C ，D ，当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos sin 0x x x +>，∴排除B ，故选A ．3．(2020山东10)右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()=x ωϕ+(
)
A ．π
sin()
3x +B ．π
sin(2)
3x -C ．π
cos(2)
6
x +D ．5π
cos(
2)6
x -【答案】BC
【思路导引】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．
【解析】由函数图像可知：
22362T ππ
π=-=，则222T ππωπ
===，所以不选A ，当2536212
x π
ππ+
==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而5cos 2cos(2)66
x x ππ⎛
⎫+
=-- ⎪⎝
⎭，故选BC ．4．(2016全国新课标卷2，文3)函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则
(A)2sin(2)
6y x π
=-(B)2sin(2)
3y x π
=-(C)2sin(+)
6
y x π
=(D)2sin(+)
3
y x π
=【答案】A
5．(2015新课标Ⅰ，理8)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为()
(A)(kπ−1
4
，kπ+3
4
，)，k ∈ (B)(2kπ−14
，2kπ+3
4
)，k ∈ (C)(k −14
，k +3
4
)，k ∈
(D)(2k −1
4
，2k +3
4
)，k ∈
【答案】D
【解析】由五点作图知，1
+42
53+42
πωϕπ
ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令
22,4k x k k Z πππππ<+
<+∈，
解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为(124k -，324
k +)，k Z ∈，故选D ．
6．(2011辽宁)已知函数)(x f =A tan(ωx +ϕ)(2||,0πϕω<
>)，y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24
(π
f A ．3
B 3
C ．
33
D ．23
-【答案】B
【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8
π
，所以30tan(2)8A πϕ=⨯
+，即34k πϕπ+=()k Z ∈，所以3()4k k Z πϕπ=-∈，
又||2πϕ<，所以4
π
ϕ=，又图象过定点(0,1)，所以1A =．综上可知()tan(2)4
f x x π
=+
，故有(
tan(2)tan
242443
f ππππ
=⨯+==7．(2014江苏)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3
π
的交点，则ϕ的值是．
【答案】
6
π【解析】由题意交点为1(
,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6
πϕ=．8．(2011江苏)函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则
(0)f =
．
【答案】
6
2
【解析】由图可知：A =，
741234T πππ=-=，所以T π=，22T πω==，又函数图象经过点(,0)3
π，
所以23πϕπ⨯
+=，则3πϕ=，故())3
f x x π
=+，所以6(0)32f π==
．9．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y
轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．
(1)若6
π
ϕ=
，点P 的坐标为(0，332)，则ω=
；
(2)若在曲线段
ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为．
【答案】(1)3；(2)
4
π
【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6
π
ϕ=
，点P 的坐标为(0，332)时33cos ,362πωω=
∴=；10．(2016江苏省)定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点
个数是．
【答案】7
【解析】画出函数图象草图，共7个交点．
11．(2012湖南)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(,x R ∈0ω>，0)2
π
ϕ<<
的部分图像如图所示．(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)求函数()(()1212
g x f x f x ππ
=-
-+的单调递增区间．
【解析】(Ⅰ)由题设图像知，周期11522(),21212T T
πππ
πω=-=∴==．因为点5(
,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126
A ππ
ϕϕ⨯+=+=即．又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<
∴<+<+ 从而，即=6
π
ϕ．又点0,1（）在函数图像上，所以sin
1,26
A A π
==，故函数()f x 的解析式为()2sin(26
f x x π=+(Ⅱ)()2sin[2()2sin[2()]126126
g x x x ππππ
=-
+-++2sin 22sin(23
x x π
=-+13
2sin 22(sin 2cos 2)
22x x x =-+sin 232x x =-2sin(23
x π
=-由222,232k x k πππππ-
≤-≤+得5,.1212
k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦考点41三角函数图像变换
1．(2020天津8)已知函数()sin 3f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的最大值；
③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3
π
个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】B
【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．【解析】因为()sin()3f x x π=+
，所以周期22T ππω
==，故①正确；51()sin()sin 122362
f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移
3π
个单位长度，得到sin(3
y x π=+的图象，故③正确．故选B ．2．(2017课标卷1，理9)已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则下面结论正确的是()
A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2
C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2
C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2
C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2C 【答案】D
【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用
诱导公式处理，πππcos cos sin 222⎛⎫⎛
⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即
112
πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛
⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x ，注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至
π3+
x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π
12
．
3．(2016•新课标Ⅰ，文6)将函数2sin(26y x π=+的图象向右平移1
4
个周期后，所得图象对应的函数为()A ．2sin(2)4y x π
=+B ．2sin(2)3y x π=+C ．2sin(2)4
y x π=-D ．2sin(23
y x π=-
【答案】D
