高三数学一元二次方程、解不等式、根的分布知识精讲

一元二次方程、解不等式、根的分布
例1：解下列方程： （1）26540x x --= （2）22460x x +-=
（3）22(1)(2)0x k x k k -+++=
（4）2(2)20ax a x -++=（注意：对参数a 要分类讨论） 例2：解不等式： （1）23140x x --> （2）(2)(23)3x x -+≤ （3）22|1|50x x ---≥ （4）2(1)0x x a a --->
解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x
若)1(-->a a 即21
>
a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21
若)1(--<a a 即2
1
<a 则a x <或a x ->1
例3：关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}2
1
2|{->-<x x x 或
求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设0<a 且25-=-
a b ， 1=a
c
从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-a
c
x a b x 即：01252<+-
x x ∴22
1
<<x 例4：关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。

解：当a >0时不合； 当a =0也不合
∴必有：⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<0
1230
0)1(4)1(022
a a a a a a a 310
)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a
例5：若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

解：显然k =0时满足 而k <0时不满足
2
01364(8)0k k k k k >⎧⇒<≤⎨∆=-+≤⎩ ∴k 的取值范围是[0,1]
例6：设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥-<<-+-≤+)1(11
)11(22)1()1(2x x
x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(－
21
，+∞) B.(－
21，2
1) C.(－∞，－2)∪(－2
1
，1)
D.(－2，－2
1
)∪(1，+∞)
例7：设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围。

命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.
错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.
技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.
解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.
设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =
∅［1，4］
(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1}［1，4］；当a =2时，m ={2}⊆［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，
M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4(1)0,(4)014,0
f f a ≥≥⎧⇔⎨≤≤∆>⎩且且
即⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>-<>>->+-2
10
71803a a a a a 或，解得：2＜a ≤718，
∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，7
18
］.
课后作业：
1．设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ） A ．P Q
B ．Q P
C ．P =Q
D ．P ∩Q =Q
解：Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立，对m 分类： ①m =0时，－4＜0恒成立；
②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0。

综合①②知m ≤0， ∴Q ={m ∈R |m ≤0}。

答案为A 。

2．解不等式log a (1－
x
1
)＞1 解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a x
x
11011
由此得1－a ＞
x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a
-11
＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a x
x
11011
① ②
由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜
a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a
-11
＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜
a
-11}.
3．解关于x 的不等式：(x-x 2+12)(x+a)<0.
4．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________。

解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2
－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨
⎧≤≥-0
)1(0
)1(f f 解得a ∈［－2，2］.
答案：［－2，2］
5. 若不等式210x ax ≥＋＋
对于一切1
(0,)2
x ∈成立，则a 的取值范围.
6．已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；
(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.
解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )
(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，
当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0
(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.
此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－4
25，显然此函数在［－1，1］上递增.
∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.
7．设f(x)=3ax 22.0bx c a b c ++++=若,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a ＞0且-2＜
b
a
＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
证明：（1）因为(0)0f >，(1)0f >，
所以0c >，320a b c ++>．
由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；
由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>． 故21b
a
-<
<-． （2）抛物线2
()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2333b ac b a
a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，．
故21b a -<
<-的两边乘以13-，得12
333
b a <-<． 又因为(0)0f >，(1)0f >，
而22
033b a c ac f a a +-⎛⎫-=
< ⎪⎝⎭
， 所以方程()0f x =在区间03b a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，与13b a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
内分别有一实根，故方程()0f x =在(01)，内有两个实根．
8．已知集合
{}
2540A x x x =-+|≤，
{}
2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
解：
{}{}
2|540|14A x x x x x =-+=≤≤≤．
设
2
()22f x x ax a =-++，它的图象是一条开口向上的抛物线． （1）若
B φ
=，满足条件，此时0∆<，即
2
44(2)0a a -+<， 解得12a -<<；
（2）若B φ≠，设抛物线与x 轴交点的横坐标为12x x ，， 且12x x ≤，欲使B A ⊆，应有
{}1
2
x x x x |≤≤{}14x x ⊆|≤≤，
结合二次函数的图象，得(1)0(4)021420f f a ⎧⎪
⎪⎪⎨--⎪
⎪
⎪∆⎩，
，，，≥≥≤≤≥
即2
2122048201444(2)0a a a a a a a ⎧-++⎪-++⎪⎨
⎪⎪-+⎩，，，，
≥≥≤≤≥ 解得18
27a ≤≤． 综上可知a 的取值范围是
181
7⎛⎤
- ⎥⎝⎦，． 点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论
思想的应用，分类时做到不遗漏。

