河北省鸡泽县第一中学2017届高三数学(理)保温题(2)

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2017鸡泽一中高三数学(
理)保温题(2)
一、选择题 1．已知复数122
z =
+，则z z ⋅= A. 1- B. 1 C. 12-
D. 12
2．已知集合{}
{
}
2
11,B 20A x x x x x =-<<=--<,则图中阴影部分所表示的集合为 A. (]1,0- B. [)1,2- C. [)1,2 D. (]1,2 3．命题“x R,tan 1x ∀∈≠”的否定是
A. x R,tan 1x ∀∉≠
B. x R,tan 1x ∀∈=
C. x R,tan 1x ∃∉≠
D. x R,tan 1x ∃∈=
4．已知点A 、B 是双曲线22
221x y a b -=的顶点，P 为双曲线上除
顶点外的一点，记,PA PB k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，若
5
4
PA PB k k ⋅=
，则该双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C.
32 D. 5．执行右侧的程序框图，若输入的x 为6，则输出y 的值为 A. 6 B. 4 C. 3 D .2.5
6.函数()sin(
)(0)2
f x A x π
ωϕϕ=+<<的部分图象如图所
示，则 A.2,4
A π
ϕ==
B.2,6
A
π
ϕ==
C.
3
A π
ϕ==
D. 6
A π
ϕ=
=
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.
(212
π+
B.
(112
π+
C.
(2112
π+ D.
(2312
π+
8．已知锐角α8
cos 5
αα+=
，则tan()6πα+=
A. 43-
B. 43
C. 43±
D. 34
9．已知点A 是半径为1的⊙O 外一点，且AO=2，若M,N 是⊙O 一条直径的两个端点，则
AM AN ⋅=
A. 1
B. 2 C . 3 D. 4
10．已知a 、b 、c 、d 是实数，e 是自然对数的底数，且21,23,b e a d c =-=+则
22()()a c b d -+-的最小值为
A.4
B.5
C. 6
D.7
,2,1,120,P ABC O PA AB AC BAC PA ABC O -===∠=⊥11.已知三棱锥内接于球若且平面则球的表面积为
A.
403π B. 503
π C. 12π D. 15π 12．设函数,0
,log 0
,2)(2⎩⎨
⎧>≤=x x x x f x 若对任意给定的),,1(+∞∈t 都存在唯一的,R x ∈满足,2))((2at at x f f +=则正实数a 的最小值是
A.1
B. 12
C.13
D. 14
二、填空题
13. ()5
(1)1x x +-展开式中含3
x 项的系数为_______.（用数字表示）
14.公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的.设男子身高X 服从正态分布)7,170(2
N （单位：cm ）,参考以下概率
()0.6826P X μσμσ-<≤+=，
(22)0.9544
P X μσμσ-<≤+=，
(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=,
则车门的高度（单位：cm ）至少应设计为 .
15.已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 倾斜角为60的直线交C
E
A
C
B
A 1
C 1
B 1
于,A B 两点，,AM l BN l ⊥⊥，,M N 为垂足，点Q 为MN 的中点，2QF =，则p =__. 16.已知，,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边. ①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形； ②若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰三角形； ③若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆是等腰三角形； ④若
cos cos cos a b c
A B C
==，则ABC ∆是等边三角形. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题
17.设{}n a 是公差不为零的等差数列，22222345a a a a +=+，n S 为其前n 项和， 77S =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2312log n n b a ++=(n *
∈N ),求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AC BC CC ===，11A B B C ⊥. （Ⅰ）证明：111AC CC ⊥；
（Ⅱ）若1A B =1CC 上是否存在点
E ，使得二面角
1E AB C --的大小为30，若存在，求CE 的长，若不存在，说明理由.
20.
