初中一次函数涉及的12个易错点剖析

初中一次函数涉及的12个易错点剖析
【知识点1】
一、函数的概念
在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

二、函数的三种表示法:
（1）图像法(“形”）；（2）列表法（“数”）；（3）公式法（“式”）.
【易错点1】对函数概念理解不清
例题1 下列等式：y=|x|，|y|=x,5x2-y=0,x2-y2=0,其中表示y是x的函数的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.4个
【错解】D
【错因】一个等式是不是函数，必须同时满足两个要求。

一是有两个变量；二是在两个变量x与y的对应关系中，x每确定一个值，y必须只有唯一的值与之对应.本题错解中没有正确地理解函数的概念，错误地认为|y|=x和x2-y2=0也是函数。

事实上，这两个等式中，对于x每取一个值，y并不与之唯一对应，所以在|y|=x和x2-y2=0中，y不是x的函数。

【正解】C
巩固1 下列各选项中，不是函数的是（）
【错解】A或B或D
【正解】C.
巩固2 有下列关系：①长方形的长一定时，其面积y 与宽x ；②高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y 与行驶的时间x ；③y 2
=x ；④y =x 2
.其中，y 是x 的函数关系的有 （填序号）.
【错解】①②③④ 【正解】①②④
【小结】由函数的概念可知，判断y 是x 的函数的关键是对于自变量x 取的每一个值，都有唯一的y 值与之对应。

【易错点2】考虑问题不全面，求自变量的取值范围时出错
例题2 求函数y =
【错解】依题意，得10
210
x x -≥⎧⎨
->⎩ ，解之得x ≥1,所以自变量的取值范围是x ≥1
【错因】错解中思考问题不全面，被开方数1
021x x -≥-时有两种情况，即10210x x -≥⎧⎨->⎩或10
210
x x -≤⎧⎨
-<⎩，错解漏掉了第二种情况。

【正解】依题意，得1
021x x -≥-，∴（I ）10210x x -≥⎧⎨->⎩或（II ）10210x x -≤⎧⎨-<⎩
解不等式组（I ），得x ≥1 等式组（I ），得12
x <
∴解不自变量的取值范围是x ≥1或12
x <
巩固3 函数y =
x 的取值范围为 . 【错解】x ≥-1。

【正解】x ≥-1且x ≠0。

巩固4 函数1
y x =
-x 的取值范围为 . 【错解】x ≥1。

【正解】x >1。

【小结】当函数用自变量的二次根式和分式形式表示时，要保证根式和分式都要有意义。

【易错点3】忽视自变量的实际应用
例题3 一支蜡烛长20cm ，若点燃后每小时燃烧5cm ，则表示蜡烛剩余的长度y (cm )与燃烧时间z （h )之间的函数关系的图象大致为（ ）
【错解】D
【错因】依题意，得蜡烛剩余的长度y （cm )与燃烧时间x （h )之间的函数关系式为y =20-5x .当y =0时，即蜡烛燃烧完，则有20-5x =0，解得x =4，即长20cm 的蜡烛最多只能燃烧4h .本题的错解正是忽视了蜡烛燃烧的实际时间。

【正解】C
巩固5 用边长为1的等边三角形拼成如图所示的图形，用y表示拼成的图形的周长，用n 表示其中等边三角形的个数，显然拼成的图形的周长y是n的函数。

(1)填写下表：
(2)试用公式法表示这个函数关系；
(3)试用图像法表示这个函数关系.
【错解】（1）列表
（2）y=n+2(n为正整数，1≤n≤10)
（3）画图像如下图所示。

【正解】（1）列表
（2）y=n+2(n为正整数，1≤n≤10)
（3）画图像如下图所示。

巩固6 已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）
【小结】在实际问题中求自变量的取值范围时，不但要考虑自变量的取值要使表达式有意义，还要考虑问题的实际意义。

A B C D 【错解】A 或B 或C . 【正解】D .
【知识点2】
一次函数与正比例函数的定义：
一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，k ≠0）的函数称为一次函数. 特别地，当b =0时，y =kx (k 为常数，k ≠0）也叫作正比例函数.
【易错点4】忽视一次函数y =kx +b 的条件k ≠0而致错 例题4 当m 为何值时，函数28
(3)3m y m x
-=-+是一次函数?
【错解】∵一次函数自变量的次数是1，∴有m 2
-8=1，即m 2
=9，解得m =±3，所以当m =±3时，函数28
(3)3m y m x
-=-+是一次函数。

