运用类比推理让深度学习真实发生—

黑龙江教育·教育与教学2022 . 12

三位数乘两位数

三位数乘两位数笔算

积的变化规律（例3）常见的数量关系

三位数乘两位数笔算（例1）因数中间、末尾有0的乘法单价、数量和总价（例4）速度、路程和时间（例5）

运用类比推理：让深度学习真实发生

浙江省湖州市爱山小学教育集团奥体校区

沈媛媛

———“三位数乘两位数”教材解读与教学建议

案例分析

课堂／实践

KETANG SHIJIAN

荩摘要：小学数学教材知识的编排都是螺旋上升的，很多知识点在教材的前后都有关联，通过类比推理可

以建立新旧知识之间的联系，帮助学生丰富和完善已有的认知结构。在2022版数学新课标中提出“学生学会探索并掌握多位数的乘法，感悟从未知到已知的转化，能用乘法公式进行简单推理，逐步形成数感、运算能力和初步的推理意识”这样的要求。以人教版四年级上册“三位数乘两位数”这节课为例，运用类比推理的数学思想方法，旨在帮助学生建立起知识点之间的前后联系，理解笔算乘法的前后延伸，力图使学习真实发生。

关键词：类比推理；整合教学；结构化图1 “三位数乘两位数”关系图

“三位数乘两位数”是整数乘法的最后一个内容，学生可以借助两位数乘两位数的经验获得算理和算法，在教材内容的编排上也是比较注重培养学生的推理能力。本文以“三位数乘两位数”这一课为例，通过对教材的解读和对学情的分析，将教学内容进行整合，将类比推理的数学思想方法贯穿于课堂教学的始终。

一、教材解读

本单元教学内容是在两位数乘两位数的基础上进行学习的，主要包括：三位数乘两位数的笔算、积的变化规律、常见数量关系这三部分内容，具体结构如下（见图1）：

1.三位数乘两位数笔算

三位数乘两位数笔算的内容是由“三位数乘两位数的笔算”和“乘数中间或末尾有0的乘法”这两部分组成，第一部分以生活情境引入并给出了乘法算式，教材这样安排可以让学生体会学习乘法计算的现实需求，也为后面学习速度、时间和路程之间的数量关系做了铺垫。接着教材给出了145×12的笔算过程，引导学生思考：十位上的1与145相乘，积该怎么写？从而梳理出三位数乘两位数的计算步骤和总结方法。第二部分是乘数中间或末尾有0的乘法。例2设计了160×30和106×30这样两种特殊的情况，第一题是在原有的三位数乘两位数笔算的基础上，讨论乘数末尾有0时的简便写法以及积末尾0的个数如何确定。第二题在竖式简便写法的基础上，侧重于讨论中间的0与3相乘得0，这个过程是否需要，这一位上的积又该怎么书写？

2.积的变化规律

积的变化规律是四则运算中的一个重要内容，例3设计了“一个因数不变，另一个因数不断变大或变小”这样两组有结构性的乘法算式，鼓励学生根据各组算式的特点再续写两道算式，看是否符合规律，接着再引导学生将规律用文字的形式进行概括。学生掌握

了积的变化规律之后，教材编排了一组模仿性的基本练习和模型变式应用，强化对规律的理解和应用。

3.常见的数量关系

在平时生活中，单价、数量和总价比较常见，在例4中，教材编排了两道求商品总价的典型问题，引导学生寻找共同点并总结数量关系。例5是探究速度、时间和路程之间的关系，相对于例4要抽象一些，但有了例4的基础，对于“速度”这个概念教师可结合实际生活进行分析，让学生理解它的内涵，理解了之后，速度、时间和路程的数量关系学生也可以通过类比推理得到，并建立模型去解决实际问题。

二、学情分析

只有了解学生的知识起点，才能把握课堂教学的重难点，在学习“三位数乘两位数”这节课之前，学生已经学习了表内乘法、多位数乘一位数和两位数乘两位数的竖式计算。由之前的经验类比推理就可以得到三位数乘两位数的算理和算法，只是计算的正确率和熟练程度还需要在后期的练习中进行加强。因此，我们在教学时不需要像两位数乘两位数一样步步细化了，而要注重整体把握，更多的是算法算理的类比推理和建立起知识点之间的联系。

在学习“三位数乘两位数”这节课时，对算法和算理的探究难度不大，但是数位增加了，对学生来说计算的难度随之增大，因此，在教学前先来了解学生的知识起点，本课设计了“45×12”和“145×12”这两题进行对比练习（见图2）。

将这两道形式比较相似的题目放在一起进行对比练习，注重唤醒学生原有的知识经验。在检查结果时，第一题的正确率达到了93.3%，第二题的正确率达到了86.7%，由此可以看出学生对于计算方法和算理基本上都是掌握的。但少数

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荨

KETANG SHIJIAN

图2 “三位数乘两位数”对比图图3 正确作业图

图4 简便写法图

图5 错题图

图6 不完整竖式谜图

学生还是有错误，因此也要分析错例，让学生在讨论、争辩中说清楚怎么计算的以及为什么这样计算。通过这一过程来

理解三位数乘两位数的算法与算理，让每位学生感知类比推理的数学思想方法。

三、教学建议

通过对教材分析和对学情的了解，笔者认为可以将一般的三位数乘两位数以及乘数中间或末尾有0的乘法整合在一个课时，借助学生原有的两位数乘两位数的经验类比推理至三位数乘两位数的学习，再引申到对整数乘法的概括、总结与延伸。下面以如何将类比推理落实到课堂教学中为目标进行教学设计。

1.任务驱动，运用类比推理

从前测中可以看出学生已经会用原有的经验来解决新的问题了，因此，在新授环节可以给学生布置一个更有挑战性的任务，要求学生用竖式计算3种不同形式的三位数乘两位数的乘法算式，从而来激发学生探究的兴趣。

任务布置：请你用竖式计算：425×36＝、160×30＝、30×106＝。

通过一个大任务将一般的三位数乘两位数，乘数末尾有0的和乘数中间有0的这三种情况同时呈现。第一题基于学生原有的知识经验，类比推理至三位数乘两位数，对算法和算理进行延伸与巩固。第二题设计了一题乘数末尾有0的乘法算式，学生在原有的基础上探讨简便的书写方法。第三题与前两题相比难度有所提升，一个乘数末尾有0，另一个乘数中间有0，且两位数在前三位数在后，学生可

以用前两题的方法一步一步计算，也可以对“

0”进行处理后进行简便运算，后者对学生的要求比较高。在这三题的对比练习中建立了新旧知识的连接，使学生逐步体会到类比推理在笔算乘法中的重要作用。

2.双向类比，理解算理与算法（1）纵向对比总结方法

在反馈学生的作业时，先出示一份正确的作业

（如图3），给学生一些时间观察之后进行提问：“三位数乘两位数我们还没学，为什么有很多同学已经会了？”从学生的回答中了解到，他们是借助之前学习的两位数乘两位数的经验来解决上面三道题目的。接着请学生逐题展开说明，第一题“425×36”你是怎么计算的？并追问“第二个乘数十位上的‘3’与‘425’相乘，末尾为什么要与十位对齐？”学生解释的过程也是熟悉算理和算法的过程。第二题乘数的末尾有0，不过依次相乘也可以计算出结果。第三题虽然乘数的末尾和中间都有0，但方法也是一样的。所以学生解释明白了之后，我们再将三道题目进行对比，让学生找到共同点，即算法和算理都是一样的。

（2）横向对比进行巩固

在纵向对比理解算理算法之后，我们通过横向对比，首先来讨论乘数中间或末尾有0时，竖式中积的末尾应怎

样对齐，怎么书写比较简便这两个问题。出示学生的简便写法（如图4）与刚才的方法进行比较，并讨论哪种方法更简便，学

生通过对比发现0与任

何数相乘结果都为0，因此这一步可以省略，在处理对位问题时，可以将“非0”的数字末尾对齐，最后乘数中有几个0，就在积的末尾添上几个0即可。学会了这种简便方法之后，再来看“30×106”这道算式，学生的难点在于“106”百位上的“1”与“30”十位上的“3”相乘，积的末尾与谁对齐的问题，在讨论过程中让学生理解算理。

学生学会了简便方法之后，再出示一组错例进行横向对比（如图5），让学生进行讨论纠错，第一题学生在连续进位时把第二次进位忘记了，这种情况在学生的作业中常会出现，第二种错误是学生把末尾的0遗漏了，第三种错误

是算理掌握不扎实，

“106”百位上的“1”与“30”相乘时，积的末尾应该与百位对齐。在横向的正误对比中，让学生讨论典型错误，分析原因，不仅提高了学生的分析能力，巩固了算理与算法，同时也培养了计算的技能以及渗透了类比推理的数学思想方法。

3.拓展延伸，把握类比推理的思想方法

为了帮助学生巩固课本知识，学会有联系地思考问题，让类比推理这一数学思想方法在笔算乘法中得到延续，练习环节设计了两个层次，第一层次设计了“425×136、5322×124”这两道多位数与多位数相乘的题目，用于来巩固算理、算法与建立数学模型，有助于完善了整个笔算乘法的体系。

第二层次设计了一道不完整的竖式谜进行拓展（如图６），让学生利用已知信息作为切入点进行逆向推理，通过理解“768”所表示的意思来巩固算理，找到“（）×30＝7680”来熟悉算法，并通过这一步骤得到第一个乘数，接着用第一个乘数与第二个乘数个位上的“6”相乘得到方框里填的数，再次巩固算理与算法。

总之，在教“三位数乘两位数”这节课时，基于教材与学情，唤醒学生原有的知识经验，并建立起两位数乘两位数与三位数乘两位数之间的联系；运用大任务驱动的方式给学生设计挑战，将特殊的例题进行一般化，帮助学生掌握三位数乘两位数的算理与算法；最后进行拓展与延伸，整堂课将两位数乘两位数，三位数乘两位数和多位数乘多位数的算理和算法进行沟通，找到了笔算乘法最一般的方法。在延伸中还沟通了乘法与除法的关系，在正向与逆向两种思维中，巩固了每一步的算理与算法。这样的过程，学生充分体会到了类比推理的重要性，也从整体上把握了笔算乘法的本质

。

编辑/魏继军

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