河北唐山市2015届高三数学摸底考试试题 理

河北省唐山市2015届高三摸底考试数学〔理〕试题
说明：
1．本试卷分为第1卷和第2卷，第1卷为选择题，第2卷为非选择题，分为必考和选考两个局部.
2．答题前请仔细阅读答题卡上的“须知事项〞，按照“须知事项〞的规定答题.
3．做选择题时，每一小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.
4．考试完毕后，将本试卷与原答题卡一并交回.
第1卷
一、选择题(本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求)
1、集合M ＝{x |x ≥－1}，N ＝{x |2－x 2
≥0}，如此M ∪N ＝( )
A .[－1，＋∞)
B .[－1]
C .[，＋∞)
D .(]∪[－1，＋∞)
2、复数z ＝1312i i
-+，如此( )
A .|z |＝2
B .z 的实部为1
C .z 的虚部为－i
D .z 的共轭复数为－1＋i
3、函数f (x )＝222
x x
--是( )
A .偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B .奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C .偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D .奇函数，在(0，＋∞)是减函数
4、抛物线y ＝2ax 2
(a ≠0)的焦点是( )
A .(2
a ，0)
B .(2
a ，0)或(－2
a ，0)
C .(0，18a
)
D .(0，18a
)或(0，－18a
)
5、1sin()44
x π-=，如此sin 2x 的值为( )
A .78
B .916
C .1516
D .1516
±
6、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，甲乙相邻，如此甲丙相邻的概率为( )
A .13
B .23
C .12
D .16
7、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，如此|a －tb |(t ∈R )的最小值为( )
A .32
B .12
C .1
D .2
8、a ＞0，x ，y 王满足约束条件13(3)
x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，且z ＝2x ＋y 的最小值为1，如此a ＝( )
A .1
B .2
C .14
D .12
9、执行如下列图的程序框图，如此输出的a ＝( )
A .5
B .54
C .14
-D .45
10、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移2
π个单位长度，所得图象关于6x π=对称，
如此ω的最小值是( )
A .6
B .23
C .94
D .34
11、a ＞0，且a ≠1，如此函数f (x )＝a x ＋(x －1)2
－2a 的零点个数为( )
A .1
B .2
C .3
D .与a 有关
12、某几何体的三视图如下列图，如此该几何体的外接球的球面面积为( )
A .5π
B .12π
C .20π
D .8π
第2卷
二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分 13、8(2)x y -的展开式中62x y 的系数是___________.
14、实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，如此3x
＋9y
的最小值是________________.
15、双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线l ：30x y +=垂直，C 的一个焦点
到l 的距离为1，如此C 的方程为__________________. 16、在△ABC 中，2AB =
，点D 在边BC 上，2BD DC =，310cos 10DAC ∠=
，25
cos 5
C ∠=，如此AC ＋BC ＝_________________.
三、解答题：本大题共70分，其中(17)－(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17(本小题总分为12分)
等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝kn (n ＋1)－n (k ∈R )，公差d 为2. (1)求a n 与k ；
(2)假设数列{b n }满足12b =，12n a
n n b b n --=⋅(n ≥2)，求b n .
18(本小题总分为12分)
某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。

(1)求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；
(2)设X ，Y 分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ).
19(本小题总分为12分)
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点. (1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；
(2)假设AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值.
20(本小题总分为12分)
椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为35，P (m ，0)为C 的长轴上的一个动点，过P 点斜率为
4
5
的直线l 交C 于A 、B 两点.当m ＝0时，41
2
PA PB ⋅=- (1)求C 的方程；
(2)证明：22
||||PA PB +为定值.
21(本小题总分为12分) 函数f (x )＝2e x
－ax －2(a ∈R ) (1)讨论函数的单调性；
(2)假设f (x )≥0恒成立，证明：x 1＜x 2时，12121
()()
2(1)x f x f x e x x ->--
请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22(本小题总分为10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，⊙O 过平行四边形ABCT 的三个顶点B ，C ，T ，且与AT 相切，交AB 的延长线于点D . (1)求证：AT 2
＝BT ·AD ；
(2)E 、F 是BC 的三等分点，且DE ＝DF ，求∠A .
23(本小题总分为10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C ：
2sin 2cos a ρθθ=(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为2
224x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)，l 与C 分别交于M ，N .
(1)写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)假设|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值.
24(本小题总分为10分)选修4－5：不等式选讲 设函数4
()||||f x x x m m
=-
++(m ＞0) (1)证明：f (x )≥4；
(2)假设f 〔2〕＞5，求m 的取值范围。

唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案
所以b n ＝2(1－4n )9＋23n 4n ＝2[(3n －1)·4n
＋1]
9.…11分
明显，n ＝1时，也成立．
综上所述，b n ＝2[(3n －1)·4n
＋1]
9．…12分
〔18〕〔本小题总分为12分〕
解：
〔Ⅰ〕设5名大学生中恰有i 名被分到体操项目的事件为A i ，〔i ＝0，1，2，3，4，5〕，
如此P (A 2)＝C 25C
3325＝5
16．…4分
〔Ⅱ〕ξ的所有可能取值是1，3，5．
P (ξ＝1)＝P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝C 25C 3325 ＋C 35C 2
225＝5
8；
P (ξ＝3)＝P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝C 15C 4425 ＋C 45C 1125＝5
16；
P (ξ＝5)＝P (A 1＋A 4) ＝P (A 0)＋P (A 5)＝C 05C 5525 ＋C 5525＝1
16．
如此随机变量ξ的分布列为
分
如此ξ的数学期望E (ξ)＝1×58＋3×516＋5×116＝15
8
．…12分
〔19〕〔本小题总分为12分〕
解：
〔Ⅰ〕连接A 1C ，交AC 1于点E ， 如此点E 是A 1C 与AC 1的中点． 连接DE ，如此DE ∥A 1B ． 因为DE ⊂平面ADC 1， 所以A 1B ∥平面ADC 1．…4分
〔Ⅱ〕建立如下列图空间直角坐标系A －xyz ． 如此A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，
C 1(0，1，2)
D (12，12
，0)，
AD →＝(12，12，0)，AC 1→＝(0，1，2)．…6分
设平面ADC 1的法向量 m ＝(x ，y ，z )，如此
⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12
y ＝0，
y
＋2z ＝0，
不妨取m ＝(2，－2， 1)．…9分
易得平面ABA 1的一个法向量n ＝AC →＝(0，1，0)．…10分
cos<m ，n >＝m ·n |m ||n |＝23
，
平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值是5
3
．…12分 〔20〕〔本小题总分为12分〕
解：
〔Ⅰ〕因为离心率为 3 5，所以b a ＝ 4
5．
当m ＝0时，l 的方程为y ＝
4
5
x ， 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1并整理得x 2
＝ a 2
2
．…2分
设A (x 0，y 0)，如此B (－x 0，－y 0)，
PA →·PB →＝－x 02－y 02＝－ 41 25x 02＝－ 41 25· a 2
2．
又因为PA →·PB →＝－41
2，所以a 2＝25，b 2＝16，
椭圆C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1．…5分
〔Ⅱ〕l 的方程为x ＝ 5 4y ＋m ，代入x 2
25＋y 216＝1并整理得25y 2＋20my ＋8(m 2
－25)＝0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
如此|PA |2＝(x 1－m )2＋y 12＝4116y 12，同理|PB |2
＝4116y 22．…8分
如此|PA |2＋|PB |2＝4116( y 12＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2
－2y 1y 2]
＝4116[(－ 4m 5)2－16(m 2
－25)
25]＝41． 所以，|PA |2
＋|PB |2是定值．…12分
〔21〕〔本小题总分为12分〕
解：
〔Ⅰ〕f '(x )＝2e x
－a ．
假设a ≤0，如此f '(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
假设a ＞0，如此
当x ∈(－∞，ln a
2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；
当x ∈(ln a
2
，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．…4分
〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知假设a ≤0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，故f (x )≥0不恒成立．
假设a ＞0，如此由f (x )≥0＝f (0)知0应为极小值点，即ln a
2＝0，
所以a ＝2，且e x
－1≥x ，当且仅当x ＝0时，取“＝〞．…7分 当x 1＜x 2时，f (x 2)－f (x 1)＝2(e x 2
－e x 1
)－2(x 2－x 1)
＝2e x 1
(e
x 2－x 1
－1)－2 (x 2－x 1)
≥2e x 1(x 2－x 1)－2(x 2－x 1) ＝2(e x 1
－1) (x 2－x 1)，
所以
f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
＞2(e x 1
－1)．…12分
注：假设有其他解法，请参照评分标准酌情给分．
〔22〕〔本小题总分为10分〕选修4-1：几何证明选讲
解： 〔Ⅰ〕证明：
因为∠A ＝∠TCB ，∠ATB ＝∠TCB ， 所以∠A ＝∠ATB ，所以AB ＝BT . 又AT 2
＝AB ⋅AD ，所以AT 2
＝BT ⋅AD ．…4分 〔Ⅱ〕取BC 中点M ，连接DM ，TM ． 由〔Ⅰ〕知TC ＝TB ，所以TM ⊥BC ．
因为DE ＝DF ，M 为EF 的中点，所以DM ⊥BC ． 所以O ，D ，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径． 所以∠ABT ＝∠DBT ＝90︒. 所以∠A ＝∠ATB ＝45︒.
…10分
〔23〕〔本小题总分为10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
解：
〔Ⅰ〕曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax 〔a ＞0〕； 直线l 的普通方程为x －y －2＝0．…4分
〔Ⅱ〕将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得
t 2－2(4＋a )2t ＋8(4＋a )＝0 〔*〕
△＝8a (4＋a )＞0．
设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根． 如此|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|． 由题设得(t 1－t 2)2
＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝|t 1t 2|． 由〔*〕得t 1＋t 2＝2(4＋a )2，t 1t 2＝8(4＋a )＞0，如此有 (4＋a )2
－5(4＋a )＝0，得a ＝1，或a ＝－4． 因为a ＞0，所以a ＝1．…10分
〔24〕〔本小题总分为10分〕选修4-5：不等式选讲
解：
〔Ⅰ〕由m ＞0，有f (x )＝|x －4
m |＋|x ＋m |
≥|－(x －4m )＋x ＋m |＝4
m
＋m ≥4，
当且仅当4
m ＝m ，即m ＝2时取“＝〞．所以f (x )≥4．…4分 〔Ⅱ〕f (2)＝|2－4
m
|＋|2＋m |．
当4m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m －4m ＋4，由f (2)＞5，得m ＞1＋172． 当4m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝4
m
＋m ，由f (2)＞5，0＜m ＜1．
综上，m 的取值范围是(0，1)∪(1＋17
2，＋∞)．…10分。