【错因】一次函数的表达式y =kx +b 必须满足k ，b 为常数，且k ≠0，也就是说，要使2
8(3)3m y m x -=-+是一次函数，需要满足m -3≠0，且m 2
-8=1.而错解忽略了m -3≠0这一条
件。

【正解】∵28
(3)3m y m x
-=-+是一次函数，∴必须满足m -3≠0，且m 2-8=1，解得m =-3.
∴当m =-3时，函数28
(3)3m y m x -=-+是一次函数。

巩固7 下列关于x的函数:①y=kx；②y=2
3
x；③y=x2'-（x-1)x；④y=x2+1；⑤y=22-x.一定
是一次函数的有（）
A.3个
B.2个
C.4个
D.5个【错解】B或C或D.
【正解】A.
①y=kx当k=0时原式不是函数；
②y=2
3
x是一次函数；
③由于y=x2-（x-1）x=x，则y=x2-（x-1）x是一次函数；
④y=x2+1自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤y=22-x=-x+4是一次函数．
故选A。

【小结】：y=kx+b是一次函数的条件是k，b为常数，k≠0，自变量的次数为1；在求一次函数中字母参数的值时，要牢记两点：（1）一次项系数k（有时是含其他字母的代数式）不等于0；（2)自变量x的指数为1。

【易错点5】混淆一次函数与正比例函数的概念而出错
例题5 如果y是x的正比例函数，x是z的一次函数，那么y是z的（）
A.正比例函数
B.一次函数
C.正比例函数或一次函数
D.不构成函数关系
【错解】A或B
【错因】根据正比例函数的定义，得y=kx；根据一次函数的定义，得x=k1z+b，代入即可得出y与z的函数关系为y=kk1z+kb.当b≠0时，y是z的一次函数；当b=0时，y是z的正比例函数。

综上所述，y是z的一次函教或正比例函数.错解忽略了对b的取值问题的分析，同时要注意正比例函数是一种特殊的一次函数。

【正解】C
例题6 若1
2a y x
a -=++为正比例函数，则a 的值为（ ）
A .4
B .2±
C .-2
D .2 【错解】B
【错因】正比例函数是一种特殊的一次函数。

错解忽略了对b 的取值问题的分析。

正确的解法为：依题意得11a -=且a +2=0,解得a =-2.故选C . 【正解】C
巩固8 当m = 时，函数23
612m y x m -=--是正比例函数。

【错解】2±.
【正解】2-.点拨：依题意，得：m 2
-3=1且-6m -12=0，解得m =2-。

【小结】一次函数解析式y =kx +b (k ≠0)的结构特征：（1)k ≠0，（2）x 的次数是1，（3）常数项b 为任意实数。

正比例函数解析式y =kx (k ≠0)的结构特征：（1)k ≠0，（2）x 的次数是1，（3）常数项b =0。

正比例函数与一次函数之间的关系：正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.
【知识点3】
一、一次函数的图象： 一次函数的图象是一条直线.
二、k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的作用：
①k >0,图象是从左向右上升的，y 随x 的增大而增大；k <0,图象是从左向右下降的，y 随x 的增大而减小.
②b >0,图象与y 轴交于正半轴；b =0，图象过原点；b <0,图象与y 轴交于负半轴. 三、直线y kx b =+与两坐标轴的交点坐标及围成的三角形面积公式： 直线y kx b =+与x 轴的交点坐标为（b
k
-
，0），与x 轴的交点坐标为（0，b ），与两坐标轴围成的三角形面积公式为：2
122b b S b k k
=-⨯=。

【易错点6】确定字母的取值范围时，忽略正比例函数是一次函数的特例
例题7 已知一次函数y =（2m +1）x +m +1的图象不经过第一象限，求m 的取值范围. 【错解】由题意，得2m +1<0，且m +1<0，即m <1
2
-
，且m <-1， ∴m <-1. 【错因】只考虑了b <0，未考虑b =0的情况。

