学案3： 1.1.1 第2课时 集合的表示方法

1.1.1第2课时集合的表示方法
基础认知 自主学习
1.列举法
把集合中的元素出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法．
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
2．描述法
(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．
(2)特征性质描述法(简称为描述法)：
集合A可以用它的特征性质p(x)表示为．
(3)集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为．{(x，y)|y＝x2＋2}能否写为{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？
3．区间及其表示
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a<b，规定如下：
定义名称符号数轴表示
{x|a≤x≤b}闭区间
{x|a＜x＜b}开区间
{x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 {x |a ＜x ≤b }
半开半闭区间
(a ，b ]
(2)特殊区间的表示． 定义 R
{x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号
(－∞，＋∞)
[a ，＋∞)
(a ，＋∞)
(－∞，a ]
(－∞，a )
(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
基础小测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)x ＞1的解集可以用列举法表示．( )
(2)集合{(1，2)}和{1，2}是相等的集合．( )
(3)集合{x |1<x ≤3}可表示为[1，3).( )
2．下列说法：
①集合{x ∈Z |x 3＝x }用列举法表示为{－1，0，1}； ②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }；
③方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3
x －y ＝－1 的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
3．(教材练习改编)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．
能力形成 合作探究
类型一 列举法表示集合(数学运算、逻辑推理)
1．用列举法表示下列集合：
(1)方程(x －1)2(x －2)＝0的解组成的集合． (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合． (3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
(4)函数y ＝2x －1的图像与坐标轴交点组成的集合．
2．设集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪44－x ∈Z ，x ∈N ，用列举法表示为A ＝________．
解题策略
1．用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来．
2．在用列举法表示集合时的关注点
(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．
(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．
用列举法表示下列集合．
(1)A ＝{y │y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{()x ，y │y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }．
【补偿训练】
设a ，b ，c 为非零实数，则x ＝
||
ab ab
＋
b c ||bc ＋abc
||
abc 的所有可能取值构成的集合为________． 类型二 描述法表示集合(数学抽象、逻辑推理)
【典例】1.已知集合M ＝{}x |x ＝3n ，n ∈Z ，N ＝{}x |x ＝3n ＋1，n ∈Z ， P ＝{}x |x ＝3n －1，n ∈Z ，且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P ，若d ＝a －b ＋c ，则( ) A ．d ∈M B ．d ∈N C ．d ∈P
D ．d ∈M 且d ∈N
2．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数的集合；
(2)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． 解题策略
1．描述法表示集合的两个步骤
2．用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}可以写成{x |x <1}，而不能写成{x <1}． (2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，
{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进大括号内， 即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }． (3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．
用适当的方法表示下列集合：
(1)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有的点组成的集合．
(2)二次函数y＝x2＋2x－10的图像上所有点的纵坐标组成的集合．
(2021·枣庄高一检测)下列四个集合中，是空集的是()
A．{x|x＋3＝3}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
类型三用区间表示集合及集合表示方法的综合应用(数学运算、直观想象)
【典例】1.用区间表示下列集合：
(1)3x－4<0的所有解组成的集合A＝________．
(2)2x＋6≥0所有解组成的集合B＝________．
2．用适当的方法表示下列集合．
(1)36与60的公约数组成的集合．
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合．
(3)不等式x－2>6的解的集合．
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
解题策略
1．解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．2．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．
(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．
1．用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5. (2)－3<x ≤4. (3)2≤x <5. (4)x ≤4.
(5)x >－3.
(6)x ≥－4.
2．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数．
(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．
(3)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧3x －2≥1，
2x －1<5 的解集．
备选类型 利用集合的表示方法求参数值或范围(数学运算、逻辑推理) 【典例】已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }， (1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围； (3)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； (4)若A ＝∅，求a 的取值范围．
当堂达标
1．(教材二次开发：练习改编)对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )
A ．{x |x 是小于18的正奇数}
B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5}
C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}
D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}
2．(2021·聊城高一检测)若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4>0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为( )
A ．5
B ．6
C ．4
D ．3
3．已知3∈{2，a ，a －1}，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．3或4 D ．无解
4．集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ∈N ⎪
⎪62－x ∈N 用列举法可以表示为________．
参考答案
基础认知 自主学习
1.
