函数的单调性(共2课时)课件高一上学期数学
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过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a,b]上具有单调性,则此函数在这一单调区间内的任
意子集上也具有单调性.
变式训练3已知函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),求实数x
的取值范围.
解 ∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),
是
.
答案 (-∞,0)
解析 结合反比例函数的单调性可知k<0.
6.证明:函数 y=
在(-1,+∞)上是增函数.
+1
证明
设 x1,x2 是区间(-1,+∞)上的任意两个值,且 x1<x2,
1
2
1 -2
则 y1-y2=
−
=
.
1 +1 2 +1 (1 +1)(2 +1)
∵-1<x1<x2,
1
1
则 f(x1)-f(x2)= 1 + − 2 +
1
2
2 -1
1
=(x1-x2)+ =(x1-x2) 1-
1 2
1 2
(1 -2 )(1 2 -1)
=
.
1 2
∵0<x1<x2<1,
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
+1-1
1
对于 B,函数 y= +1 =1-+1,在(-1,+∞)上是增函数,故 B 正确;
对于C,函数y=(x-1)2+1在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故C错误;
对于D,函数y=-x2在(0,+∞)上是减函数,故D错误.
故选B.
4.(2020浙江宁波高二期中)已知函数f(x)在R上是减函数,且f(2)=-1,则满足
f(x1)>f(x2)
那么称y=f(x)在区间I上是增
那么称y=f(x)在区间I上是减函
函数,I称为y=f(x)的增区间
数,I称为y=f(x)的减区间
图示
名师点析 增(减)函数定义中的x1,x2的特征
(1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特
殊代替一般;
(2)有大小,通常规定x1<x2;
∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
1 -2
∴( +1)( +1)<0,即 y1-y2<0,y1<y2,
是增函数.
3.一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间用“,”隔开,或者用
“和”连接,不能用“并”或“且”连接.
微思考
1
函数y= x
在定义域上是减函数吗?
提示 不是.y=
1
1
在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说y= x
x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
微练习
且当0<x<1时,f(x)>0,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出理由.
解 f(x)在(0,+∞)上是减函数.
理由如下,设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,
1
∴f(x1)-f(x2)=f( ·x2)-f(x2)
21Leabharlann 1=f( )+f(x2)-f(x2)=f( ).
延伸探究把本例(2)条件“不具有单调性”改为“具有单调性”,求实数a的取
值范围.
解 由 f(x)在区间[1,2]上具有单调性可知-2≤1 或-2≥2,即 a≥-2 或 a≤-4.
故实数 a 的取值范围为(-∞,-4]∪[-2,+∞).
反思感悟函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反
∴f(x)=x+
1
在(0,1)上是减函数.
x
反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.
(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,
转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.
A.有且只有一个
B.有两个
C.至多一个
D.以上均不对
)
答案 D
解析 因为f(x)在R上是增函数,所以对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),反
之也成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意x∈R都无f(x)=0,则
f(x)=0无根.
二、函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上
具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间.
名师点析 1.区间I必为函数定义域A的子集,即I⊆A,所以单调性是函数定义
域内的局部性质.
2.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.如y=x在
整个定义域(-∞,+∞)上是增函数,y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上是减函数,但
y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,其在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上
“和”连接,如本例(3).
变式训练2(1)根据图象说出函数在每一单调区间上,是增函数还是减函数;
(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.
解 (1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.
(2)先画出
2 -2-3, < -1 或 > 3,
f(x)=
(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
2
-
+ 2 + 3, ≥ 0,
2
(3)因为 f(x)=-x +2|x|+3= 2
- -2 + 3, < 0.
根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可
知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[-1,0],[0,1],[1,+∞).
解 (1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),
= -2,
1 + + = 4,
∴
解得
= 5,
4 + 2 + = 5,
∴f(x)=x2-2x+5.
(2)由f(x)在区间[1,2]上不具有单调性可知1<- 2 <2,即-4<a<-2.
故实数a的取值范围为(-4,-2).
数的和“(x-y)+y”,利用所给的性质及条件,即可确定其单调性;类似地,“积型
抽象函数”(即“f(xy)=…”)只需将x拆成两个数的积“x=y·
(y≠0)”即可.