已知圆2216M y +=：(
，点N ，点P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线交MP 于点Q ，设动点Q 的轨迹为C . （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与轨迹C 交于G H 、两点，O 为坐标原点，若GOH ∆的重心
恰好在圆2
2
4
9x y +=
上，求m 的取值范围. 21.已知函数2ln (),().x x
f x
g x e x
-== （Ⅰ）求函数2'()()2r x x x f x =+-在区间(0,)+∞上的最小值；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使得对(0,],()(1)()?x e f x k x g x ∀∈≤-≤若存在，求出所有满足条件的k ；若不存在，说明理由.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的参数方程为cos ,2sin ,2
x y θθ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（θ 是参数），直线l 的极坐标方程为=12
π
θρ∈（R ） ．（Ⅰ）求C 的普通方程与极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB| 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数(x)|x 1||x 3||x a |f =-+-+- ． （Ⅰ）当1a = 时，求不等式(x)4f <的解集；
（Ⅱ）设函数(x)f 的最小值为(a)g ，求(a)g 的最小值．
2017鸡泽一中高三数学(理)保温题(2)答案
一、选择题1-5 BCDCD 6-10 AABCB 11-12 AC
二、填空题13. 0 ; ①③④ 三、解答题
17.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠
因为22222345a a a a +=+，
所以42423535()()()()a a a a a a a a -+=-+，即342222(0)d a d a d ⋅=-⋅≠ 所以34a a =- ……………………………………………………2分 又因为17747()
772
a a S a +=
==，所以431,1a a ==-，2d =。

所以27n a n =- ……………………………………………………6分 （Ⅱ）因为2312log n n b a ++=，所以212log 21n b n +=-，
所以2log 1n b n =-，即12n n b -=,n *
∈N
所以()1272n n n a b n --＝ ……………………………………………8分 因为11223311n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++⋅⋅⋅++ 所以()0123152321212272n n T n -=-⋅-⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅+- ① ()1234252321212272n
n T n =-⋅-⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅+- ②
①―②,得 ()
()1231
522222
272n n n T n --=-++++⋅⋅⋅+--
所以 ()9922n
n T n -=-+-
即 ()2929n n T n n *=-+∈，N ……………………………………12分 18．解（Ⅰ）根据频率定义， 300c =,250a =,0.25b =,……………………2分 第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆.……6分 （Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为
1
4.
……………………8分
由题意知1(4,)4B ξ:，则k
k k C k P -⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==444341)(ξ，4,3,2,1,0=k .
ξ的分布列为：
1
414
E ξ=⨯=……………………12分
19.（Ⅰ）证明：连接1BC 11BCC B 为平行四边形，且12BC CC ==
11BCC B ∴为菱形 11BC B C ⊥………….…2分
又
11A B B C ⊥，1B C ∴⊥平面11AC B
z y
x
B 1
C 1
A 1
B
C
A E
111B C AC ∴⊥ ……4分
又
1111AC C B ⊥11AC ∴⊥平面11CBBC 111A
C C C ∴⊥……6分
（Ⅱ）
12AB = 112AC
=
1BC ∴= 1C C B C ∴⊥ 1AC CB CC ∴、、两两垂直……8分
以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则
11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(0,2,0)C A B C B ，设(0,0,)E a
11(2,0,),(2,2,2),(0,-2,2),
AE a AB BC =-=-=
易知，11BC AB C ⊥平面，1(0,2,2)BC =-， 则平面1ABC 的一个法向量(0,1,1)m =- 设(,,1)n x y =是平面1AB E 的一个法向量
则100
n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 202220x a x y -+=⎧∴⎨-++=⎩得(,1,1)22a a n =-……10分
|
2|
|||cos ,|||||a
m n m n m n -⋅<>===
，解得：1a = ∴在棱1CC 上存在点E ，当1CE =时，得二面角1E AB C --的大小为30.