本题没有指明此函数是否为正比例函数，因为正比例函教是特殊的一次函数，所以我们要考虑此函数是正比例函数的情况。

【正解】由题意，得2m +1<0，且m +1≤0，即m <1
2
-，且1m ≤-， ∴1m ≤-.
巩固9 已知一次函数y =（a -2）x +a +1的图象不经过第三象限，则m 的取值范围为 . 【错解】12a -<< 【正解】12a -≤<
【小结】根据一次函数的图象或性质确定一次函数中某些字母的取值时，忽略了正比例函数也是一次函数的特例，由于思维不严密导致漏解。

【易错点7】不能正确利用k 、b 对直线y =kx +b 的位置或一次函数y =kx +b 的增减性的影响来解题
例题8 下列图像中，不可能是关于x 的一次函数y =mx -(m -3)的图像的是（ ）。

A B C D 【错解】B
【错因】A 、由函数图象可知，0
(3)0
m m >⎧⎨
-->⎩，解得：0＜m ＜3；
B 、由函数图象可知，0
(3)0m m >⎧⎨
--=⎩
，解得：m =3；
C 、由函数图象可知，0
(3)0
m m <⎧⎨
--<⎩，解得：m ＜0，3＜m ， ∴无解
D 、由函数图象可知，0
(3)0m m <⎧⎨
-->⎩
，解得m ＜0
故选C . 【正解】C .
巩固10 对于函数y =-k 2
x （k 是常数，k ≠0）的图象，下列说法不正确的是（ ） A .是一条直线 B .过点（
1
k
，-k ） C .经过第一、三象限或第二、四象限 D .y 随着x 增大而减小 【错解】A 或B 或D 【正解】C .
函数y =k 2
x （k 是常数，k ≠0）符合正比例函数的形式． A 、正确，正比例函数的图象是一条直线；
B 、正确，∵当1x k =
时，2
1y k k k =⨯=C 、错误，∵k 是常数，k ≠0，∴k 2
＞0，∴函数的图象经过一、三象限； D 、正确，是增函数，故y 随着x 的增大而增大． 故选C
巩固11 已知正比例函数y =一kx 的图象经过第一、三象限，P 1(x 1，y 1），P 2（.x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)三点在函数y =（k -2）x 的图象上，且x 1>x 3>x 2，则y 1，y 2，y 3为的大小关 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 1<y 2<y 3 D .y 1<y 3<y 2 【错解】B 【正解】D .
正比例函数y =-kx 的图象经过第一、三象限，∴-k >0，∴k <0，∴k -2<0，.对于函数y =（k -2)x 来说，y 随x 的增大而减小，∴当x 1>x 3>x 2时，y 1<y 3<y 2.
【小结】对于一次函数y =kx +b ，若k >0，则其图像从左至右呈上升趋势,此时，y 随x 的增大而增大；若k <0，则其图像从左至右呈下降趋势此时，y 随x 的增大而减小；若b >0，则图像交于y 轴正半轴；若b <0，则交于y 轴负半轴；若b =0，则交于原点；反之亦然。

【易错点8】对图像分析不够，忽视分类讨论致错
例题9 已知一次函数y =kx +2的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求此一次函数
的表达式。

【错解】一次函数y=kx+2的图像与y轴、x轴的交点分别是（0，2），（
2
k
-，0），
因为1
2
×2×（
2
k
-）=4，解得在k=
1
2
-，
所以一次函数的表达式是y=
1
2
-x+2。

【错因】错解忽视了函数图像与x轴的交点（
2
k
-，0）到原点的距离应该为
2
k
-而漏解。

【正解】一次函数y=kx+2的图像与y轴、x轴的交点分别是（0.2），（
2
k
-，0)，
图像与两坐标轴围成的三角形面积是1
2
×2×
2
k
-=4，解得k=
1
2
±。

所以一次函数的表达式是y=1
2
x+2或y=
1
2
-x+2。

巩固12 如图，已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=2A0.求△ABP的面积。

【错解】令y=0，则由0=2x+4，得x=-2. ∴点A的坐标为A（-2，0），A0=2.
令x=0，则y=2×0+4=4，∴点B的坐标为B（0，4），B0=4 ∴PO=2A0=4，
又∵点P在坐标轴上，
∴AP=6
∴S△ABP=1
2
AP×BO=
1
2
×6×4=12.
【正解】令y=0，则由0=2x+4，得x=-2. ∴点A的坐标为A（-2，0），A0=2. 令x=0，则y=2×0+4=4，∴点B的坐标为B（0，4），B0=4 ∴PO=2A0=4，
又∵点P在坐标轴上，∴点P有如下四种情况：
（1）当点P在x轴的负半轴上时，AP=2 ∴S△ABP=1
2
AP×BO=
1
2
×2×4=4.
（2）当点P在x轴的正半轴上时，P A=6，∴S△ABP=1
2
AP×BO=
1
2
×6×4=12.
（3）当点P在y轴的负半轴上时，PB=PO+OB=4+4=8, ∴S△ABP=1
2
PB×BO=
1
2
×8×2=8.
（4）当点P在y轴的正半轴上时，点P，B重合，△ABP不存在。