当堂检测
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误
的是(
)
A.函数在区间[-5,-3]上是增函数
情境导入
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关
研究.他经过测试,得到了以下一些数据:
时间间隔t
记忆量y
(百分比)
刚记忆 20分钟 60分钟 8~9小时
完毕
后
后
后
100
58.2
44.2
35.8
1天后 2天后 6天后
33.7
27.8
25.4
一个月
后
21.1
以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出
2
2
1
1
∵x1,x2∈(0,+∞),∴0< <1,∴f( )>0,
2
2
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.
点评一般地,若给出的抽象函数的性质为“f(x+y)=…”,则称这类抽象函数为
“和型抽象函数”,研究“和型抽象函数”的单调性的基本方法是将x拆成两个
f(x)在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
反思感悟1.求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间
要根据函数的自变量的取值范围分段求解;
(2)利用函数的图象,如本例(3).
2.若所求出函数的增区间或减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或
B.函数在区间[1,4]上是增函数
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上是减函数
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
答案 C
解析 由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上是减函数,单调区间不可以用并集
“∪”连接,故选C.
2.函数f(x)在R上是减函数,则有(
A.f(3)<f(5)
B.f(3)≤f(5)
∴2x-3>5x+6,即x<-3.
故实数x的取值范围为(-∞,-3).
素养形成
抽象函数的单调性
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.
判断抽象函数单调性的方法:
1.凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
2.赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.
典例 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y),
高中数学苏教版必修第一册
第5章 函数的概念与性质
5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
课标阐释
1.理解函数的单调性及其几何意义,
能运用函数图象理解和研究函数
的单调性.(直观想象)
2.会用函数单调性的定义判断(或
证明)一些函数的单调性.(逻辑推
理)
3.会求一些具体函数的单调区
间.(数学运算)
思维脉络
C.f(3)>f(5)
D.f(3)≥f(5)
)
答案 C
解析 ∵3<5,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)>f(5).
3.(2020北京北理工附中期中)下列函数在区间(0,+∞)上为增函数的是(
1
A.y=
||
B.y=
+1
C.y=(x-1)2+1
)
D.y=-x2
答案 B
1
1
1
解析 对于 A,当 x>0 时,y=|| = ,则函数 y=||在(0,+∞)上是减函数,故 A 错误;
(3)属于同一个单调区间.
这三个条件缺一不可.
微练习 1
下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是(
1
A.y=x
C.y=x2
)
B.y=x
D.y=1-x
答案 D
解析 函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,
故选D.
微练习 2
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根(
1
(1)f(x)=- ;(2)f(x)=
5-, < 1;
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
解 (1)函数f(x)=-
函数.
1
的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增
x
(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为
了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.
当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过
这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
知识点拨
一、增函数与减函数
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.
条件 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时都有
结论
f(x1)<f(x2)
的图象,如图.
2
-( -2-3),-1 ≤ ≤ 3
则y=|x2-2x-3|的减区间为(-∞,-1],[1,3];增区间
为[-1,1],[3,+∞).
探究三
函数单调性的综合应用
例3已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不具有单调性,求实数a的取值范围.
函数y=f(x)的图象如图所示,其减区间是(
)
A.[-4,4]
B.[-4,-3]和[1,4]
C.[-3,1]
D.[-3,4]
答案 B
解析 由图可知,函数y=f(x)的减区间为[-4,-3]和[1,4].故选B.
探究一
函数单调性的判断与证明
例1证明函数f(x)=x+
1
x
在(0,1)上是减函数.
证明 设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1<x2,
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
2
变式训练1试用函数单调性的定义证明f(x)=
在(1,+∞)上是减函数.
-1
2
证明 f(x)=2+ ,设 x1,x2 是区间(1,+∞)上的任意两个值,且 x1<x2.
-1
2(2 -1 )
2
2
则 f(x1)-f(x2)=
−
=
,
f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是
.
答案 (-∞,3)
解析 由f(2)=-1知,若满足f(2x-4)>-1,
则f(2x-4)>f(2).
又函数f(x)在R上是减函数,则2x-4<2,解得x<3,
所以实数x的取值范围为(-∞,3).
5.已知函数f(x)= (k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围
1 -1 2 -1 (1 -1)(2 -1)
因为1<x1<x2,
所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.
探究二
求函数的单调区间
例2求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是
减函数.
