高教版中职数学基础模块上册《函数的单调性》课件

4，解得m＞2，故选A.]
点拨：利用函数的单调性，把函数值的大小转化为法则作用对象的
大小，构成不等式进行求解．
跟踪训练2
已知函数f (x)在R上是增函数，且f (2m)＜f (－m－9)，则实数m的取
值范围是(
)
A．(－3，＋∞)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－3)
√
D．(－∞，3)
C
[∵函数f (x)在R上是增函数，且f (2m)＜f (－m－9)，∴2m＜－m
3．函数y＝x2＋1的单调递减区间是(
)
A．(－∞，0]
√
B．(－∞，1]
C．[0，＋∞)
D．[1，＋∞)
A
[观察函数y＝x2＋1的图象(图略)，可知答案选A.]

4．函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(

A．(－∞，0]
B．(－∞，0)
C．[0，＋∞)
D．(0，＋∞)
√
D
[根据反比例函数的图象(图略)，可知答案选D.]
3.2.1 函数的单调性
必备知识梳理
1．如果在给定的区间上自变量增大(减小)时，函数值也随着增大(减
增函数
小)，这时称函数在这个区间上是______．
如果在给定的区间上自变量增大(减小)时，函数值反而随着减小(增大)，
减函数
这时称函数在这个区间上是______．
2．函数的单调性
增函数或者是减函数
如果一个函数y＝f (x)在某个区间上是__________________，就说这个
2
0，
3
1)，则实数a的取值范围是________．
2
0，
3
[∵函数f (x)的定义域是(－1，1)，
∴－1＜1－2a＜1，－1＜a－1＜1，
∵f (x)是减函数，∴1－2a＞a－1，
−1＜1 − 2＜1，
2
∴ −1＜ − 1＜1， 解得0＜a＜ .]
3
1 − 2＞ − 1，
当堂达标训练
一、选择题
题型分类透析
题型1：函数单调性的证明
Байду номын сангаас
例1 求证：函数f
3
(x)＝ 在(0，＋∞)上是减函数．

证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，令Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)
－f
3
(x1)＝
2
−
3
31 −32
−3 2 −1
＝
＝
1
1 2
1 2
−3Δ
Δ
−3
＝
，∴ ＝
，∵x1 ，
1．已知函数f (x)＝3，则对于该函数单调性判断正确的是(
－9，解得m＜－3，故选C.]
例3
已知函数f (x)在定义域(－1，1)上为增函数．求满足不等式f (1
－a)＜f (1－a2)的实数a的取值范围．
[解析]
∵函数的定义域为(－1，1)，则－1＜1－a＜1，且－1＜1－
a2＜1，
∵函数f (x)为增函数，∴1－a＜1－a2，
−1＜1 − ＜1，
∴ −1＜1 − 2 ＜1，
范围是(
)
A．(－∞，0)
B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)
√
D．(1，＋∞)
C
[根据函数单调性的判断方法和步骤，可知k＞0，故选C.]
2．函数y＝|x－1|＋2的单调递增区间是(
)
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
√
C．(－∞，2]
D．(－∞，1]
B
[观察函数y＝|x－1|＋2的图象(图略)，可知答案选B.]
求证：函数f
[证明]
3
(x)＝－ 在(－∞，0)上是增函数．

设x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，取Δx＝x2－x1，
则Δy＝f (x2)－f (x1)＝
3
−
2
−
3
−
1
3
＝
1
3
3 2 −1
− ＝
2
1 2
3Δ
＝
，
1 2
Δ
3
3
Δ
∴ ＝
，∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2＞0，∴
)
5．已知函数f (x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且f (4a)＜f (a2)，则实
数a的取值范围是(
)
√
A．(0，4)
B．(0，2)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
A
[∵函数f (x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且f (4a)＜f (a2)，∴4a
＞a2，解得0＜a＜4，故选A.]
＞0， ＞0，
Δ 1 2
1 2
Δ
∴函数f
3
(x)＝－ 在(－∞，0)上是增函数．

题型2：函数单调性的应用
例2
已知函数f (x)在R上是减函数，且f (m)＜f (－m＋4)，则实数m
的取值范围是(
)
A．(2，＋∞)
√
B．(4，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，4)
A
[∵函数f (x)在R上是减函数，且f (m)＜f (－m＋4)，∴m＞－m＋
函数在这个区间上具有(严格的)单调性．这个区间就称为这个函数的
单调区间
________．
注：函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的________．
最大区间
3．函数单调性的图象特征
增函数的函数值随自变量的增大而逐渐增大，减函数的函数值随自
上升
变量的增大而逐渐减小，所以增函数的图象自左而右是____的，而
下降
减函数的图象自左而右是____的．
4．判断函数单调性的步骤
(1)在给定区间上任取两个不相等的变量x1，x2，取Δx＝x2－x1，从而
f (x2)－f (x1)
计算出Δy＝____________．
Δ
(2)计算出k＝ ；
Δ
(3)判断：
增函数
①当k＞0时，函数f (x)在这个区间上是______；
1 − ＜2 − 1，
0＜＜2，
即 − 2＜＜0或0＜＜ 2，
＜ − 2或＞1，
解得1＜a＜ 2，
所以实数a的取值范围为(1， 2)．
点拨：函数单调性的应用，首先考虑函数的定义域，其次利用单调
性把函数值的大小转化为法则作用对象的大小，最后构成不等式组
进行求解．
跟踪训练3
已知函数f (x)在定义域(－1，1)上是减函数，且满足f (1－2a)＜f (a－
减函数
②当k＜0时，函数f (x)在这个区间上是______．
5．对于反比例函数f

(x)＝ (k≠0)

减
减
(1)当k＞0时，函数f (x)在(－∞，0)上是__函数，在(0，＋∞)上是__
函数；
增
增
(2)当k＜0时，函数f (x)在(－∞，0)上是__函数，在(0，＋∞)上是__
函数．
1．若一次函数y＝kx＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数k的取值
1 2
Δ
1 2
−3
Δ
x2∈(0，＋∞)，∴x1x2＞0，∴
＜0，∴ ＜0，∴函数f
1 2
Δ
＋∞)上是减函数．
3
(x)＝ 在(0，

点拨：函数单调性的证明，要严格按函数单调性判断的步骤：
(1)设(不相等的变量)；(2)算Δy(出现Δx)；(3)判
论．
Δ
的符号
Δ
；(4)结
跟踪训练1