湖南省长沙市2020届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案

湖南省长沙市2017届高三12月联考
数学（理科）
本试题卷共6页，23题（含选考题） 全卷满分150分，考试用时120分钟
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合{|A x x =≥2}，1
{|
0}4
x B x x -=>-，则A B =（ ） A ．∅ B ．[2,4)
C ．[2,)+∞
D ．(4,)+∞
（2）已知复数z 满足
11z
i z
-=+，则||z =（ ） A ．1
B
C ． 2
D
．（3）已知数列{}n a 的前n 项和n
n S Aq B =+(0)q ≠，则“A B =-”是“数列{}n a 是等
比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分且不必要条件
（4）在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概
率是（ ）
A
B ．
C
1 D
1
（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球
的表面积为（ ）
正视图
侧视图
俯视图
A B
C
D P
A ．
272
π B ． 27π C
．
D
（6）若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =+的最小值是__ __．
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
（7）已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，过点1F 且与x 垂直的直线与双曲
线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A
B ．2
C
．1D
．2（8）ABC ∆是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则向量
a ，
b 的夹角为（ ）
A ．30
B ．60
C ．
120
D ．
150 （9）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，则条件
框内应填写（ ） A ．3?i > B ．4?i < C ．4?i > D ．5?i <
（10）等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且1a ＜0，若存在自然
数m ≥3，使得m m a S =，则当n ＞m 时，n S 与n a 的大小关系是（ ）
A ．n S ＜n a
B ．n S ≤n a
C ．n S ＞n a
D ．大小不能确定
（11）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2
π
ϕ<
）
的部分图象如图，则2016
1
()6
n n f π
==∑
（ ） A ．1- B ．0 C ．12
D ．1
（
12
）
已
知
函
数
21
()(0)
2
x f x x e x =+-<与
()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
A
．⎛-∞ ⎝ B
．(-∞
C
．⎛ ⎝ D
．⎛ ⎝
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）
已知直线:0l mx y ++=与圆22
(1)2x y ++=相交，弦长为2，则m =________． （14）在5
(21)(1)x x +-的展开式中含3
x 项的系数是___________（用数字作答）． （15）有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所 成角的余弦值为___________．
（16）有一支队伍长L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，
6π 512
π 1-
1
到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则传令兵所走的路程为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C
的对边，且cos sin 0a C C b c --= （I ）求A ；
（II ）若AD 为BC 边上的中线，1
cos 7
B =
，2AD =，求ABC ∆的面积．
（18）（本小题满分12分）
为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．
（I ）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；
（II ）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进
A
B
D
行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥
，且
AD CD ==
BC =2PA =．
（I ）求证：AB PC ⊥；
（II ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
P
B
C
D
M
A
（20）（本小题满分12分）
如图，设点,A B
的坐标分别为(0)
，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为2
3
-
． （I ）求点P 的轨迹方程；
（II ）设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足
//AP OM ，//BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．
（21）（本小题满分12分），
函数3
1()||3
f x x x a =
+-（x R ∈，a R ∈）． （I ）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （II ）若函数()f x 在R 上不单调时：
（i ）记()f x 在[1,1]-上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，求()()M a m a -； （ii ）设b R ∈，若2
|()|3
f x b +≤
对[1,1]x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． （22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数）
与曲线1:cos tan x C y θθ
⎧=
⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．
（I ）若3
π
α=
，求线段AB 的中点的直角坐标；
（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．
（23）（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）
