21-22版：2.2.2 第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)(步步高)

第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)

一、弦长问题

例1 已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－1

2.

(1)试求动点P 的轨迹方程C ；

(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝42

3

时，求直线l 的方程. 考点 题点

解 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )， 由题意得k P A ·k PB ＝－1

2

.

∴y x ＋2·y x －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2

＝1.

故P 点的轨迹方程C 是x 22

＋y 2

＝1(x ≠±2)．

(2)设直线l 与曲线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝2，

得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0. Δ＝16k 2－4(1＋2k 2)＝8k 2－4>0， ∴x 1＋x 2＝－4k

1＋2k 2，x 1·x 2

＝0.

|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝42

3，

整理得k 4＋k 2－2＝0，解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意． ∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 反思感悟 求弦长的两种方法

(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．

(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2⎝

⎛⎭

⎫或|P 1P 2|)＝

1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上

述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．

跟踪训练1 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2

＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求

弦AB 的长． 考点 题点

解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴F (3，0)，∴直线l 的方程为y ＝x －3，

将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝8

5，

∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(83)2－4×5×85＝8

5.

二、中点弦问题

例2 已知椭圆x 216＋y 2

4＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．

考点 题点

解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，

得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )

4k 2＋1.

又M 为线段AB 的中点，

∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.

故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.

∵M (2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，

则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 2

2＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，

于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，

即k AB ＝－1

2

.

故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)

设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )． ∵A ，B 两点都在椭圆上，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ② ①－②，得x ＋2y －4＝0.

即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 反思感悟 解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．

②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)

上的两个不同的点，M (x 0

，y 0

)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧

x 21a 2＋y 21

b

2＝1， ①x 22a 2

＋y

22b 2

＝1， ②

由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0

a 2y 0.

跟踪训练2 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B

两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )