三角恒等变换(含2课时)-高一数学教材配套课件(人教A版必修第一册)

解 : (1) y sinx 3cosx 2( 1 sinx 3 cosx) 2sin(x )
2
2
3
周期为2 ,最大值为2,最小值为 2.
(2) y 3sinx 4cosx 5(3 sinx 4 cosx) 5sin(x )
5
5
其中sin 4 ,cos 3.
5
5
周期为2 ,最大值为5,最小值为 5.
探究2：sin(α±β)与cos(α±β)的关系
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin(
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)
cos2
(
)
cos(2
)
cos(
2
) cos
sin(
2
)sin
sin cos cos sin
sin(
)
cos2
).
解 :sin 4 , , ,cos 1 sin2 3.
5 2
5
cos 5 , 是第三象限角,sin 1 cos2 12 .
13
13
cos( ) cos cos sin sin ( 3) ( 5 ) 4 ( 12) 33
5 13 5 13 65
A2
a2
b2,
A a2 b2 .
通常取A a2 b2 .
探究4：asin x+bcos x的化简
asin x bcosx 平方和为1
a2 b2
a sin x a2 b2
b a2
b2
c os x
a2 b2 cos sin x sin cosx
a2 b2 sinx
化简得, 差角的余弦公式 C( ) : cos( ) cos cos sin sin
结论：两角和与差的余弦公式
C( ) : cos( ) cos cos sin sin
C( ) : cos( ) cos cos sin sin
推导： cos( ) cos[( ( )]
运用：两角和与差的三角公式 3.条件求值
P218 [例3]若sin 3 ,是第四象限角,求sin( ),cos( ),tan( )的值.
5
4
4
4
解 :sin 3 ,是第四象限角,cos 1 sin2 4 .
5
5
tan sin 3 . cos 4
sin( ) sin cos cos sin 2 [4 ( 3)] 7 2
(1)sin 72cos42 cos72sin 42
2
(2) cos20cos70 sin 20sin 70 (2)原式 cos(70 20) cos90 0.
记(3) 1 tan15 1 tan15
(3)原式 tan 45 tan15 1 tan 45 tan15
tan(45 15) tan60 3
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin(
)
c os
2
cos( ) sin
2
三角恒等变换
sin 16 sin 2
3
3
sin( ) sin
3
3
3 2
或 sin 16 sin 4
3
3
sin( ) sin
3
3
3 2
探究1：cos(α－β)与角α、β的正余弦间的关系
sin(30 x)
cos(60 x)
(2) 3 sin x cos x
原式 2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
2(cos30sin x sin 30cosx)
2sin(x 30)
原式 2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
2(sin60sin x cos60cosx)
cos cos( ) sin sin( )
cos cos sin sin
P217-2
cos15 cos(45 30)
cos(60 45)
cos45cos30 sin45sin30 cos60cos45 sin60sin45
2 3 21 6 2 2 2 22 4
1 2 3 2 6 2
2
2
2 2(cos sinx sin cosx)
3
3
2 2sin(x )
3
运用：辅助角公式化简asin x+bcos x
P227 [例9]求下列函数的周期、最大值和最小值. 提数→配角→逆用公式
(1) y sinx 3cosx (2) y 3sin x 4cosx
特殊角 非特殊角
如：若角θ的终边过点(﹣12，5)，则sin θ=_____，cos θ=_____， tan θ=_____.
温故而知新
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
P228
新知3：二倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
tan 2
1
2
tan tan2
cos2 sin2 1
cos cos cos sin sin cos2 cos( ) cos cos sin sin
8
8
(3)
1
tan 22.5 tan2 22.5
(4)2cos2 22.5 1
(1)解 : 原式 1 2sin15cos15 1 sin 30 1
2
2
4
(2)解 : 原式 cos(2 )
8
cos
4
2 2
(3)解 : 原式
1 2
1
2
tan 22.5 tan2 22.5
1 2
tan 45
α的终边
不妨设 2k (与的终边不重合)
P1
β的终边
A1
α－β的终边
A(1,0)
P(cos( ),sin( )) A1(cos ,sin )
P
P1(cos,sin )
O
A
由AP A1P1得,
[cos( ) 1]2 sin2( )
(cos cos )2 (sin sin )2
a
提数→配角→逆用公式 或 a2 b2 cos(x ),tan a
b
P220-4 (3) 2(sinx cosx)
(4) 2 cos x 6sinx
原式 2( 2 sinx 2 cosx)
2
2
2(cos sinx sin cosx)
4
4
2sin(x )
4
原式 2 2( 1 sinx 3 cosx)
P220
作
运用：两角和与差的三角公式
六组诱导公式均可用 两角和差公式推导证明
1.求值
P216
P217-1(1)
2.证明三角恒等式
[例1]证明: cos(
2
) sin.