已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤
或9
}2
x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．
数学（理科）参考答案
1．命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算． 答案：D ．
2．命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算． 答案：A ．1(1)(1)
1(1)(1)
i i i z i i i i ---=
==-++-．，故选A ． 3．命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．
答案：B ．若0A B ==，则0n S =，故数列{}n a 不是等比数列；若数列{}n a 是等比数
列，则1a A q B =+，22a Aq Aq =-，32
3a Aq Aq =-，由
32
21
a a a a =，得A B =-．选B ．
4．命题依据：几何概型．
答案：D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，
交CD 于1P 、2P ，则当P 在线段12P P 间运动时，能使得ABP ∆的最大边是AB
，易得
12
1PP CD
=，即ABP ∆的最大边是AB
1．
5．命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．
答案：B ．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的
外接球的半径为
2
，从而计算得表面积为24()272ππ=．故选B ． 6．命题依据：线性规划的应用．
答案：B ．作出可行域为开放区域，2z x y =+在直线40x y +-=与直线0x y -=的交点(2,2)处取得最小值6．故选B ．
7．命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．
答案：C ．由已知2
2b c a
=，即2220c ac a --=，得2210e e --=
，解得1e =故选C ．
8．命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算． 答案：C ．易得120． 9．命题依据：算法，程序框图． 答案：D ．
A
B
D P
C
P 1 P 2
10．命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性
答案：C ．若1a ＜0，存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则0d >．因为若d ＜0，则数列是递减数列，则m m S a <，不会有m m a S =．由于1a ＜0，0d >，当m ≥3，有m m a S =，则0m a >，0m S >，而1n m m n S S a a +=+++，显然n n S a >．故选C ．
11．命题依据：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．
答案：B ．易得2ω=，由五点法作图可知26
2
π
π
ϕ⨯+=
，得6
π
ϕ=
．
即()sin(2)6
f x x π
=+．
故()16
f π
=，21(
)62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61
()62
f π=，
2016
1
1111
(
)336(11)062222
n n f π==⨯+---+=∑
．故选B ． 12．命题依据：函数的零点、方程的根的关系．
答案：B ．由题意得即方程()
221
ln 2
x x e x x a -+-=++有正根，
即()1
ln 2
x e x a --=+有正根， 作函数1
2
x y e -=-与()ln y x a =+的图象，
则可知0x =时，()1
ln 2
x a +<
故a <
B ．
13．命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．
答案
：3m =
．由已知可得圆心(1,0)-到直线的距离
为d =，所
以
212+=
，解得3
m =
． 14．命题依据：二项式定理的应用．
答案：2233
55(1)2(1)10C C -+-=-．
15．命题依据：线线角，面面垂直．
答案：
14
． 16．命题依据：数学应用，数学建模．
答案：(1L +．
思路一：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为
L v v '-，从排头到队尾的时间为L v v '+，往返共用时间为L L
t v v v v
=+''-+，则传令兵往返路程S v t '=．由于传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则L vt =．故
2
2
()2t v v v L ''-=，可得2
2
2
()2t v v v tL ''-=．
即2
2
()2()0v t L v t L ''--=，解得(1v t L '=+，传令兵所走的路程为(1L ． 思路二：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为
L v v '-，从排头到队尾的时间为L
v v '+，则易得 L L L
v v v v v +=''-+，化简得222v v v v ''-=，得1v v
'
=，
由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1L +．
17．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理．
【分析】（I ）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出B 值． （II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系，再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值，再由三角形面积公式可求结果．
【解答】（I ）因为cos sin 0a C C b c --= ，由正弦定理得：
sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即
sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，……3分
cos 1A A -=，所以1
sin(30)2
A ︒-=
．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒︒<<，所以3030A ︒︒-=，得60A ︒=．……6分
（II ）在ABC ∆中，1
cos 7
B =
，得sin B =．……7分
则11sin sin()72C A B =+=+=8分 由正弦定理得
sin 7
sin 5
a A c C ==．……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则
22129111
25492574427
x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==，……11分
