2020重庆中考复习数学几何最值常见求解方法（完整版）

2020重庆中考复习数学几何最值常见求解方法
一、利用垂线段最短求最值
例1、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）
A．4B．42C．421D．842
解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝8，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝8﹣8
∵∠DAE＝45°＝∠BAC，∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF，∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为828
842 2
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是．
解：如图，在AC上取一点G，使CG＝CD，连接EG，
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2?cos45°＝2，
∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，
∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等腰直角△ABC的对称轴，∴CD＝BC，
∵CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，
∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2﹣2，
∴EG ＝AG?sin45°＝（2﹣2）×＝2﹣，∴DF ＝2﹣．
例3、如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，E 是AC 的中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E
逆时针旋转
90°，得到线段
EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是
．
B
D
A
F
H C
E
G P
解法一：
如图，连接BE ，延长EC 到N ，使EN ＝BE ，连接FN ，过点A 作AG ⊥BC 于G ，过点A 作AH ⊥FN 于H ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，AG ⊥BC ，
∴AC ＝AB ＝12，AE ＝EC ＝6，BE ⊥AC ，∠GAC ＝∠EBC ＝30°，BE ＝2＝EN ，
∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，∴DE ＝EF ，∠DEF ＝90°，
∵∠BEC ＝∠DEF ＝90°，∴∠BED ＝∠FEN ，且DE ＝EF ，BE ＝EN ，∴△BED ≌△NEF （SAS ），∴∠EBC ＝∠ENF ＝30°，∴∠GAC ＝∠ENF ，∴AG ∥NF ，∴点F 在过点N 且平行于AG 的直线上，∴当AF ⊥FN 时，AF 的值最小，∵AH ⊥FN ，∠ENF ＝30°，
∴AH ＝AN ＝
（2+2
）＝1+
，∴线段AF 的最小值为
1+
，
解法二：
如图所示，过
E 作EG ⊥BC 于G ，过A 作AP ⊥EG 于P ，过
F 作FH ⊥E
G 于
H ，则∠DGE ＝∠EHF ＝90°，∵∠DEF ＝90°，∴∠EDG +∠DEG ＝90°＝∠HEF +∠DEG ，∴∠EDG ＝∠FEH ，又∵EF ＝DE ，∴△DEG ≌△EFH （AAS ），∴HF ＝EG ，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝4，AE =AC=2，CE ＝2，∠AEH ＝∠CEG ＝30°，
∴CG ＝
CE =1，AP ＝
AE ＝1，∴EG ＝
CG ＝
，∴HF ＝EG ＝，
∴当点D 运动时，点F 与直线GH 的距离始终为个单位，∴当AF ⊥EG 时，AF 的最小值为AP +HF ＝1+，
二、利用二次函数求最值
例4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝9，点P 是线段AC 上的一个动点，连接
BP ，
将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．
解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，
∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，
∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，
∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，
当x＝3时，AD有最小值为3，
例5、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为 .
M
N
解：如图，过点E作EM⊥CD于M，过点E作EN⊥CB于N．
设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，22222
BE EN NB x x x，
(8)2(4))32
x时，BE的值最小，最小值为4．
∴当4
AB AC BC，D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正例6、如图,在△ABC中，5,45
方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为.
解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．
∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，
∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），
∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，
当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．
三、利用三角形三边的关系求最值
例7、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH ⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．
图1 图2
解法一：
如图1，取BC中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G是BC中点，∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，在Rt△ACG中，AG＝＝2，在△AHG中，AH≥AG﹣HG，即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，
解法二：
如图2，∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝2．当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝2﹣2．四、利用两点之间线段最短求最值
例8、如图，菱形ABCD 的边长为6，对角线AC ＝6
，点E ，F 在AC 上，且EF ＝2，则DE +BF 的最
小值为
．
解：如图，作DM ∥AC ，使得DM ＝EF ＝2，连接BM 交AC 于F ，
∵DM ＝EF ，DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE ＝FM ，∴DE +BF ＝FM +FB ＝BM ，
根据两点之间线段最短可知，此时DE +FB 最短，∵四边形
ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝3
，
在Rt △ADO 中，OD ＝＝3，∴BD ＝6，∵DM ∥AC ，∴∠MDB ＝∠BOC ＝90°，
∴BM ＝
＝
＝2
．∴DE +BF 的最小值为2
．
五、利用将军饮马求最值例9、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，点E ，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），
且EF ＝1，则四边形
ABFE 周长的最小值为
．
F
A
D
B
C
N
M
E
解：在AB 上截取AM ＝EF ，作点M 关于直线DC 的对称点N ，连接BN 交CD 于F ，此时四边形AEFB
的周长最小．四边形AEFB
的周长的最小值＝AB +EF +AE +BF ＝AB +EF +MF +BF ＝AB +EF +NF +BF ＝
AB +EF +NB ＝4+1+2
2
3+4＝10，
六、利用胡不归求最值
例10、（2019?南通）如图，ABCD Y 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB+PD
的最小值等于
．
解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点
E ，∵AB ∥CD ∴∠EDP ＝∠DAB ＝60°，
∴sin ∠EDP ＝
∴EP ＝
PD ∴PB +
PD ＝PB+PE ，∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，
PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵sin ∠A ＝
＝
∴BE ＝3
七、利用阿氏圆求最值例11、如图，在
Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段
AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN 沿BN 翻折得到BM N .连接AM 、.CM 则223
CM
AM
的最小值为
.
解：在BM 上截取BQ=
23
，
2,3BQ BM QBM M BA BM
BA Q
，.
BQM BM A :1
,3QM BQ
M A BM 1
,
3QM
M A 21
22()2()
33
CM
AM CM AM CM
QM 当Q M C 、、三点共线时，=CM QM QC 有最小值为：2
2
2
2
2
237=()4
.
3
3
QC BQ
BC
223CM
AM 的最小值为4373
.。