爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第2讲常用辅助线及模型

平行线常用辅助线及模型
模块一 平行线四大模型 知识点睛 （1）燕尾型
如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠B +∠D =∠BED
A
C
（2）铅笔型
如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠B +
∠D +∠BED =360°
A
E
C
（3）犀牛角型
已知：如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠BED =
∠B -∠D
A
E
C
（4）锄头型
已知：如图，已知：AB ∥CD ,求证：∠BED =∠B -∠D 平行线中辅助线总结：逢
“拐点”作平行 典型例题
A
C
D
【例1】（1）如下图，已知AB ∥CD ，∠ABF ＝∠DCE ，证明: ∠BFE ＝∠FEC
A
C
D
（2） 如下图，已知AB ∥CD ，求证: ∠B +∠E +∠D =360°
A E
B
（3）如图，AB ∥CD ∥EF ，CG 平分∠ACE , ∠A =140°, ∠E =110°则∠DCG =
C
D
【例2】已知：如图，AB ∥CD ，试解决下列问题: （1）∠1+∠2 = ；
（2）∠1+∠2 +∠3= ；
（3）∠1+∠2 +∠3+∠4= ；
（4）试探究∠1+∠2 +∠3+∠4+...+∠n = ；
F E
【例3】（1）直线AB ∥CD ，∠D =23°，∠B =42°，则∠E =（ ） A ．23 ° B ．42 ° C ．65° D ．19°
D
B
C
（2）如图：AB ∥CD ，那么∠A 、∠P 、∠C 的数量关系是（ ）
A ．∠A +∠P +∠C =90 °
B ．∠A +∠P +∠
C =180 ° C ．∠A +∠P +∠C =360 °
D ．∠P +∠C =∠A
D
P
B
（3）如图，已知：AB ∥CD ，CE 分别交AB 、CD 于点F 、C ，若∠E =20 ° ，∠C =45 ° ，则∠A 的度数为（ ） A ．5 ° B ．15 ° C ．25° D ．35°
B
C
【巩固提高】
（1）已知：如图，AB ∥EF ，BC ⊥CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（ ） A ．∠β=∠α+∠γ B ．∠α+∠β+∠γ=180 ° C ．∠α+∠β-∠γ=90 ° D ．∠γ+∠β-∠α=90 °
F
B
E
（2）已知AB ∥CD ，∠ABE =120°，∠C =25°则∠1的度数为（ ） A ．60 ° B ．75 ° C ．85° D ．80°
A
（3）如图，AB ∥CD ，BF 平分∠ABE ，且BF ∥DE ，试探究：∠ABE 与∠D 之间的数量关系，并证明
A
能力提升 【例4】如图，一条河流的某段河水流向经B 、C 、D 三点拐弯后与原来方向相同，若∠BED =120°，∠
ABE =80°，则∠CDF 的度数为
A
【例5】问题：已知线段AB ∥CD ，在AB 、CD 间取一点P （P 点不在直线AC 上），连接P A 、PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的关系 （1）端点A 、C 同向:
如图1，点P 在直线AC 右侧时，∠APC -(∠A +∠C )= 度 如图2，点P 在直线AC 左侧时，∠APC +(∠A +∠C )= 度
（1）端点A 、C 反向:
如图3，点P 在直线AC 右侧时，∠APC 与(∠A -∠C )有怎样的关系，写出结论并证明 如图4，点P 在直线AC 左侧时，∠APC -(∠A -∠C )= 度
【例6】如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
（1）如图1，若∠E =80°，求∠BFD的度数
E
C
（2）如图2，若∠ABM =1
3
∠ABF，∠CDM =
1
3
∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论.
E
C
（3）若∠ABM =1
n
∠ABF，∠CDM =
1
n
∠CDF，设∠E=m°，
直接用n，m的代数式写出∠M=
E
C
【例7】如图，已知直线EF ∥MN ，点A 、B 分别为EF 、AB 上的动点，且∠ACB =90°,BD 平分∠BCN 交EF 于D
（1） 若∠CAD =120°,如图1，求∠MBC 的度数； （2） 在（1）的条件下，如图1，求∠EAC 的度数；
（3） 延长AC 交直线MN 于G ，如图2，GH 平分∠AGB 交BD 于H ，问∠GHB 是否为定值，若是，请
求值；若不是，说明理由
M F
G
D
【习题1】填空并在后面的括号中填理由
如图AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系 解：∠B +∠E =∠BCE
理由：过点C 作CF ∥AB （ ） 则∠B =∠ （ ） 又∵AB ∥DE ，CF ∥AB
∴ （ ） ∴∠E =∠ （ ） ∴∠B +∠E =∠1+∠2 （ ） 即∠B +∠E =∠BCE
A
D
【习题2】已知：如图∠BAP +∠APD =180°，∠1=∠2，求证：∠E =∠F
D
F
B
C
【习题3】如图：已知AB ∥CD ，∠B
=40°，∠E =30°，求∠D 的度数
C
【习题4】如图：已知AB ∥DE ，∠ABC
=70°，∠CDE =140°，求∠BCD 的度数
A
【习题5】如图：已知AB ∥CD ，∠ABF =
23∠ABE ，∠CDF =2
3
∠CDE ，求∠F : ∠E =
C
A D
【习题6】三个正方形连成如图的图形，则x=
【习题7】如图：已知AB ∥DE ，∠BEF =70°，求∠ABE +∠EFC +∠FCD 的度数
C
E
A D
【习题8】下列各图中MA 1与NA n 平行
（1）图①中的∠A 1+∠A 2= 度，图②中的∠A 1+∠A 2+∠+∠A 3= 度
图③中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4= 度，图④中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4+∠A ５= 度 第⑩个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A 10= 度
（2）第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n = 度.
N
M
A 3
2A 2
M
1
N M
1
N
N
1
M
A 2A 3A 4
平行线综合题做题原则：
（1）大胆设未知数：①关系较多；②数量较小
（2）找条件等量关系：①利用题目里的所有已知条件②归纳总结，引用前几问的结论③注意整体思想（3）逢拐点作平行
典型例题
【例1】已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC，
（1）如图①，若∠A=20º，∠C=40º，则∠AEC=
（2）如图②，若∠A=xº，∠C=yº，则∠AEC=
（4）如图③，若∠A=a，∠C=β，则α，β，∠AEC之间有何等量关系，说明理由。

【例2】如图，∠B+∠E=∠BCE．
（1）说明AB与DE位置，并予以说明；
（2）作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH；（3）在前面的条件下，若P是AB上的一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，PM//QR ，PM平分∠APQ，下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变。

其中只有一个是正确的，请你做出正确并求值．
能力提升
【例3】已知直线，E为直线AB、CD外的一点，连接AE，EC
（1）E在直线AB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠EAB=∠ECD；
（2）∠EAB和∠ECD的角平分线交于点F（如图2），求证：∠AEC=2∠AFC；
（3）若E在直线AB，CD之间，在（2）的条件下，且∠AFC比AEC的3
2
少100º，求∠AEC的度数。