故1
sin 2
ABC S ac B ∆=
=．……12分
18．命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思想的应用．数学抽象与应用意识．
解：（I ）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．由抽样可知， 3
()5
P A =
．……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为
X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3
()1065
E X =⨯=．……6分
（II ）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得
51510155
()1003005007009005005050505050
E Y =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）……10分 则该自然村年均用电约150000度．
又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……12分
19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用． 【分析】（I ）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明； （II ）假设存在点M ，利用二面角M AC D --的大小为45确定点M 的位置，再利用平面MAC 的法向量求线面角． 【解答】（I ）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，
由已知AD CD ==
BC =
可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，
又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAC ， 所以AB PC ⊥．……4分 （II ）存在．法一：（猜证法）
观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下面证明当M 是线段PD 的中点时，二面角M AC D --的大小为45．……5分
过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ． 过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则
M G N ∠是二面角M AC D --的平面角．
因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，
A D
B
C
AN =
在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠=．……8分
在三棱锥M ABC -中，可得1
3
M ABC ABC V S MN -∆=
⋅， 设点B 到平面MAC 的距离是h ，1
3
B MA
C MAC V S h -∆=⋅，
则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅
，解得h =．……10分 在Rt BMN ∆
中，可得BM =
．
设BM 与平面MAC 所成的角为θ
，则sin h BM θ=
=．……12分 法二：（作图法）
过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．
过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若45MGN ∠=，则NG MN =
，又AN ==，易求得1MN =．
即M 是线段PD 的中点．……8分 （以下同解法一） 法三：（向量计算法）
建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)A
，C
，(0,D ，
(0,0,2)P
，B
，(0,2)PD =-．
设PM tPD =（01t ≤≤），则M
的坐标为(0,,22)t -．……6分 设(,,)n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则
00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
，得0
(22)0
t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
，则可取(1,1,)1n t =--．……8分 又(0,0,1)m =是平面ACD 的一个法向量，
所以|
|
|||cos ,|cos 45||||m n m n m
n ⋅<>===
解得1
2
t =
．即点M 是线段PD 的中点．……10分 此时平面AMC 的一个法向量可取(1,n =-，(BM =-．
BM 与平面MAC 所成的角为θ
，则sin |cos ,|n BM θ=<>=
．……12分
20．命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。

【分析】（I ）由题意易得； （II ）此题本质利用对于椭圆上一点有2
2AP BP
b k k a
⋅==-这一结论，得到
2
2O M O N b k k a
⋅=-，再利用直线MN 与椭圆的位置关系，建立MON ∆的表达，虽然直线MN
的位置不确定，由于2
2OM ON b k k a
⋅=-，则其斜率与在y 轴上的截距必定满足方程关系，代
入MON ∆的面积表达式则可求得MON ∆的面积．
【解答】（I ）由已知设点P 的坐标为(,)x y ，由题意知
2
(3AP BP k k x ⋅==-≠，
化简得P
的轨迹方程为22
1(32
x y x +=≠．……5分 （II ）由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且//AP OM ，//BP ON ，则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0．
又由已知2
3
AP BP k k ⋅=-．
因为//AP OM ，//BP ON ，所以2
3
OM ON k k ⋅=-．……6分
设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22
132
x y +=，得 222(32)4260m y mty t +++-=，……① ……7分
设M 、N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则1y 、2y 是方程①的两根，
则122
432mt
y y m
+=-+，21222632t y y m -=+．……8分 又21212222
2
12121226
()36OM ON y y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅===+++-，……9分 所以222
262363
t t m -=--，得22223t m =+．……10分
又121||||2MON
S t y y ∆=-=
所以2|42MON
t S t ∆==MON
∆
12分 21．命题依据：导数的应用，三次函数的图象与性质，不等式的应用，分类讨论的数
