著名机构讲义秋季17-8年级数学提升版-提升版--垂直平分线、角平分线及轨迹-学生版

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模块一：线段的垂直平分线
1、线段的垂直平分线：
（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；
（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．
垂直平分线、角平分线及轨迹
【例1】 如图，在△ABC 中，BC =8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长
等于18cm ，则AC 的长等于_______________．
【例2】 已知：AB =AC ，DB =DC ，E 是AD 上一点，求证：BE =CE ．
【例3】 在△ABC 中，AB =AC ，BC =12,∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分
线交BC 边于点N ．
（1）求△AEN 的周长．（2）求∠EAN 的度数．（3）判断△AEN 的形状．
【例4】 如图，D 是线段AB 、AC 的垂直平分线的交点，若∠BAC =50°，求∠BDC 的度数．
【例5】 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，且DC =AC ，求△ABC 各角的度数．
A
B
C
D
A
B
C
E
A
B
C
D
E A
B
C
D E
N M
【例6】 在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底
角△B 的大小为___________________．
【例7】 如图，在三角形ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ⊥DE ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，
求证：AD 是EF 的垂直平分线．
【例8】 如图，三角形ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 边上的点，BD =BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F ，求证：BE 垂直平分CD ．
【例9】 如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，D 是AB 边上的点，AD 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，垂足为F ，ED 的延长线与CB 的延长线交于点G ，求证：点E 在GC 的垂直平分线上．
A
B
C
E
F
D
A
B
C
D
E
F
A
B C
D E
F G
模块二：角平分线
2、角平分线：
（1）角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段； （2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；
（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．
【例10】 如图，已知点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；
②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是 ∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（ ） A ．①②③④
B ．①②③
C ．④
D ．②③
【例11】 如图，已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，
求证：AE 平分∠BAD ．
【例12】 如图，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补，求证：AD =CD ．
A
B
C
P
E
D
A B
C
D
E
A
B
C
D
【例13】 已知：如图，P A 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于
D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线．
【例14】
（1）如图1△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点P ，则有：
________BPC A ∠=∠；
（2）如图2：△ABC 中，∠ABC 的外角角平分线和∠ACB 的外角角平分线相交于点P ， 则有：________BPC A ∠=∠；
（3）如图3：△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角角平分线相交于点P ，则有：________BPC A ∠=∠．
【例15】 如图，在直角△ABC 中，∠C =90°，直角△ABP 中，∠BAP =90°， 已知∠CBO =∠ABP ，BP 交AC 于点O ，E 为AC 上一点，且AE =OC ， 求证：PE ⊥AO ．
A
B
C
D
M
F
N
P
A B
C
E
P
O
A B C
P
图1
A
B
C
P 图2
A
B
C
P
图3
【例16】
如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且BE =DF ，BE 与DF 交
于点G ，
求证：GC 平分∠BGD ．
【例17】
如图，在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，BF 平分∠ABC ，交AC 于点F 、AD 于点
E ，EG ∥BC 交AC 于点G ，求证：A
F =C
G ．
模块三：轨迹
3、点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合．
4、三个基本轨迹：
（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； （3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．
A B
C
D
E
F G A
B
C
D
F G
E
【例18】
（1）经过点A 、B 的圆的圆心的轨迹是_____________；
（2）到直线m 距离等于a 的点的轨迹是_____________________；
（3）以线段AB 为腰，点B 为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹是___________________．
【例19】
以下说法中错误的是
（
）
A ． 到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆
B ． 如果P 是∠AOB 内一点，点M 、N 分别在OA 、OB 上，PM ⊥OA 于点M ，PN ⊥OB 于点N ，且
PM =PN ，那么射线OP 是∠AOB 的平分线
C ． 底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线
D ． 经过P 、Q 两点的圆的圆心的轨迹是PQ 的垂直平分线
【例20】 在△ABC 内找一点P ，使它到△ABC 的三个顶点的距离都相等．
【例21】
作图：
（1） 已知线段a 、b ，求做直角△ABC ，使得∠C =90°，AB =b ，BC =a ；
（2） 已知∠AOB ，点P 及线段a ，求作点Q ，使得点Q 到OA 、OB 的距离相等，且PQ =a ．
(1)
a
P
a
A
B
C
(2)
A
B
C
【习题1】 以下说法错误的是（
）．
A ． 如果P A =P
B ，那么点P 在线段AB 的垂直平分线上
B ． 如果点P 在线段AB 的垂直平分线上，那么点P 到线段AB 两端距离相等
C ． 如果点P 在∠AOB 的内部且到OA 、OB 距离相等，那么射线OP 是∠AOB 的角平分线
D ． 如果OP 是∠AOB 的平分线，那么点P 到OA 、OB 上两点M 、N 的距离相等，即PM =PN
【习题2】 如图在△ABC 中，∠B =115°，AC 的垂直平分线与AB 交于点D ，且∠ACD ︰∠BCD =5︰3，
则∠BDC =_________．
【习题3】 如图所示，AB //CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，
则AB 与CD 之间的距离等于_________．
A
B C
D
A
B
C
D
E
O
【习题4】 作图：
（1） 到点A 的距离等于a 的点的轨迹；
（2） 到两条相交直线AB 、CD 距离相等的点的轨迹．
【习题5】 如图，△ABC 中，AB =AC =8cm ，∠A =50°，线段AB 的垂直平分线分别交AB 于点D ，交
AC 于点E ，BC =3cm ，求： （1）∠EBC 的度数； （2）△BEC 的周长． 【习题6】
如图，AE 是△ABC 的角平分线，AE 的垂直平分线与BC 的延长线相交于点F ，
若∠CAF =50°，求∠B 的度数．
【习题7】 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为△ABC 外一点，且AD =BD ，
DE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，求证：DE =AE +BC ．
A B
P
E
F
C （1）
A
a
B
C
D
（2）
O
A
A
B C
D
E D
【习题8】 如图，正方形ABCD 中，E 是边AB 上的任意一点，F 是边BC 延长线上的一点，EF 交
CD 于点G ，AE =CF ，
（1）求证：点D 在线段EF 的垂直平分线上；
（2）如果EF 交正方形的对角线BD 于点P ，BP =BE ，求证：EP =FG ．
【习题9】 如图，∠BAC 和∠CBF 的平分线相交于点P ，联结CP ，分别过点B 、C 作PC 、PB 的垂
线交AC 、AB 的延长线于E ，F ，G ，H 为垂足，求证：BF =CE ．
【习题10】 已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 上的点，∠EBF =45， B G ⊥EF ，求证：BE =EG ．
A B
C
D
E
P
G F
A
C
B
H
E
F
G
P
A
B
C
D
E
F
G。