宁夏石嘴山市平罗中学重点班2022届高三上学期第一次月考数学试题(理科) Word版含解析

2021-2022学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）
1．sin600°的值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设集合A={x|}，B={x|lgx＞0}，则A∪B=（）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．∅D．{x|﹣1＜x＜1或x＞1}
3．设扇形的半径长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A ．B．4 C ．D．6
5．下列命题正确的个数是（）
A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；
B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；
C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；
D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若函数f（x）=是奇函数，则实数a的值是（）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
7．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知f（x）是偶函数，它在是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）
13．已知定义在R上的函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，则f（1）﹣f′（1）= ．
14．已知：sinθ+cosθ=（＜θ＜π），则tanθ=．
15．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．
16．已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈时，f（x）=x2，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题（解答要有必要的文字说明或演算过程，否则不得分．共70分）
17．（10分）（2021秋•石嘴山校级月考）（1）已知tan（3π+α）=3，试求
的值．
（2）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），求sinαcosα+cos2α﹣sin2α+1的值．
18．（12分）（2021春•淄博校级期末）已知p：x2+4mx+1=0有两个不等的负数根，q：函数f（x）=﹣（m2﹣m+1）x在（﹣∞，+∞）上是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
19．（12分）（2021秋•石嘴山校级月考）已知函数f（x）=x﹣klnx，常数k＞0．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=xf（x）在区间（1，2）上是增函数，求k的取值范围．
20．（12分）（2022春•南安市校级期末）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且
（1）确定函数f（x）的解析式
（2）若函数f（x）在（﹣1，1）是单调递增函数，求解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．（12分）（2021秋•石嘴山校级月考）某地区有100户农夫，都从事水产养殖．据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府打算动员部分农夫从事水产加工．据估量，假如能动员x（x＞0）户农夫从事水产加工，那么剩下的连续从事水产养殖的农夫平均每户的年收入有望提高2x%，而从事水产加工的农夫平均每户的年收入将为万元．
（1）在动员x户农夫从事水产加工后，要使从事水产养殖的农夫的总年收入不低于动员前从事水产养殖的农夫的总年收入，求x的取值范围；
（2）若0＜x≤25，要使这100户农夫中从事水产加工的农夫的总年收入始终不高于从事水产养殖的农夫的总年收入，求a的最大值．
22．（12分）（2021•汕头模拟）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，争辩f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m 的取值范围．
2021-2022学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．每小题只有唯一正确答案.）
1．sin600°的值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题．
分析：把原式的角度600°变形为2×360°﹣120°，然后利用诱导公式化简，再把120°变为180°﹣60°，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．
解答：解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）
=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）
=﹣sin60°=﹣．
故选D
点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，娴熟把握诱导公式是解本题的关键，同时留意角度的机敏变换．
2．设集合A={x|}，B={x|lgx＞0}，则A∪B=（）
A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．∅D．{x|﹣1＜x＜1或x＞1}
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的并集即可．
解答：解：由A中的不等式变形得：2﹣1＜2x＜2，即﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），
由lgx＞0=lg1，即x＞1，即B=（1，+∞），
则A∪B={x|﹣1＜x＜1或x＞1}．
故选D
点评：此题考查了并集及其运算，娴熟把握并集的定义是解本题的关键．
3．设扇形的半径长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点：弧度制的应用．
专题：三角函数的求值．
分析：设扇形的弧长为2，依据扇形的半径和面积，利用扇形面积公式列式算出l=4，再由弧度的定义加以计算，即可得到该扇形的圆心角的弧度数．
解答：解：设扇形的圆心角的弧度数是α，弧长为l，
∵扇形的半径长r=2cm，面积S=4cm2，
∴S=lr，即4=×l×2，解之得l=4，
因此，扇形圆心角的弧度数是α===2．
故选：C．
点评：本题给出扇形的半径和面积，求圆心角的大小．考查了扇形的面积公式和弧度制的定义等学问，属于基础题．
4．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A ．B．4 C ．D．6
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：计算题．
分析：利用定积分学问求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查同学分析问题解决问题的力量和意识，考查同学的转化与化归力量和运算力量，考查同学对定积分与导数的联系的生疏，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简洁应用问题．
5．下列命题正确的个数是（）
A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是真命题；
B．命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5则p是q的必要不充分条件；
C．“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”；
D．“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：命题的真假推断与应用．
专题：简易规律．
分析：A项依据正弦定理以及四种命题之间的关系即可推断；
B项依据必要不充分条件的概念即可推断该命题是否正确；
C项依据全称命题和存在性命题的否定的推断；
D项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论．
解答：解：对于A项“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题为“在△ABC中，若A＞B，则sinA ＞sinB”，
若A＞B，则a＞b，依据正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命题是真命题，∴A正确；
对于B项，由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；
若x+y≠5，则肯定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；
∴p是q的必要不充分条件，所以B正确；
对于C项，“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”；所以C不对．
对于D项，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．所以D正确．
故选：C．
点评：本题主要考查各种命题的真假推断，涉及的学问点较多，综合性较强．