学思想．
【分析】 【解答】
由已知得3
331,()13
()||13,()
3
x x a x a f x x x a x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=+-=⎨⎪-+<⎪⎩， ……1分
令3
1()3
g x x x a =
+-，则2()10g x x '=+>，所以()g x 在[,)a +∞上必为增函数； ……2分
令3
1()3
h x x x a =
-+，则2()1h x x '=-． 令()0h x '=，得1x =±，所以()h x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上是增函数，在(1,1)-上为减函数．……3分
（I ）因为()f x 在R 上是增函数，所以()h x 在(,)a -∞为增函数，所以1a ≤-．……4分
（II ）因为函数()f x 在R 上不单调，所以1a >-．
（i ）1 当11a -<<时，()f x 在(,1)-∞-上是增函数，在(1,)a -上是减函数，在
(,)a +∞上是增函数，
所以3()()3a m a h a ==，24()max{(1),(1)}max{,}33M a h g a a =-=+-．……5分
①当
4233a a -≥+，即113a -<≤时，4
()3
M a a =-， 31
()()(34)3
M a m a a a -=-+-；……6分
②当4233a a -<+，即113a <<时，2()3
M a a =+，
31
()()(32)3
M a m a a a -=---；……7分
2 当1a ≥时，()f x 在[1,1]-上是减函数，
所以2()(1)3m a h a ==-，2()(1)3
M a h a =-=+． 故4()()3
M a m a -=
．
综上得3
3
11
(34),(1)
33
11
()()(32),
(1)33
4,(1)
3a a a M a m a a a a a ⎧-+--<≤⎪⎪
⎪-=---<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
．……8分 （ii ）22
()33
b f x b -
-≤≤-对[1,1]x ∀∈-恒成立，即()f x 在[1,1]-上的值域是22
[,]33
b b ---的子集． ①当113a -<≤时，32334233a b a b ⎧≥--⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，即32
332
3a b a b ⎧-≤+⎪⎪⎨
⎪-≥⎪⎩
所以322333
a a
b a ≤-≤
++ 令32()33a a a ϕ=++，易得()a ϕ在1(1,]3-上是增函数，则182
()381
a b ϕ-≤=， 所以282
[,
]381
a b -∈．……10分 ②当113a <<时，32332233a b a b ⎧≥--⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩，即3
233a b b a
⎧-≤+⎪⎨⎪-≥⎩，所以3233223a a b a a b a ⎧-≤++⎪⎪⎨
⎪-≥>⎪⎩
令32()33a a a ϕ=++，易得()a ϕ在1
(,1)3
上是增函数，则(1)2a b ϕ-<=， 所以2(,2)3
a b -∈．……11分
③当1a ≥时，2233
2233a b a b
⎧+≤--⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩
，即a b a b ≤-⎧⎨≥-⎩，即a b =-
所以22a b a -=≥，所以[2,)a b -∈+∞ 综上得2[,)3
a b -∈+∞．……12分
22．命题依据：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（I ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，利用
12
2
t t +的几何意义求解； （II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化为：，利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（I ）由曲线1:cos tan x C y θθ
⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）
，可得C 的普通方程是22
1x y -=． ……2分
当3πα=时，直线l
的参数方程为1322
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），
代入曲线C 的普通方程，得26160t t --=，……3分 得126t t +=，则线段AB 的中点对应的12
32
t t t +==， 故线段AB
的中点的直角坐标为9(,
22
． ……5分
（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得
222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=，……7分
则212222
88(1tan )
||||||||||cos sin 1tan PA PB t t αααα
+⋅===--，……9分 由已知得tan 2α=，故40
||||3
PA PB ⋅=
．……10分
23．命题依据：绝对值不等式的解法． 【分析】（I ）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a 的值即可； （II ）问题转化为：．通过讨论x 的范围，求出不等式的解集，从而确定出a 的范围即可．
【解答】解：（I ）2a =；
法一：由已知得23,()3,
323,3x a x a
f x a a x x a x -++<⎧⎪
=-≤<⎨⎪-->⎩
，……2分 当x a ≤，即34a x x -+-≥，得1
2
a x -≤；……3分 当3x >，即72
a
x +≥
，……4分
由已知()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤
或9
}2
x ≥，则显然2a =．……5分 法二：由已知易得()|||3|f x x a x =-+-的图象关于直线3
2
a x +=对称，……3分
又()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，则19
322
a +=+，即2a =．……5分
（II ）法一：不等式()|3|1f x x +-≥恒成立，即||2|3|1x a x -+-≥恒成立．
……6分
当x a ≤时，即350x a -++≥恒成立，得350a a -++≥，解得5
2
a ≤
；……7分 当3a x <≤，即50x a --+≥恒成立，得350a --+≥，解得2a ≤；……8分 当3x ≥，即370x a --≥恒成立，得970a --≥，解得2a ≤．……9分 综上得2a ≤．……10分
法二：不等式()|3|1f x x +-≥恒成立，即|||3||3|1x a x x -+-≥--+恒成立， 由图象可知()|||3|f x x a x =-+-在3x =处取得最小值3a -，……8分 而|3|1x --+在3x =处取得最大值1，故31a -≥，得2a ≤．……10分。