九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决问题作业设计 (新版)苏科版-(新版)苏科版

用二次函数解决问题
第1课时、第2课时
1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为()
A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
2．某产品的进货单价为每件90元，按100元一件出售时，每周能售出500件．若每件涨价1元，则每周销售量就减少10件，则该产品每周能获得的最大利润为() A．5000元 B．8000元
C．9000元 D．10000元
3．某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
4．一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出当销售价为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少．
5．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是()
A ．600 m 2
B ．625 m 2
C ．650 m 2
D ．675 m 2
6．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数表达式是________，当边长x 为________米时，花圃有最大面积，最大面积为________平方米．
7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室的一边长为x (m)，占地面积为y (m 2
)．
(1)如图5－5－3①，则饲养室的一边长x 为多少时，占地面积y 最大？
(2)如图②，现要求在所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的一边长x 比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
图5－5－3
8．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (米)与小球运动的时间t (秒)之间的函数表达式是h ＝t －t 2
，则小球的最大高度为________米．
9．飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32
t 2
.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是______m.
10．小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期
盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2(单位：元)．
(1)用含x 的代数式表示W 1，W 2；
(2)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？
11．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫之间的距离为x (单位：千米)，乘坐地铁的时间y 1(单位：分)是关于x 的一次函数，其关系如下表：
(1)求y 1关于x 的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间y 2(单位：分)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝12x 2
－11x ＋78来
描述，则李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短？并求出最短时间．
12．某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数．公司发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
参考答案
1．B[解析] 由题意，得y ＝(x －21)(350－10x )＝－10x 2
＋560x －7350. 2．C
3．3[解析] 由题意可得y ＝(6－x )x ，即y ＝－x 2
＋6x ，当x ＝3时，y 有最大值． 4．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，
把(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，
b ＝40.
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)．
(2)W ＝(x －10)(－x ＋40)＝－x 2
＋50x －400(10≤x ≤16)．∵W ＝－x 2
＋50x －400＝－(x －25)2
＋225，函数图像的对称轴是直线x ＝25，
在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大． ∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 最大，为144.
即当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
5．B[解析] 设矩形的一边长为x m ，则其邻边长为(50－x )m ，设池底面积为S m 2
，则
S ＝x (50－x )＝－x 2＋50x ＝－(x －25)2＋625.∴当x ＝25时，S 取得最大值，最大值为625.
6．S ＝－2x 2
＋10x 52252
[解析] 由题意知平行于墙的一边长为(10－2x )米，则S ＝x (10－
2x )＝－2(x －52)2＋252(0<x <5)，所以当x ＝52时，花圃有最大面积，最大面积为25
2
平方米．
7．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2
＋6252
(0<x <50)，
∴当x ＝25时，占地面积y 最大，即当饲养室的一边长x 为25 m 时，占地面积y 最大． (2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2
＋338，
∴当x ＝26时，占地面积y 最大．
∵26－25＝1(m)≠2 m ，∴小敏的说法不正确． 8．
9．24[解析] ∵y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2
＋600，∴当t ＝20时，飞机着陆后滑行到
最大距离600 m ，然后停止滑行；当t ＝16时，y ＝576，∴最后4 s 滑行的距离是24 m.
10．解：(1)W 1＝(50＋x )(160－2x )＝－2x 2＋60x ＋8000，
W 2＝19(50－x )＝－19x ＋950.
(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2
＋41x ＋8950(x 为整数)． ∵－2＜0，抛物线的开口向下，－
412×（－2）＝41
4
，
∴当0≤x <41
4时，W 随x 的增大而增大；
当41
4<x ≤50时，W 随x 的增大而减小， 又∵x 取整数，故当x ＝10时，W 最大，
W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160.
即当x ＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是9160元．
11．解：(1)设乘坐地铁的时间y 1关于x 的一次函数表达式是y 1＝kx ＋b .把x ＝8，y 1
＝18；x ＝10，y 1＝22代入，得⎩⎪⎨⎪⎧18＝8k ＋b ，22＝10k ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2， ∴y 1关于x 的函数表达式是y 1＝2x ＋2.
(2)设李华从文化宫回到家里所用的时间为y 分，则y ＝y 1＋y 2， 即y ＝2x ＋2＋12x 2－11x ＋78＝12x 2－9x ＋80＝12(x －9)2
＋792
，
∴当x ＝9时，y 最小值＝79
2
.
∴李华选择从B 地铁口出站，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短，最短时间为79
2
分钟． 12．解：(1)由题意，知若观光车能全部租出，则0＜x ≤100，由50x －1100＞0，解得
x ＞22，∴22<x ≤100.
又∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元． (2)设每辆车的净收入为y 元． 当0＜x ≤100时，y 1＝50x －1100. ∵y 1随x 的增大而增大，
∴当x ＝100时，y 1有最大值为50×100－1100＝3900； 当x ＞100时，y 2＝(50－x －100
5
)x －1100
＝－15x 2
＋70x －1100
＝－15
(x －175)2
＋5025，
∴当x ＝175时，y 2有最大值为5025. ∵5025>3900，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多．
第3课时
1．如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为y ＝－
112x 2＋23x ＋5
3
，由此可知铅球被推出的距离是() A ．10 m B ．3 m C ．4 m D ．2 m 或10 m
2．小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y ＝－15x 2
＋的一部分(如图)．若命中篮
圈中心，则他与篮底的距离l 是()
A ．3.5 m
B ．4 m
C ．4.5 m
D ．4.6 m
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m)与飞行时间x (单位：s)之间具有函数关系
y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
4．某某省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y ＝－125
x 2
，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面的宽度AB 为()
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
5．建立如图所示的直角坐标系，某抛物线形桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，则它对应的表达式为________________．
6．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，当水面下降1米时，水面的宽度为多少米？
7．某广场有一个喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()
A．4米B．3米C．2米D．1米
8．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平
面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；
(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷出的水柱的最大高度．
9．冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，他在家后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB ，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似抛物线y ＝110
x 2
＋bx ＋c ，如图①，已知BD ＝8米，绳子最低点离地面的距离为1米．
(1)求立柱AB 的长度；
(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN 撑起绳子(如图②)，MN 的长度为米，通过调整MN 的位置，使左边抛物线F 1对应函数表达式的二次项系数为1
4
，顶点离地面米，求MN 与AB 的距离．
10．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？
参考答案
1．A[解析] 令y ＝0，则－112x 2＋23x ＋5
3＝0，
解得x 1＝10，x 2＝－2，
由此可知铅球被推出的距离是10 m. 故选A.
2．B[解析] 当y ＝时，－15x 2
＋＝，解得x 1＝－1.5(舍去)，x 2＝，
∴l ＝＋＝4(m)． 故选B.
3．解：(1)令y ＝15，有－5x 2
＋20x ＝15， 化简得x 2
－4x ＋3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3， 即飞行时间是1 s 或3 s.
(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故令y ＝0， 则有0＝－5x 2
＋20x ， 解得x 1＝0，x 2＝4，
所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(s)． (3)y ＝－5x 2
＋20x ＝－5(x －2)2
＋20， ∴当x ＝2时，y 取得最大值，此时y ＝20.
故在飞行过程中，当飞行时间为2 s 时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m. 4．C 5．y ＝－125
(x －20)2
＋16[解析] 由图可知抛物线的对称轴为直线x ＝20，顶点坐标为(20，16)．
可设此抛物线的表达式为y ＝a (x －20)2
＋16.
又此抛物线过点(0，0)，代入得(0－20)2
a ＋16＝0，解得a ＝－125，
所以此抛物线的表达式为y ＝－125
(x －20)2
＋16.
6．解：建立如图所示的直角坐标系，可知OA 和OB 的长均为AB 的一半，即2米，抛物线顶点C 的坐标为(0，2)，通过以上条件可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2
＋2.
把(－2，0)代入y ＝ax 2
＋2，得出a ＝－， 所以y ＝－x 2
＋2.
当y ＝－1时，有－1＝－x 2
＋2， 解得x ＝±6，
所以当水面下降1米时，水面的宽度为2 6米．
7．A[解析] 直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为4ac －b
2
4a ＝
4×（－1）×0－42
4×（－1）
＝4，或将y ＝－x 2
＋4x 化为顶点式也可得出结论．
8．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3，5)， ∴设y ＝a (x －3)2
＋5，将(8，0)代入，得a ＝－15，
∴y ＝－15(x －3)2
＋5，即y ＝－15x 2＋65x ＋165
(0<x <8)．
(2)当y ＝时，即＝－15x 2＋65x ＋16
5，解得x 1＝7，x 2＝－1(舍去)．
答：王师傅必须站在离水池中心7米以内．
(3)由y ＝－15x 2＋65x ＋165，可得原抛物线与y 轴的交点坐标为(0，16
5)．
∵装饰物的高度不变， ∴新抛物线也经过点(0，16
5)．
∵喷出水柱的形状不变， ∴a ＝－1
5
.
∵直径扩大到32米， ∴新抛物线过点(16，0)．
设新抛物线的表达式为y 新＝－15
x 2
＋bx ＋c ，
将点(0，165)和(16，0)代入，得b ＝3，c ＝16
5.
∴y 新＝－15x 2＋3x ＋165＝－15(x －152)2＋289
20，
∴当x ＝152时，y 新的最大值为289
20
.
答：扩建改造后喷出的水柱的最大高度为289
20
米．
9．解：(1)由题意可知抛物线的表达式为y ＝110(x －4)2
＋1，
即y ＝110x 2－45x ＋135
.
令x ＝0，得y ＝135，∴AB ＝135.
答：立柱AB 的长度为13
5
米．
(2)由题意可以假设抛物线F 1的表达式为y ＝14x 2
＋mx ＋2.6.
∵4×14×－m 24×14
＝，∴m ＝±1.
∵抛物线F 1的对称轴在y 轴右侧，1
4>0，
∴b ＜0，∴b ＝－1，
∴抛物线F 1的表达式为y ＝14x 2
－x ＋2.6.
令y ＝，解得x 1＝1，x 2＝3， 当x ＝1时，不合题意，舍去， ∴x ＝3，∴MN 与AB 的距离为3米．
10．解：(1)由题意可知函数y ＝at 2
＋5t ＋c 的图像经过点(0，0.5)，，3.5)， ∴错误!解得错误!
∴抛物线的函数表达式为y ＝－2516t 2＋5t ＋12＝－2516(t －85)2＋92，
∴当t ＝85时，y 最大值＝9
2
.
答：足球飞行的时间是85 s 时，足球离地面最高，最大高度是9
2 m.
(2)把x ＝28代入x ＝10t ，得28＝10t ，∴t ＝2.8.
25 16×2＋5×＋
1
2
＝＜，∴他能将球直接射入球门．
当t＝时，y＝－。