巩固13 在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y=kx+b交x轴于点A（-2,0），交y轴于点B.若△A0B的面积为8，则k的值为（）
A.1
B.-4
C.4
D.4或-4
【错解】C
【正解】D.
1
故答案为：4或-4．
【小结】一次函数y=kx+b(k≠0）的图像位置与k，b的符号有关，当题中没有明确k的符号时，需对该一次函数图像的位置情况进行全面分析。

【知识点4】
待定系数法
1.定义：先设出函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法.
2.步骤：
“一设”：设出一次函数解析式的一般形式y＝kx+b（k≠0）；
“二列”：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组；“三解”：解这个方程组，求出k、b的值；
“四还原”：将已求得的k、b的值再代入y＝kx+b（k≠0）中，从而得到所要求的一次函数的解析式．
【易错点9】用待定系数法求函数表达式时代值弄错了x、y的取值
例题10 已知直线y=kx+b经过点A（1,3）和点B（-1,1），求该直线的函数表达式。

【错解】将点（1,3）和点B（-1,1）代入y=kx+b，得：
13
1
k b
k b
=+
⎧
⎨
-=+
⎩，
解得：
1
2
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴该直线的函数表达式为y=x-2
【错因】错解在于将函数图像上的点的坐标代入函数解析式时弄错了对应关系，横坐标只能代替x的值，纵坐标只能代替y的值，负责就会出现错误。

【正解】将点（1,3）和点B（-1,1）代入y=kx+b，得：
3
1
k b
k b
+=
⎧
⎨
-+=
⎩，
解得
1
2
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
∴该直线的函数表达式为y=x+2
巩固14 如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．
（1）写出点P2的坐标；
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；
（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．
【错解】(1)P2（3，3）.
（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），
∵点P1（2，1），P2（3，3）在直线l上，
∴
2
33
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
,解得
1
2
3
2
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
.
直线l所表示的一次函数的表达式为
13
.
22 y x
=+
（4）点P3在直线l上.由题意知点P3的坐标为（6，9），
∵
13
69
22
=⨯+，∴点P3在直线l上.
【正解】(1)P2（3，3）.
（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），∵点P1（2，1），P2（3，3）在直线l上，
∴
21
33
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,解得
2
3
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
.
直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x-3.
（3）点P3在直线l上.由题意知点P3的坐标为（6，9），
∵2×6-3=9，∴点P3在直线l上.
【小结】（1）将直线y=kx+b上的点（m，n)代入表达式y=kx+b中时，m只能代替x，n只能代替y，不能弄反；（2)求出方程组的解后，应将k，b的值代入每个方程检验无误后再代回表达式。

【易错点10】根据一次函数性质求表达式时，只考虑了k>0的情况，而忽略了k<0的情况。

例题11 一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是-2≤y≤4，则kb的值为（）
A.12
B.-6
C.-6或-12
D.6或12
【错解】B
【错因】根据一次函数的性质，分k>0和k<0两种讨论求解.
（1）当k>0时，y随x的增大而增大，.当x=0时，y=-2，当x=2时，y=4，代入一次函数表
达式y=kx+b,得
2
24
b
k b
=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
3
2
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴kb=3×（-2）=-6
（2）当k<0时，y随x的增大而减小，.当x=0时，y=4，当x=2时，y=-2，代入一次函数表
达式y=kx+b,得
4
22
b
k b
=
⎧
⎨
+=-
⎩
，解得
3
4
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴kb=（-3）×4=-12。