2 + 1, ≥ 1,
(2)若一个函数在区间[a,b]上具有单调性,则此函数在这一单调区间内的任
意子集上也具有单调性.
变式训练3已知函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),求实数x
的取值范围.
解 ∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),
是
.
答案 (-∞,0)
解析 结合反比例函数的单调性可知k<0.
6.证明:函数 y=
在(-1,+∞)上是增函数.
+1
证明
设 x1,x2 是区间(-1,+∞)上的任意两个值,且 x1<x2,
1
2
1 -2
则 y1-y2=
−
=
.
1 +1 2 +1 (1 +1)(2 +1)
∵-1<x1<x2,
1
1
则 f(x1)-f(x2)= 1 + − 2 +
1
2
2 -1
1
=(x1-x2)+ =(x1-x2) 1-
1 2
1 2
(1 -2 )(1 2 -1)
=
.
1 2
∵0<x1<x2<1,
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
+1-1
1
对于 B,函数 y= +1 =1-+1,在(-1,+∞)上是增函数,故 B 正确;
对于C,函数y=(x-1)2+1在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故C错误;
对于D,函数y=-x2在(0,+∞)上是减函数,故D错误.
故选B.
4.(2020浙江宁波高二期中)已知函数f(x)在R上是减函数,且f(2)=-1,则满足
f(x1)>f(x2)
那么称y=f(x)在区间I上是增
那么称y=f(x)在区间I上是减函
函数,I称为y=f(x)的增区间
数,I称为y=f(x)的减区间
图示
名师点析 增(减)函数定义中的x1,x2的特征
(1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特
殊代替一般;
(2)有大小,通常规定x1<x2;
∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
1 -2
∴( +1)( +1)<0,即 y1-y2<0,y1<y2,
是增函数.
3.一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间用“,”隔开,或者用
“和”连接,不能用“并”或“且”连接.
微思考
1
函数y= x
在定义域上是减函数吗?
提示 不是.y=
1
1
在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说y= x
x
在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
微练习
且当0<x<1时,f(x)>0,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出理由.
解 f(x)在(0,+∞)上是减函数.
理由如下,设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,
1
∴f(x1)-f(x2)=f( ·x2)-f(x2)
21Leabharlann 1=f( )+f(x2)-f(x2)=f( ).
延伸探究把本例(2)条件“不具有单调性”改为“具有单调性”,求实数a的取
值范围.
解 由 f(x)在区间[1,2]上具有单调性可知-2≤1 或-2≥2,即 a≥-2 或 a≤-4.
故实数 a 的取值范围为(-∞,-4]∪[-2,+∞).
反思感悟函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反
∴f(x)=x+
1
在(0,1)上是减函数.
x
反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.
(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,
转化为易判断正负的式子.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.
A.有且只有一个
B.有两个
C.至多一个
D.以上均不对
)
答案 D
解析 因为f(x)在R上是增函数,所以对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),反
之也成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意x∈R都无f(x)=0,则
f(x)=0无根.
二、函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上
具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间.
名师点析 1.区间I必为函数定义域A的子集,即I⊆A,所以单调性是函数定义
域内的局部性质.
2.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.如y=x在
整个定义域(-∞,+∞)上是增函数,y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上是减函数,但
y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,其在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上
“和”连接,如本例(3).
变式训练2(1)根据图象说出函数在每一单调区间上,是增函数还是减函数;
(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.
解 (1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.
(2)先画出
2 -2-3, < -1 或 > 3,
f(x)=
(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
2
-
+ 2 + 3, ≥ 0,
2
(3)因为 f(x)=-x +2|x|+3= 2
- -2 + 3, < 0.
根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可
知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[-1,0],[0,1],[1,+∞).
解 (1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),
= -2,
1 + + = 4,
∴
解得
= 5,
4 + 2 + = 5,
∴f(x)=x2-2x+5.
(2)由f(x)在区间[1,2]上不具有单调性可知1<- 2 <2,即-4<a<-2.
故实数a的取值范围为(-4,-2).
数的和“(x-y)+y”,利用所给的性质及条件,即可确定其单调性;类似地,“积型
抽象函数”(即“f(xy)=…”)只需将x拆成两个数的积“x=y·
(y≠0)”即可.