……12分
20.解：（Ⅰ）如图，
||||QP QN =
||||||4MQ QN MP ∴+==……2分
故点Q 的轨迹是以M N 、为焦点，长轴长等于4的椭圆
所以椭圆C 的方程为2
214
x y += ．……4分 （Ⅱ）设点()()1122,,G x y ,H x y
y
O x
Q
P
N M
方程联立22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，()222
148440k x mkx m +++-= 122814mk x x k ∴+=-
+
，12
y y +=所以GOH ∆的重心的坐标为2282,3(14)3(14)mk m k k ⎛⎫
-
⎪++⎝⎭
2
2
22824
+=3(14)3(14)9
mk m k k ⎛⎫⎛⎫-∴ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 整理得：()
2
22
2
14116k m k
+=
+ ①……8分
22222(8)16(1)(14)16(14)mk m k k m ∆=--+=+-
依题意 0∆>得 22
14m k <+ ②
由①、②易得 0k ≠
设2
116(1)t k t =+>
，则2
14k +=
29
63164
t t m ++∴=≥=，当且仅当3t =取等号
所以实数m
的取值范围是3,,22⎛
⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭
. ……12分 21.解法一：（Ⅰ）
''
21ln 11()()1ln ,()1x x f x r x x x r x x x x
--=
=--∴=-=由得…………2分 ''01()0,1,()0x r x x r x ∴<<<>>当时当时
min ()(0,1),(1,)(1)0.r x r r ∴+∞∴==在区间内单调递减在内单调递增………..4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ln 1x x ≤-，∴ln 1
()x x f x x x
-=≤.………………5分 讨论
1
(1)x k x x
-≤-在(0,]e 上恒成立时k 的取值 ①当1x e <≤时，由11
(1)x k x k x x
-≤-⇒≤恒成立，
∵1y x =在(1,]e 上递减，∴1
1x
<， 又
1
k x
≤恒成立，必有1k ≥；………………6分 ②当01x <<时，由11
(1)x k x k x x
-≤-⇒≥恒成立， ∵1y x =在(0,1)上递减，∴1
1x >，
又 1
k x
≥恒成立，必有1k ≤；………………7分
③当1x =时，1
(1)x k x x
-≤-无论k 取何值都恒成立，…………………8分 由①②③可得1k = 所以，由
ln (1)x
k x x
≤-恒成立可得1k =………………………9分 设2()1x h x e x -=-+，∴2()1x h x e -'=-，令2()10x h x e -'=-=解得2x =. 当(0,2)x ∈时()0h x '<，当(2,]x e ∈时()0h x '>…………………10分 ∴在(0,]e 上min ()(2)0h x h ==即2
2()101x x h x e
x e x --=-+≥⇒≥-
∴当(0,]e 时，对于(1)()k x g x -≤，在1k =时成立.
综上所述，存在唯一的1k =使结论成立……………………………….12分
解法二：(Ⅰ)'
'
21ln 11()()1ln ,()1x x f x r x x x r x x x x
--=
=--∴=-=由得…………2分 ''01()0,1,()0x r x x r x ∴<<<>>当时当时
min ()(0,1),(1,)(1)0.r x r r ∴+∞∴==在区间内单调递减在内单调递增…………..4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)可得
1111
()0ln 1,ln
1ln 1ln 1.r x x x x x x x x x
≥≤-∴≤-∴-≤-∴≥-即有…5分
021*******k x x kx <<<<
->->当且且22
1
1ln 1(1)(1)(1)0;x
x x k x k x kx x
x x -
-∴
-->--=->矛盾…………….6分
022111010k x x kx ><-<-<当时有且
22
1
1ln 1(1)(1)(1)0;x x x k x k x kx x x x -
-∴-->--=->矛盾………….7分 ;)1(0ln ,1030矛盾时且当-≥>≤<≤x k x
x
e x k ……………8分
满足条件时当0)1()1(1)1(ln ,142
≤--=---≤--=x
x x x x x x x k
.1)1()(],,0(,有唯一值恒成立的使得对综上k x k x f e x -≤∈∀……………….9分
'21,()()(1).()1
x k s x g x x s x e -==--=-当时令则''22min 02,()0,2,()0,(2)(21)0x s x x e s x s s e -<<<<≤>∴==--=当时当时..10分 恒成立在区间可以使时当],0()()1(,1e x g x k k ≤-=∴ .1,使得结论成立存在唯一的综上=k …………………..12分
22.解：(1)
圆的普通方程是2
2
1x y ⎛⎛+= ⎝
⎭⎝⎭ 圆的极坐标方程是2cos 4πρθ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
……………………5分 (2)
由圆的极坐标方程可得，当2cos
12
6
π
π
θρ=
==时，
，故10分
23.解：(1)当1a =时，351
(x)2|x 1||x 3|1
13353
x x f x x x x -+<⎧⎪
=-+-=+≤≤⎨⎪->⎩
由图可得，不等式(x)4f <的解集为1|33x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
． ……………5分 (2)由绝对值的意义可知
31g()2
1313
a
a a a a a -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩
所以min g()2a =. ………………………………10分。