解不等式
1232≤---a
x a
x ,(0>a )
分析：利用绝对值不等式与分式不等式的基本解法进行求解。

解： 原不等式等价于2321,232 1.x a
x a
x a x a --⎧≤⎪⎪-⎨--⎪≥-⎪-⎩
移项，通分得 (3)
03[(1)]0x a x a
x a x a -+⎧≤⎪⎪-⎨-+⎪≥⎪-⎩
①②
由已知0>a ，
所以解①得 3+≤<a x a ； 解②得 1+≥a x 或a x <
故原不等式的解集为}31|{+≤≤+a x a x
已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452<+-x ax 恒成立，求x
分析：是已知参数的范围,解不等式问题.由于给出了参数a 的范围,我们可以把已知不等式改写为以a 为主变量的不等式
解： 变为 0452<+-x a x 记()=a g 452+-x a x ,[]1,9-∈a
由于()a g 是关于a 的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在x 轴的下方,于是, 关于x 的不等式 0452<+-x ax 的解等价于
()()⎩⎨⎧<+--=-<+-=.
04599,
04512
2x x g x x g 解得 ⎪⎩
⎪
⎨
⎧>-<<<941,41x x x 或 于是 41<<x .
注：在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。

作业布置：
1. 解关于x 的不等式： （1）()()2
120x x
x a -++<；
［思路］①将二次项系数化“+”为：(x 2
-x-12)(x+a)>0，
②相应方程的根为：-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？
③要用串根法解此不等式，需将这三个根按从小到大的顺序在数轴上排列。

因此要分类讨论它们的大小。

［解题］ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}.
ⅱ当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或x>4}.
ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.
ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| x>-3}.
ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：
∴原不等式的解集为{x| x>4}.
（2）1
log (1)1a x
－＞；
解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a x
x
11011
由此得1－a ＞
x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a
-11
＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a x
x
11011
由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜
a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a
-11
＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜
a
-11}.
（3）2x +≥；
（4）(0x -≥；
（5）2
102
132
x x x x +≥+++； ［思路］1）可将分式不等式移项通分化为
)x (g )x (f >0(或)
x (g )
x (f <0)的形式，转化为：)0
)(0
)()((0)(0)()(⎩⎨⎧≠<⎩⎨
⎧≠>x g x g x f x g x g x f 或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . 2）（序轴标根法）作数轴、标根、画曲线、定解，
［解题］
2
32
102
+++x x x ≥x+1 ⇔
)
2)(1()
1)(5(++-+⋅x x x x x ≤0
⇔x ·(x －1)(x+1)(x+2)(x+5)≤0，且x ≠－1、－2，由图可知，原不等式的解集为：
① ②
{x|x ≤－5或－2＜x ＜－1或0≤x ≤1}
［收获］（1）在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的序轴标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式；
（2）序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内x 的系数为正。

（3）若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根。

.
（6）
2210ax x -+>。

2．已知12,x x 为方程2
3450x x +-=的两根，求：
（1）2221x x +；（2）12||x x -。

(用韦达定理)（略）
3. 若不等式2
10x ax ++≥对于一切1
(0,)2
x ∈成立，求a 的取值范围。

4．已知关于x 的方程2
sin 2cos 0x x a ++=有解，求a 的取值范围。

解析 原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根 令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，
画图象分析可得⎩
⎨⎧≤≥-0)1(0
)1(f f 解得a ∈［－2，2］
补充：不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题
如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢? 它的操作程序如下： 1.恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于
A ,
若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于
B .
2. 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,
若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .
3. 恰成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D . 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D , 例9：(2005年春考，北京卷，理14)
若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围
是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．
分析及解：第一个填空是不等式恒成立的问题,设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即
(),04
42
min >+-=a a x f 解得04<<-a
第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3mi n -≤⇔x f ,即(),34
42
min -≤+-=a a x f 解得6-≤x 或2≥x .
不等式2
313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(,1][4,)-∞-+∞
B ．(,2][5,)-∞-+∞
C ．[1,2]
D ．(,1][2,)-∞+∞
求实数m 的范围，使]49)1(2lg[2++++=m x m mx y 对任意R x ∈恒有意义。