6．若函数f（x）=是奇函数，则实数a的值是（）
A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：不妨设x＜0，则﹣x＞0，依据所给的函数解析式求得f（x）=﹣x2+ax，而由已知可得 f（﹣x）=x2+5x，结合奇函数中f（﹣x）=﹣f（x），可得答案．
解答：解：当x＜0时，﹣x＞0，
∵f（x）=，
∴f（x）=﹣x2+ax，f（﹣x）=x2+5x，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即x2+5x=﹣（﹣x2+ax），
∴a=﹣5，
故选：C
点评：本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，函数的奇偶性的定义，属于基础题．
7．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．
专题：简易规律．
分析：依据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行推断即可．
解答：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，
若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，
故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，
故选：B
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．
8．已知f（x）是偶函数，它在上是减函数，在上是增函数，而在=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．
点评：本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算力量．
12．若直角坐标平面内的两个不同点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点：函数的概念及其构成要素．
专题：函数的性质及应用．
分析：依据题意可知只须作出函数y=（x＞0）的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数即可．
解答：解：由题意得：
函数f（x）=，“友好点对”的对数，
等于函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数
在同一坐标系中做出函数y=（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象如下图所示：
由图象可知，两个图象只有一个交点．
故选：B．
点评：本题考查的学问点是函数的图象，分段函数，新定义，其中将“友好点对”的对数转化为对应图象交点个数是解答的关键．
二、填空题（请将正确答案填在答案卷的横线上．每小题5分，共20分）
13．已知定义在R上的函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，则f（1）﹣f′（1）= 2 ．
考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程；函数的值．
专题：计算题；导数的综合应用．
分析：由定义在R上的函数y=f（x ）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，知，f（1）+=2，由此能求出f（1）﹣f′（1）．
解答：解：∵定义在R上的函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=﹣，
∴，f（1）+=2，
∴f（1）=2﹣=，
∴f（1）﹣f′（1）==2．
故答案为：2．
点评：本题考查导数的几何意义的应用，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．14．已知：sinθ+cosθ=（＜θ＜π），则tanθ=﹣2 ．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinθcosθ的值，
解答：解：把sinθ+cosθ=①两边平方得：
（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，
即2sinθcosθ=﹣，
∵＜θ＜π，
∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0，
∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ=，
即sinθ﹣cosθ=②，
联立①②得：sinθ=，cosθ=﹣，
则tanθ=﹣2，
故答案为：﹣2
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，娴熟把握基本关系是解本题的关键．
15．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断；命题的否定；一元二次不等式的解法．
分析：由已知可得：p：，q：x＜a，或x＞a+1，再由求命题否定的方法求出¬q，结合充要条件的判定方法，不难给出答案．
解答：解：∵p：，
q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，
∴q：x＜a，或x＞a+1
∴¬q：a≤x≤a+1
又∵p是¬q的充分不必要条件，
∴
解得：
则实数a 的取值范围是
故答案为：
点评：推断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．
16．已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈时，f（x）=x2，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a 的取值范围是时，f（x）=x2，可得函数在上的解析式．依据题意可得函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．
解答：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期为2的周期函数．
再由f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=x2，可得当x∈时，f（x）=x2，
故当x∈时，f（x）=x2 ，当x∈时，f（x）=（x﹣2）2．
由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2）有4个交点，
所以可得1≥log a（3+2），
∴实数a的取值范围是为++1的递减区间，即有x=25时，取得最小值，且为4+1+1=6，
∴a的最大值为6．点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、考查了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，属中档题．
22．（12分）（2021•汕头模拟）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，争辩f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m 的取值范围．
考点：利用导数争辩函数的极值；利用导数争辩函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化状况，确定函数的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f （x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，
令f′（x）=0，解得x=，
当0＜x＜时，f′（x）＜0；
当x≥时，f′（x）＞0
又∵f（）=2ln=2﹣2ln2
∴f（x）的微小值为2﹣2ln2，无极大值．
（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，
当a＜﹣2时，﹣＜，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，
令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；
当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，
令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；
当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，
综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；
当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间上单调递减，
当x=1时，f（x）取最大值；
当x=3时，f（x）取最小值；
|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3，
∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3
整理得ma＞﹣4a，
∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，
∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，
∴m≤﹣．
点评：考查利用导数争辩函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类争辩的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属。