河北省深州市长江中学2020届高三数学12月月考试题理[含答案]

）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 正三角形 ABC 中,D 是线段 BC 上的点,AB=6, BD=2,则 AB AD （
）
A.12
B. 18
C. 24
D. 30
6. 在下列给出的四个结论中,正确的结论是( )
A. 已知函数 f (x) 在区间 (a, b) 内有零点,则 f (a) f (b) 0
所以 2－2a＝－(2－2a)，所以 a＝1.
3. A
【解析】：利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（ 1 ）lnx＞（ 1 ）0＝1，
2
2
0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c 的大小关系为 b＞c＞a．故选：A．
4.B
【解析】 函数
在区间
上单调递减,
19.已知向量a (
2,
2 cos 2(x )),b (
2 ,
2
), 其中
0,0
,函数f
(x)
a
b
22
2
的图像过点B(1，2),点B与其相邻的最高点的距 离为4.
(1)求函数f (x)的单调递减区间；
(2)计算f (1) f (2) ... f (2019)的值.
20.如图，有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD.在点 A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠ PAQ 始终为 45°(其中点 P，Q 分别在边 BC，CD 上)，设 BP＝t（百米）． (1)用 t 表示出 PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长 L 是否为定值； (2)设探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积为 S(平方百米)， 求 S 的最大值.
an 22n1 ............................................................4 分
（2）由（1）可得： bn log2 22n1 2n 1.................................6 分
1 bnbn1
2n
1
1 2
ln
x
，c＝
eln
x
,则
a，b，c
的大小关系为（
）
A．b＞c＞a
B．c＞b ＞a
C．a＞b＞c
D．b＞a＞c
4.记 函 数 f ( x ) x 2 2 ax 3在 区 间 （- ，-3]上 单 调 递 减 时 a的 取 值 集 合 为 A， 不 等 式
x
1 x2
a(x
2)恒 成 立 时 实 数 a的 取 值 集 合 为 B， 则 "x A"是 "x B"的 （
_______ .
6
3
3
14.设函数f (x) x3 (a 2)x2 2x,若f (x)为奇函数，则曲线y=f (x)在点（1,3）处的切线
方程为________.
15.已
知
a，
b的
夹
角
为
,且
a
1,
2a
b
10,则 b ______ .
4
2
16. 将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有112, 2 6, 3 4 三种，其中 3×4 是这三种分解中两数 差 的绝对值最小的，我们称 3×4 为 12 的最佳分解.当 p q( p q且p, q N ) 是正整数 n 的最佳分
本不等式求最值.
因为
所以定义域为 ，
因为
，所以 为减函数
，最后根据基
因为 因为 所以
， ，所以
，因为
,所以 ，即 ，
为奇函数， ，
所以
（当且仅当 ， 时，等号成立）
12.D
【解析】：令
,则
在定义域 R 上是增函数,且
,
,
令
,则
,即
,又
,且
,故选 D．
二、填空题
13. 3 3
【解析】： ∵ ＋α＋ －α＝ ，∴ －α＝ － .
4
高三数学(理科）答案 一、选择题 1. A 【解析】：∵集合 A={x|x＜1}， B={x|3x＜1}={x|x＜0}， ∴A∩B={x|x＜0}，所以 A 正确，D 错误，A∪B={x|x＜1}，所以 B 和 C 都错误。 2. B 【解析】：由题意得 f(－x)＝－f(x)，
则
＝
＝－
，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
3
2
3
9.已知函数f ( x) aln x 1 ( x 2) 2 在[1,+ )上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） 2
A.[1, )
B.(1, )
C.(, 1)
D.(, 1]
10.已知函数f ( x) 3 2 sin x cos x 2 3 cos2 x( 0)在区间（0，）内有且只有一个 极值点，则的取值范围为（ ）
得
,所以
．
又 9.D 【解析】：
,得 ．所以 ．故选 B．
在
上是减函数,
在
恒成立,
10. C
,
,
,故选：D．
6
【解析】： 函数
,
由于
,所以
,
根据函数的图象得知： 在区间 内有且只有一个极值点,
根据函数的单调性,所以
且 ,所以
,故选：C．．
11. C
【解析】：先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得
A.(0, 5 ] 12
B.(0, 11] 12
C.( 5 , 11] 12 12
D.[ 5 , 11] 12 12
11.已知函数f ( x) log2 (
x2 1 x)，若对任意的正数a、b,满足f(a)+f(3b-1)=0则 3 1 的 ab
最小值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．24
12.定义在R上的可导函数f ( x)满足f (1) 1, 且2 f ' ( x) 1,当x [ , 3 ]时，不等式f (2 cos x) 2 sin 2 x 3
2 ① 求 方 程 f ( x) 2的 根 ； ② 若 对 x R, 不 等 式 f (2 x) mf ( x) 6恒 成 立 ， 求 实 数 m的 最 大 值 ； （2） 若 0 a 1, b 1,函 数 g ( x) f ( x) 2有 且 只 有1个 零 点 ， 求 ab的 值.