一一列举
提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
2．(1)性质p(x)
(2) {x|p(x)}
(3) {x∈I|p(x)}
提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．
3．(1) [a，b] (a，b) [a，b)
(2)特殊区间的表示．
定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}
符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)
(1)提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．
所以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
基础小测
1．(1)提示：×x＞1的解集中有无限多个元素，无法一一列出，不能用列举法表示．(2)提示：×集合{(1，2)}中只有一个元素为(1，2)，而{1，2}中有两个元素1和2，所以这两个集合不相等．
(3)提示：×集合{x|1<x≤3}可表示为(1，3].
2．C
【解析】因为x3＝x的解为－1，0，1，所以集合{x∈Z|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}，
故①正确；实数集可以表示为{x |x 为实数}或R ，故②错误；方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3
x －y ＝－1 的解集为
{(1，2)}，集合{x ＝1，y ＝2}中的元素是x ＝1，y ＝2，故③错误． 3．{－1，4}
【解析】因为4∈A ，所以16－12＋a ＝0， 所以a ＝－4，
所以A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1，4}．
能力形成 合作探究
类型一 列举法表示集合(数学运算、逻辑推理)
1．(1) {1，2}
(2){W ，e ，l ，c ，o ，m} (3) {北京，张家口} (4) ⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫（0，－1），⎝⎛⎭⎫12，0
【解析】 (1)方程(x －1)2(x －2)＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1，2}． (2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}． (4)函数y ＝2x －1的图像与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫
12，0 ，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫（0，－1），⎝⎛⎭⎫12，0 .
2．{}0，2，3，5，6，8 【解析】因为4
4－x
∈Z ，x ∈N ，
所以4－x ＝1时，4
4－x ＝4∈Z ，x ＝3∈N ；
4－x ＝4时，4
4－x ＝1∈Z ，x ＝0∈N ；
4－x ＝2时，4
4－x ＝2∈Z ，x ＝2∈N ；
4－x ＝－1时，4
4－x
＝－4∈Z ，x ＝5∈N ；
4－x ＝－4时，4
4－x ＝－1∈Z ，x ＝8∈N ；
4－x ＝－2时，4
4－x ＝－2∈Z ，x ＝6∈N .
综上，A ＝{}0，2，3，5，6，8 .
用列举法表示下列集合． (1) A ＝{2，5，6}；
(2) B ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}
【解析】(1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2， 所以A ＝{2，5，6}．
(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，
则有⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝0，y ＝6，
⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1，y ＝5，
⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝2，y ＝2， 所以B ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． 【补偿训练】
{}－1，1，3，－3
【解析】因为a ，b ，c 为非零实数， x ＝
||
ab ab
＋
b c ||bc ＋abc
||
abc ， 当a ，b ，c 全为正数时，x ＝3； 当a ，c 为正数，b 为负数时，x ＝－3； 当a ，b 为正数，c 为负数时，x ＝－1； 当b ，c 为正数，a 为负数时，x ＝－1； 当a 为正数，b ，c 为负数时，x ＝1； 当b 为正数，a ，c 为负数时，x ＝－1； 当c 为正数，a ，b 为负数时，x ＝1； 当a ，b ，c 全为负数时，x ＝1.
故x 的所有可能取值构成的集合为{}－1，1，3，－3 . 类型二 描述法表示集合(数学抽象、逻辑推理) 【典例】1. B
【解析】令a ＝3，b ＝4，c ＝5，得d ＝4.排除A ，C ，D.