【解析】函数2sin(26y x π=+
的周期为22T ππ==，由题意即为函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移4
π个单位，可得图象对应的函数为2sin[2()]46y x ππ=-+，即有2sin(2)3
y x π
=-，故选D ．4．(2016北京)将函数sin(23y x π=-
图像上的点(,)4
P t π
向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．
若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12
t =，s 的最小值为
6π
B ．32t =，s 的最小值为6π
C ．12t =，s 的最小值为3
π
D ．32t =
，s 的最小值为3
π【答案】A 【解析】因为点(
,)4P t π
在函数sin(23y x π=-的图象上，所以sin(2)43
t ππ=⨯-=1sin 62
π=，又1(,42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π
=-，则
2(
)246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+
，k Z ∈，得6
s k π
π=-+或6s k ππ=--
，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6
π
，故选A ．5．(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，
且π4g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭，则3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
A ．2-
B ．
C
D ．2
【答案】C
【解析】因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=．将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长
到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫=
⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212
ωπ=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =．若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2sin 2442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即2A =，所以()2sin 2f x x =，
3322sin 22sin 228842f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭C ．6．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-
的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移
12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移
3π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】B
【解析】sin 4(12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12
π个单位，故选B ．7．(2014浙江)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2y x =的图像
A ．向右平移12π个单位
B ．向右平移4π个单位
C ．向左平移
12π个单位D ．向左平移4π个单位【答案】A 【解析】因为sin 3cos32)2)412y x x x x ππ=+=
-=-，所以将函数2y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到24
y x π=-的图象，故选A ．8．(2013福建)将函数)2
2)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点2
3,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35π
B ．65π
C ．2π
D ．6
π
【答案】B
【解析】把23,
0(P 代入22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6
ππϕ-=k ，故选B 9．(2012安徽)要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位
C ．向左平移
12个单位D ．向右平移12个单位【答案】C
【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2(cos(21)2
y x x =+=+，故选C ．10．(2012浙江)把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平
移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
【答案】A
【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．
11．(2012天津)将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移
4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是
A ．1
3B ．1C ．5
3D ．2
【答案】D 【解析】函数向右平移4π得到函数4
sin(4(sin 4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0443(sin =-ππω，即,2
)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．
12．(2020江苏10)将函数3sin(24y x π=+的图象向右平移6
π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近
的对称轴的方程是
．【答案】524
x π
=-【解析】∵()3sin(24f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6
π个单位长度得()()3sin(2)3sin(263412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，∴平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524
x π=-．
13．(2016新课标卷3，理14)函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3
2π
【解析】因为sin 2sin(3y x x x π=+=+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[(]
33
x π2π+-，所以函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移3
2π个单位长度得到．
14．(2016全国新课标卷3，文14)函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平
移_____________个单位长度得到．【答案】3
π
【解析】因为sin 2sin()3y x x x π=-=-
，所以函数sin y x x =-的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3
π个单位长度得到．
15．(2013新课标Ⅱ，文16)函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右单位后，与函数的图象重合，则ϕ=_________．
【解析】因为cos(2)y x ϕ=+=cos(2)x ϕ--=
16．(2014重庆)将函数()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛6πf ______．【答案】22
【解析】把函数sin y x =图象向左平移6
π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin(26
f x x π=+的
图象，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf 1sin()sin 26642πππ⨯+==．。