【正解】C.
巩固15 若点A(m，n）在直线y=kx（k≠0）上，当一1≤m≤1时，一1≤n≤1，则这条直线的函数表达式为 .
【错解】y=x。

【正解】y=x或y=-x。

将点A(m，n）代入y=kx中，得：n=km
（1）当k>0时，n随m的增大而增大，
∴当m=-1时，n=-1，代入一次函数表达式n=km,得-1=k，
解得k=1，
∴y=x
（2）当k<0时，n随m的增大而减小，
∴当m=-1时，n=1，代入一次函数表达式n=km,得1=-k，
解得k=-1，
∴y=-x。

综上所述，这条直线的函数表达式为y=x或y=-x。

【小结】在根据一次函数的性质求表达式时，若没有明确前提，则要分情况讨论，避免出现漏解，对于一次函数y=kx+b而言，若没有明确k的正负，那么了可能随x增大而增大，也可能随x增大而减小。

【易错点11】审题不严错设解析式导致出错
例题12 已知y与x-1成正比例，且当x=-5时，y=2，求y与x的函数关系式。

【错解】设y=kx，把x=-5，y=2代入得2=-5k，解得
2
5 k=-
∴y与x的函数关系式为
2
5
y x =-。

【错因】由y与x-1成正比例，根据正比例函数的定义设出函数解析式应为y=k（x-1），再把当x=-5时，y=2代入求出k的值即可．错解不能正确理解自变量即可是单个的字母，也可以是多项式.
【正解】设y=k（x-1），
把x=-5，y=2代入得：2=（-5-1）k，解得
1
3 k=-
∴y与x的函数关系式为
111
1)
333
y x x
=--=-+
（。

巩固16 已知y 是x +2的一次函数，当x =3时，y =1；当x =-2时，y =-4.求y 与x 的函数关系式。

【错解】设y =kx +b ，
将x =3，y =1和x =-2，y =-4分别代入，得：
.3124k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：12k b =⎧⎨=-⎩
∴y 与x 的函数关系式为y =x -2. 【正解】设y =k （x +2）+b ,
将x =3，y =1和x =-2，y =-4分别代入，得：514k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：14k b =⎧⎨=-⎩
∴y 与x 的函数关系式为y =（x +2）-4=x -2..
【小结】当y 与x 成一次比例函数关系时，这里的y 与x 可以代表单独的一个字母,也可以代表单项式或多项式。

【知识点5】
一、一次函数与一元一次方程的关系
①任何一元一次方程到可以转化为kx +b =0（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y =kx +b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.
②如果直线y =kx +b 经过点（m ,n ）,则km +b =n （km +b －n =0），所以关于x 的方程kx +b =n （kx +b
－n =0）的解为x =m .
二、一次函数与二元一次方程（组）的关系
①.y =kx +b (k ≠0)就是一个关于x 、y 的二元一次方程；
②.求两直线y =k 1x +b 1 (k 1≠0)，y =k 2x +b 2 (k 2≠0)的交点坐标就是解关于x 、y 的方程组
11
22
y k x b y k x b =+⎧⎨
=+⎩的解； 三、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为kx +b >0或kx +b <0（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 【易错点12】不能从函数图象中获取正确的信息
例题13 小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S （单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如下图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了20km；
（2）小陆全程共用了1.5h；
（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；
（4）小李在途中停留了0.5h．
其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【错解】B或C或D.
【错因】先注意横、纵坐标表示的意义，再观察图象可得他们都行驶了20km；小陆从0.5h 出发，2h到达目的地，全程共用了2-0.5=1.5(h)，容易误认为用了2h；小陆追上小李时，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据“速度=路程÷时间”可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5h后停留了0.5h.根据上述信息分别对4种说法进行判断，可知4种说法都正确.
故选A.
【正解】A。

巩固17 甲乙两人准备在一段长为1200m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（）
【错解】A或D
【正解】C.点拨：因为甲乙速度分别为4米每秒和6米每秒，所以乙追上甲要100÷（6-4）=50（秒）,此时两人距离出发点：6×50=300（米）;
因此在乙追上甲前（t<50），两人距离为甲到出发点距离－乙到出发点距离
∴y=4t+100-6t=100-2t（t<50）
可以判断乙先到达终点，此时用1200÷6=200（秒）
乙追上甲后，两人距离为乙到出发点距离－甲到出发点距离∴y=6t-（4t+100）=2t-100（50≤t≤200）
故选C.
巩固18 如图，OA，BA分别表示甲、乙两人的运动图象．请根据图象回答下列问题．（1）甲的速度为______千米/时．
（2）如果用t表示时间，s表示路程，那么甲、乙．两人运动的函数表达式是：
甲：，乙：。