[变式]证明: cos(3
2
)
sin.
3.条件求值
P216
[例2]若 s in
4 5
,
2
,
,cos
5 13
, 是第三象限角,求cos(
作 作
探究4：asin x+bcos x的化简 Asin (x+φ)或Acos (x+φ)
化简: P220-4
(1) 1 cos x 3 sin x
2
2
(3) 2(sinx cosx) (4) 2 cos x 6sinx
原式 sin 30cosx cos30sin x 或原式 cos60cosx sin 60sin x
其中,cos a , sin b , tan b
a2 b2
a2 b2
a
辅助角公式: a sin x bcosx a2 b2 sin(x ),tan b
a
或 a2 b2 cos(x ),tan a
b
新知2：辅助角公式化简asin x+bcos x
辅助角公式: a sin x bcosx a2 b2 sin(x ),tan b
2
82
8
24 4
(2)原式 2 (1 2sin2 15) 2 sin 30 1
新知1：两角的和差公式
已知任意角, ,则
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin
结合韦达定理 P229-13
tan tan tan
1 tan tan
tan tan tan
1 tan tan
[练习1]sin 34sin 26 cos34cos26 _______ 析 : 原式 (cos 34cos26 sin 34sin 26) cos60 1 2
22 2 2
4
运用：两角和与差的余弦公式
已知角的终边过点(2,3), 将的终边顺时针旋转 后,角的终边
4 与单位圆的交点横坐标为 ______.
析 : 已知sin 3 2,cos 2 ,
13
13
旋转后cos ' cos( ) cos cos sin sin
4
4
4
2 ( 2 3 ) 2 26 2 13 13 2 13 26
4
4
4
2 5 5 10
cos(
4
)
cos
4
cos
sin
4
s in
2 [ 4 ( 3)] 7 2 2 5 5 10
tan(
4
)
tan tan
4
1 tan tan
tan 1 1 tan
3 1
4 1 3
7
4
4
tan 1
4
运用：两角和与差的三角公式 3.条件求值
P217
P220
sin 2 sin( ) sin cos cos sin
tan tan tan
1 tan tan
tan 2 tan tan tan
1 tan tan
运用：二倍角公式——①化简求值
P223 5.求下列各式的值.
(1) s in 15 cos15
(2) cos2 sin2
(
)
cos(2
)
cos(
2
) cos
sin(
2
)sin
sin cos cos sin
S( ) : sin( ) sin cos cos sin
S( ) : sin( ) sin cos cos sin
探究3：tan(α±β)与C(α±β)、S(α±β)的关系
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin tan( ) sin( ) sin cos cos sin
[练习2]sin cos( ) cos sin( ) _______
析 : 原式 sin[ ( )] sin( ) sin
运用：两角和与差的三角公式 1 tan45
1.求值 [练习]求sin105,cos75, tan15的值. P220-1
P219 [例4]计算下列各式的值.
(1)原式 sin(72 42) sin 30 1 .
5.5三角恒等变换
5.5.1两角和与差的 正弦、余弦和正切公式
温故而知新
三角函数的两种定义 （1）若角α的终边与单位圆(半径为1)的交点坐标为(x, y)，则
sin α=_____，cosα=_____，tan α=_____.
（2）若角α的终边上任一点坐标为(x, y),则 sin α=_____，cosα=_____，tan α=_____.其中r =__________.
1 2
(4)解 : 原式 cos(2 22.5) cos45 2 2
运用：二倍角公式——①化简求值
[练习]求下列各式的值.
(1) 1 cos2
2
8
(2) 2 4 sin2 15 33
(3) cos cos 2
55
(1)原式 1 (1 2cos2 ) 1 (2cos2 1) 1 cos 2
2cos(60 x)
探究4：asin x+bcos x的化简
若a sin x bcos x Asin(x ),
则a sin x bcos x Asin x cos Acos x sin,
Acos Asin
a ,
b
cos
a ,sin
A
b, A
cos2
sin2
1
a2 b2 A2
,
cos( ) cos cos sin sin tan tan 分子分母同除以 1 tan tan cos cos
tan( ) sin( ) sin cos cos sin tan tan cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan