人教版初一数学上册实际问题与一元一次方程(二)(基础)知识讲解

实际问题与一元一次方程（二）（基础）知识讲解
【学习目标】
(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程； (2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路． 【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题−−−
→分析
抽象方程−−−→求解检验
解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）
1．利润问题 （1）=
100%⨯利润
利润率进价
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 2．存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率×
12
1 3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 4．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】
类型一、利润问题
1．（2016•潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%． （1）求这款空调每台的进价？（利润率=
=
）．
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？ 【思路点拨】（1）利用利润率=
=
这一隐藏的等量关系列出方程即可；
（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．
【答案与解析】 解：（1）设这款空调每台的进价为x 元，根据题意得：
3270×0.8﹣x=9%x ， 解得：x=2400，
答：这款空调每台的进价为2400元；
（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），
答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．
【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413利润问题例3】【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？ 【答案】
解：设该商品打x 折，依题意，则： 500(1+40%)·
10
x
=500（1+12%）. x=
10 1.12
1.4
=8. 答：该商品的广告上可写上打八折.
【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．
【答案】
解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20＝x-12，
解这个方程得：x＝160．
答：李明上次所买书籍的原价是160元．
类型二、存贷款问题
2．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为 2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.
【答案与解析】
解：设爸爸开始存入x元.根据题意，得x＋x×2.7％×5＝17025.
解之，得x＝15000
答：爸爸开始存入15000元.
【总结升华】本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数．
类型三、数字问题
3．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.
【答案与解析】
解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x
由题意得：x+14-2x-x=2x+2
解得：x=3
∴ x=3， 2x=6，14-2x-x=5
答：这个三位数为365
【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加．
举一反三：
【变式】（2015•嘉兴）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．”此问题中“它”的值为．
【答案】
解：设“它”为x，
根据题意得：x+x=19，
解得：x=，
则“它”的值为.
类型四、方案设计问题
4．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．
(1)篮球和排球的单价分别是多少元?
(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?
【答案与解析】
解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元．
依题意3x+2x＝80，解得x＝16
即 3x＝48，2x＝32
答：篮球和排球的单价分别为48元和32元．
(2)采用列表法探索：
类别
篮球（x个）排球（36-x）个合计（元）
方案
(1) 26 10 1568
(2) 27 9 1584
(3) 28 8 1600
(4) 29 7 1616
由列表可知，共有三种购买方案：
方案一：购买篮球26个，排球10个；
方案二：购买篮球27个，排球9个；
方案三：购买篮球28个，排球8个．
【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴．采用列表的方法探索方案，值得学习．举一反三：
【变式】某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．
(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?
(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?
【答案】
解：设有x位学生参加考察．
按方案一购票费用为：25×88%(10+x)＝22x+220
按方案二购票费用为：20×25+25×80%(x+10-20)＝20x+300
(1)当x＝30时：
22x+220＝660+220＝880(元)
20x+300＝600+300＝900(元)
答：当有30位学生参加考察，选择方案一更省钱．
(2)设22x+220＝20x+300，解得：x＝40
答：参加考察的学生人数为40人时，两种方案车费一样多．附录资料：
方程的意义（基础）知识讲解
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；
④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；
⑦
2
5
1
x
=
+
；⑧
285
53
x x
-
=．
【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．
举一反三：
【变式】下列四个式子中，是方程的是（）
A. 3+2=5
B. x=1
C. 2x﹣3＜0
D. a2+2ab+b2 【答案】B．
2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）
A. 4x﹣1=3x+2
B. 4x+8=3（x+1）+1
C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1
D. x+4=3（2x﹣1）
【答案】C．
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是( )
A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．2
17 3
x+=
类型二、一元一次方程的相关概念
3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.
【答案】B.
【解析】解：①x 2
+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤
=y+是一元一次方程；一元一次方程
的有2个，故选：B ． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．
举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）． ①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④1
51x
-=-． 【答案】①②.
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果
41153x -=，那么4
53x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果43
34
t -
=，那么t ＝________． 【答案与解析】
解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ； (3).916-
； 根据等式的性质2，等式两边都乘以3
4
-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是( )．
A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.
B ．在等式a ＝b 两边除以c 2
+1，可得2211
a b
c c =
++. C ．在等式
b c
a a
=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b. 【答案】B.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？ 【答案与解析】
解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．
可以采用列表法探究其解
显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．
所以小明要做对21道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
(l)x的5倍比x的相反数大10；
(2)某数的3
4
比它的倒数小4；
(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5
分钟出发，问甲用多少时间追上乙？
【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则13
4
4
x
x
-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由
题意得11
(5)
3020
x x
+=．。