【错解】（1）4；（2）S甲=3t+5,S乙=4t.
【正解】（1）3；（2）S甲=3t+5,S乙=4t.
【小结】:当问题中的数量关系通过过图象表示时，理解x轴、y轴所代表的实际含义是解决图像信息题的关键，尤其要注意的是图象与坐标轴的交点及图象与图象的交点。

如果不能够正确理解图象所表达的意义就很容易出现错误。

【易错点13】没有弄清一次函数与方程（组）、不等式（组）之间关系或不能正确利用一次函数图象解方程（组）、不等式（组）
例题14 一次函数y=kx+b(k≠0，k、b为常数)的图像经过（
8
3
-，1），则方程kx+b=1的解
为x= 。

【错解】1
【错因】∵一次函数y=kx+b(k≠0，k、b为常数)的图像经过（
8
3
-，1），∴
8
1
3
k b
-+=
∴方程kx+b=1的解为x=
8 3 -
【正解】
8 3 -
例题15 一次函数y=ax+b的图象如下图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（）
A. x≥2
B. x≤2
C. x≥4
D.x≤4
【错解】:A或C或D
【错因】由图可知:直线y=ax+b与x轴交于点（2,0），∴当x=2时，y=0;在点（2,0）的左侧，直线y=ax+b在x轴的上方，∴当x<2时，y>0;在点（2,0）的右侧，直线y=ax+b在x 轴的下方，∴当x>2时，y<0.所以可得不等式ax+b≥0的解集是x≤2
选B
【正解】B
例题16 如图，直线y x b =+和 2y k x =+与x 轴分别交于点(2,0)A -，点(3,0)B ，则
20
x b kx +>⎧⎨
+>⎩解集为( )
A. 2x <- B . 3x >
C . 2x <-或3x >
D . 23x -<<
【错解】A 或B 或C 。

【错因】直线y =x +b 和y =kx +2与x 轴分别交于点A （-2,0），点B （3,0），由图可知：在点A （-2,0）的右侧，直线y =x +b 在x 轴的上方，∴不等式x +b >0的解集为x >-2；在点B （3,0）的左侧，直线y =kx +2在x 轴的上方，∴不等式kx +2>0的解集为x <3 ∴0
20
x b kx +>⎧⎨
+>⎩解集为23x -<<
【正解】D
巩固19 如下图所示，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴相交于点(2，0)，与y 轴相交于点(0，4)．结合图象可知，关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是 ．
【错解】x =4
【正解】x =2。

点拨：由图可知:直线y =ax +b 与x 轴交于点（2,0）∴当x =2时，y =0 故关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是x =2
巩固20 如图，直线l1：y=2x+b与直线l2：y=kx+1相交于点（2，3），则方程组
2
1
y x b y kx
=+
⎧
⎨
=+
⎩
的
解为
【错解】
=3
2 x
y
⎧
⎨
=⎩
【正解】
=2
3
x
y
⎧
⎨
=
⎩。

点拨：∵直线l1：y=2x+b与直线l2：y=kx+1相交于点（2，3）∴当x=2时，
y=3;y=2x+b与y=kx+1都成立
故方程组
2
1
y x b
y kx
=+
⎧
⎨
=+
⎩
的解是
=2
3
x
y
⎧
⎨
=
⎩
巩固21 如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜4 D．x＞4
【错解】A或C或D
【正解】:B。

点拨：由图可知，直线y=kx+b在点A（﹣2，4）上方的部分位于它的右侧，不等式kx+b＞4的解集为x＞﹣2
选B
巩固22 如图，直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b>kx-1的解集在数轴上表示正确的是（）
【错解】B或C或D。

【正解】:A。

点拨：由图可知，在点P的右侧，直线y1=x+b在直线y2=kx-1的上方，故当x>-1时，x+b>kx-1，∴不等式x+b>kx-1的解集为x>-1。

故选A。

【小结】用函数的观点看方程（组）和不等式（组）是转化思想、函数思想、数形结合思想等多种数学思想的体现和运用。

在平面直角坐标系中，每一个一次函数对应着一条直线，方程的解往往是对应函数图像与x轴的交点的横坐标，不等式的解则通过观察函数图像上函数。