2．(1){x ∈R |1<x <10}．
(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x >0，且y <0}．
(3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．
用适当的方法表示下列集合：
(1)【解】二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，
则用描述法表示为{()x ，y │y ＝x 2＋2x －10}．
(2)【解】二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，故可用描述法表示为{y │y ＝x 2＋2x －10}．
D
【解析】因为{x |x ＋3＝3}＝{0}，{(x ，y )|y 2＝－x 2，x ，y ∈R }＝{(0，0)}，{x |x 2≤0}＝{0}都不是空集，而x 2－x ＋1＝0中Δ＝1－4＝－3<0，故方程无解，
所以{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R }＝∅.
类型三 用区间表示集合及集合表示方法的综合应用(数学运算、直观想象)
【典例】1. (1)⎝
⎛⎭⎫－∞，43 (2)[－3，＋∞) 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，所以x <43
，所以A ＝⎝⎛⎭⎫－∞，43 . (2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，所以x ≥－3，所以B ＝[－3，＋∞).
2．(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，
所求集合为{1，2，3，4，6，12}．
(2){x |x ＝2n ＋1且x <1 000，n ∈N }．
(3)(8，＋∞).
(4){1，2，3，4，5，6}．
1．(1)(－2，5).
(2)(－3，4].
(3)[2，5).
(4)(－∞，4].
(5)(－3，＋∞).
(6)[－4，＋∞).
2．【解】(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．
(2){(x ，y )|－1≤x ≤32 ，－12
≤y ≤1，且xy ≥0}． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≥1，2x －1<5， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <3， 所以不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧3x －2≥1，2x －1<5 的解集为[1，3). 备选类型 利用集合的表示方法求参数值或范围(数学运算、逻辑推理)
【典例】【解】(1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12
，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1时，原方程的解为x ＝－1，符合题意．
所以a ＝0或a ＝1时，集合A 中只有一个元素．
(2)若A 中至多有一个元素，即A 中有一个元素或A 中没有元素．
当A 中没有元素时，Δ＝4－4a <0 ，解得a >1，
当A 中只有一个元素时，a ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ＝0，a ≠0， 解得a ＝0或a ＝1. 故当a ＝0或a ≥1时，A 中至多有一个元素；
(3)若A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．当A 中有两个元素时，
由Δ＝4－4a >0，解得a <1.
当A 中只有一个元素时，a ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ＝0a ≠0 ，解得a ＝0或a ＝1. 故当a ≤1时，A 中至少有一个元素；
(4)由(2)知，当a >1时，A ＝∅.
【方法点拨】
(1)对本题中集合A 的元素的个数的讨论，实际上是讨论方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根的个数，从而确定a 的取值范围．
(2)本题中“a ＝0”这一条件易被忽视，对于方程ax 2＋2x ＋1＝0有两种情况，一是a ＝0时变为一次方程，二是a ≠0时它才是二次方程；
(3)对二次项系数中含有待定字母，题中没有明确指明是二次方程、二次函数、二次不等式等问题的题目，要优先对二次项系数中的待定字母是否为零讨论；
(4)转化是数学中的重要思想，本题是将集合问题转化为方程问题，使问题很容易得到解决．
当堂达标
1．D
【解析】A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B 中集合当k 取负数时，多出了若干元素；C 中集合当t ＝0时多了－3这个元素，只有D 正确．
2．D
【解析】由已知，得x ＝2，y ＝3；x ＝3，y ＝2；x ＝3，y ＝3满足题意，
所以B ＝{(2，3)，(3，2)，(3，3)}，集合B 中有三个元素．
3．B
【解析】因为3∈{2，a ，a －1}，当a ＝3时，那么a －1＝2，不满足元素的互异性， 不满足题意，当a －1＝3时，a ＝4，集合为{2，4，3}满足题意，所以实数a 的值为4. 4．{}0，1
【解析】当x ＝0时，62－x ＝3，3∈N ，故x ＝0符合条件；当x ＝1时，62－x
＝6，6∈N ，故x ＝1符合条件，当x ≥2时，不符合题意，故集合为{}0，1 .。