当堂检测
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误
的是(
)
A.函数在区间[-5,-3]上是增函数
情境导入
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关
研究.他经过测试,得到了以下一些数据:
时间间隔t
记忆量y
(百分比)
刚记忆 20分钟 60分钟 8~9小时
完毕
后
后
后
100
58.2
44.2
35.8
1天后 2天后 6天后
33.7
27.8
25.4
一个月
后
21.1
以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出
2
2
1
1
∵x1,x2∈(0,+∞),∴0< <1,∴f( )>0,
2
2
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.
点评一般地,若给出的抽象函数的性质为“f(x+y)=…”,则称这类抽象函数为
“和型抽象函数”,研究“和型抽象函数”的单调性的基本方法是将x拆成两个
f(x)在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
反思感悟1.求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间
要根据函数的自变量的取值范围分段求解;
(2)利用函数的图象,如本例(3).
2.若所求出函数的增区间或减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或
B.函数在区间[1,4]上是增函数
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上是减函数
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
答案 C
解析 由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上是减函数,单调区间不可以用并集
“∪”连接,故选C.
2.函数f(x)在R上是减函数,则有(
A.f(3)<f(5)
B.f(3)≤f(5)
∴2x-3>5x+6,即x<-3.
故实数x的取值范围为(-∞,-3).
素养形成
抽象函数的单调性
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.
判断抽象函数单调性的方法:
1.凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
2.赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.
典例 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y),
高中数学苏教版必修第一册
第5章 函数的概念与性质
5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
课标阐释
1.理解函数的单调性及其几何意义,
能运用函数图象理解和研究函数
的单调性.(直观想象)
2.会用函数单调性的定义判断(或
证明)一些函数的单调性.(逻辑推
理)
3.会求一些具体函数的单调区
间.(数学运算)
思维脉络
C.f(3)>f(5)
D.f(3)≥f(5)
)
答案 C
解析 ∵3<5,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)>f(5).
3.(2020北京北理工附中期中)下列函数在区间(0,+∞)上为增函数的是(
1
A.y=
||
B.y=
+1
C.y=(x-1)2+1
)
D.y=-x2
答案 B
1
1
1
解析 对于 A,当 x>0 时,y=|| = ,则函数 y=||在(0,+∞)上是减函数,故 A 错误;
(3)属于同一个单调区间.
这三个条件缺一不可.
微练习 1
下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是(
1
A.y=x
C.y=x2
)
B.y=x
D.y=1-x
答案 D
解析 函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,
故选D.
微练习 2
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根(
1
(1)f(x)=- ;(2)f(x)=
5-, < 1;
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
解 (1)函数f(x)=-
函数.
1
的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增
x
(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为
了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.
当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过
这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
知识点拨
一、增函数与减函数
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.
条件 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时都有
结论
f(x1)<f(x2)
的图象,如图.
2
-( -2-3),-1 ≤ ≤ 3
则y=|x2-2x-3|的减区间为(-∞,-1],[1,3];增区间
为[-1,1],[3,+∞).
探究三
函数单调性的综合应用
例3已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不具有单调性,求实数a的取值范围.
函数y=f(x)的图象如图所示,其减区间是(
)
A.[-4,4]
B.[-4,-3]和[1,4]
C.[-3,1]
D.[-3,4]
答案 B
解析 由图可知,函数y=f(x)的减区间为[-4,-3]和[1,4].故选B.
探究一
函数单调性的判断与证明
例1证明函数f(x)=x+
1
x
在(0,1)上是减函数.
证明 设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1<x2,
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
2
变式训练1试用函数单调性的定义证明f(x)=
在(1,+∞)上是减函数.
-1
2
证明 f(x)=2+ ,设 x1,x2 是区间(1,+∞)上的任意两个值,且 x1<x2.
-1
2(2 -1 )
2
2
则 f(x1)-f(x2)=
−
=
,
f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是
.
答案 (-∞,3)
解析 由f(2)=-1知,若满足f(2x-4)>-1,
则f(2x-4)>f(2).
又函数f(x)在R上是减函数,则2x-4<2,解得x<3,
所以实数x的取值范围为(-∞,3).
5.已知函数f(x)= (k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围
1 -1 2 -1 (1 -1)(2 -1)
因为1<x1<x2,
所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.
探究二
求函数的单调区间
例2求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是
减函数.
2 + 1, ≥ 1,