,即
, 不等式
恒成立等价于
,又 当 时,
,
,
当且仅当
时即 时等号成立,符合条件,
，
,即
,​
,
“ ”是“ 5. D
”是的充分不必要条件,故选 B．
5
【解析】：先用
表示出 ，再计算数量积．
因为
，
，则
,
,
所以
6. C
【解析】： 已知函数 在区间 内有零点,没有强调 是否单调,所以
数,可以是负数,也可能是 0,故 A 错误 ；
B
3 39 26
,sin C
2 39 13
,................11
分
sin B sin C 9 .......................................................12 分 13
19. 【答案】（1）[4k 1, 4k 3]， k Z ；（2）2019；
B. 若 a b 1, 则 3是 3a 和 3b的 等 比 中 项
C. 若 e1 , e2是 不 共 线 的 向 量 ， 且 m e1 2e2 , n 3e1 6e2 , 则 m / / n
D. 已知角 终边经过点 (3,-4),则 cos 4 5
1
7.等比数列an 的各项均为正数，已知向量 a (a4 , a5 ), b (a7 , a6 ), 且a b 4,
所以原式整理为 2 cos2 A 3cos A 2 0 ,
解得： cos A 2 （舍）或 cos A 1 ........................................3 分 2
0 A , A ;.....................................................5 分 3
an 2 n 1
是以2为首项，2为公比的等比数列，
（1）求数列an 的通项公式；
（2）若bn
log 2
an (n
N
),
求数列
1 bnbn
1
的前
n项和
Tn
.
18.在ABC中，A, B,C的对边分别为a,b, c,已知cos2A 3cos(B C) 1 (1)求A的值； (2)若ABC的面积为3 3，b 3，求sinB sin 知集合 A＝{x|x ＜1}，B＝{x| 3x ＜1}，则（
）
A.A B x|x<0
B.A B R C.A B x | x 1
D.A B
x
2. 若函数 f( x)＝ 2x 1 2x a 为奇函数，则 a 等于( )
1
A.2
B． 1
C．
2
1
D． －
2
3
.若
x∈（0，1），a＝lnx，b＝
当 n 为偶数时，
当 n 为奇数时，
S2020
4(50
51
...
51009 )
4
1 51010 15
51010
1
三、解答题
17.
【答案】(1) an
22n1；(2) Tn
n 2n 1
【详解】（1）由等比数列通项公式得：
an 2n1
2 2n1
2n .......................................................2 分
22
22
的解集为（ ）
A.(
，4
)
33
B .( ，4 ) 33
C.(0， ) 3
D.( ， ) 33
第 II 卷 二、填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分,共 20 分,其中第 16 题第一空 2 分,第二空 3 分,请将正确 的答案填在横线上）
13.已
知
sin(
)
3
,
则
cos(
)
1 2n
1
1 2
1 2n 1
1 2n 1
.............................8
分
Tn
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
n 2n 1
..........10
分
8
18. 【答案】 （1） （2） 9
3
13
【详解】
（1） A B C ，cos B C cos A ，...............1 分
解时我们定义
函数f (n) q p, 例如f (12) 4 3 1.则f (88)的值为_______，数列 f (5n )（n N )
的 前 2020项 和 为 _______.
三、解答题（第 17 题 10 分，第 18 题至 22 题每题 12 分，共计 70 分）
17.已知数列
河北省深州市长江中学 2020 届高三数学 12 月月考试题 理
本试卷分为第 I 卷和第 II 卷，试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】
第I卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
log 2 a1 log 2 a2 ... log 2 a10 (
)
A. 12
B. 10
C. 5
D.2 log2 5
8.在 ABC中，内角A, B, C所对边分别是a、b、c,若csinC=acosB+bcosA,且 b2 c2 a2 3bc, 则角B的大小（ ）
2
A.
B.
C.
D.
6
3
21.已知数列an 满足a1
2, an
an1
n a n 1
2(n
1)an , 设bn
n an
.
(1)求证：数列bn 1 为等比数列，并求 an的通项公式.
(2)设cn
1 bn
,数列cn的前n项和为Sn ,求证：Sn
n
2.
22.已 知 函 数 f ( x) a x +b x (a 0, b 0, a 1, b 1) (1)当 a 2, b 1 时,
∴cos ＝cos
＝sin ＝ .
14. 5x-y-2=0
7
【解析】：
函数
，若 为奇函数，可得 ，所以函数
，
可得
，
；曲线
在点 处的切线的斜率为 5,
则曲线
在点 处的切线方程为：
．即 5x-y-2=0
15.3 2
【解析】：∵
，∴
，
∴
，
∴
，解得： = ，
16. 3；51010-1 【解析】：88=11×8=2×44=1×88=4×22，可得 f（88）=11-8=3；
B.若 3 是 与 的等比中项,则
,
C. m e1 2e2, n 3e1 6e2 ,则
,故 B 错误； ,所以
D.已知角 终边经过点
,则
,故 D 错误．故选 C．
7.【答案】C
【解析】解：向量
,
,且
,
的值可能是 正 ,故 C 正确；
,
由等比数列的性质可得：
,
则
．
故选：C． 8.B 【解析】：由正弦定理得
（2） S 1 bc sin A 1 3c 3 3 3 ，解得 c 4 ，.......................7 分
2
2
2
根据余弦定理
a2
b2
c2
2bc cos
A
9
16
2 3 4
1 2
13
a
13 ......9 分
a sin A
b sin B
c sin C
，代入解得： sin