第4章最优化方法运筹学
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4x+5y=200，x=0,y=40 y=0,x=50
3x+10y=300，x=0,y=30 y=0,x=100
所以在分别在两点之间连线就画成了。
交点的求法
A，D，O容易求出，对于B、C
4x+5y=200
3x+10y=300 x=(200-5y)/4代入3x+10y=300，(600-15y)/4+10y=300， 600-15y+40y=1200，y=24，代入3x+10y=300，有3x=60， x=20，所以B为（20，24）
7 6
(0,4) 4 (0,2) 2
(0,0)
圆圈表示可行域的边界 最优解在圆圈所在的点取得
y=7
F(7,7)
6x+2y=12
x=7 C(1,3)
2x+2y=8 B(3,14) x+12y=24
项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但 规定最大投资额不能超过80万元；
项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但 规定最大投资额不能超过100万元。 问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥 有资金的本利金额为最大？
例题分析4：投资问题
解：设 xij ( i = 1～5，j = 1～4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、
鼻子以及嘴巴旳宽度 = 1:1.618。 鼻子侧面ㄑ字型,鼻梁旳长度以及鼻尖高度旳比 = 1:1.618。 从正面看来嘴巴长度以及嘴角到脸部轮廓边旳长度比 =
1:1.618。 脸宽以及脸长各为眼睛长度旳 5 倍以及 8 倍,比 = 5:8。
［也相近于 1:1.618］
欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连 续工作八小时(注意每班次才4小时)，问该公交线路怎样安排 司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘 务人员?
例题分析3：人力资源分配问题
解：设 xi 表示从第i班次开始上班的司机和乘务人员数
(i=1,2,3,4,5,6),这样我们建立如下的数学模型。
第四章 最优化方法(运筹学)
第一节 线性(Linear Programing )规划 第二节 运输问题和指派问题 第三节 动态规划
问题？
怎样才是最漂亮的最帅？
金字塔、巴特农神殿、巴黎铁塔等,在文艺复兴时期也更有许 多以黄金比例创造出来旳作品
人从肚脐开始分,上半身到头,下半身到脚,这个比例符合 1:1.168 是最美旳。
需要根数 100 200 —
例题分析4：合理下料问题
设 x1,x2,x3,x4 分别为上面4种方案下料的原材料根
数。这样我们建立如下的数学模型。
Min f = x1 + x2 + x3 + x4
s.t. 3x1 + 2x2 + x3 ≥ 100
2x2 + 4x3 + 6x4 ≥ 200
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 确定最大化或最小化目标；
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问 题过程中必须遵循的约束条件
第一节 线性规划
（三）线性规划模型的一般形式
目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
约束条件：s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤
例4 假定现有一批某种型号的圆钢长8米，需要裁取长2.5 米的毛坯100根、长1.3米的毛坯200根，问应该怎样选择 下料方式才能既满足需要，又使总的用料最省？
解：各种可能的裁剪方案如下表所示：
型号 方案1 方案2 方案3 方案4
2.5米
3
2
1
0
1.3米
0
2
4
6
余料(米) 0.5 0.4 0.3 0.2
Min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
例题分析4：合理下料问题
回收的本利金相等)
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
线性规划解法（图解法）
变量：x表示A的台数，y表示B的台数 目标函数：利润最大
max f(x,y)=x×6＋y×7 约束条件：2x+3y<=24
2x+y<=16 x，y>=0
图作业法
Y
10
2x+y<=16
D(0,8) 56
5
0
E
C(6,4) 64
2x+3y<=24
0 A(0,0) 0
5
B(8,0) 4810
作业：建立自己的小营养优化选择
例题分析3：人力资源分配问题
例2．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务 人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
第一节 线性规划
二、线性规划的一般模型 （一）线性规划的组成： 目标函数 Max F 或 Min F 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素
第一节 线性规划
（二）建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一 组值表示一个方案；
x
表达式
Min S(x,y)=1.5x+0.7y S.T.
5x+2y>=60 3x+2y>=40 5x+y>=35 x>=0 y>=0
线性规划的图解法
P97 例4：
Max S(x,y)=7x+12y
9x+4y<=360 4x+5y<=200 3x+10y<=300
F (0,90)
A(0,30) B(20,24) C(1000/29,360/29) D(40,0) O(0,0)
Max z = 50 x1 + 100 x2
s.t. x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
例题分析2：食谱问题
例1 已知某人每周所需的营养成分、所食用的食品及 单位食品所含营养如下表所示：
营养成分 大米 白菜 鸡蛋 猪肉 营养成分的需要量（周）
种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
1 2 0 50 元
1 1 1 100 元
300 台时 400 千克 250 千克
问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工 厂获利最多？
例题分析1：生产计划问题
解：工厂应分别生产Ⅰ、Ⅱ产品x1、x2单位，则所求的线性 规划模型为：
利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报
最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，
使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
小知识
茅于轼择优分配原理
茅于轼通过引进帕累托最优理论和帕累托改进理论，提 出他的择优分配原理
（ =, ≥ ）b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤
（ =, ≥ ）b2
……
……
（ =, ≥ ）bm
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
例题分析1：生产计划问题
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两
案例：生产计划问题
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
另一个例子：
Min S(x,y)=200x+160y
6x+2y>=12
2x+2y>=8
4x+12y>=24
0<=x<=7， 0<=y<=7
把这些点分别代入目标 函数，求得S值分别为： A1200，B760，C680， D960，E1120，F2520， G1400，所以C为最优 点。
E(0,7) D(0,6)
G( 0,40) A (0,30)
O(0,0)
作出各约束条件表示的直线
最优解在直线围成的多边形的顶 点取得。 9x+4y=360
4x+5y=200 B
C
3x+10y=300
D( 40,0) H (50,0) E (100,0)
直线的画法
用两点式：9x+4y=360，x=0,y=90 y=0,x=40
蛋白质
a11
a12
a13
a14
b1
某维生素
a21
a22
a23
a24
b2
某矿物质
a31Biblioteka a32a33a34
b3
单价（元） c1
c2
c3
c4
—
问这个人每周应食用大米、白菜、鸡蛋和猪肉各多 少，能使生活费用最省？
例题分析2：食谱问题
解：设这个人每周应食用大米、白菜、鸡蛋、猪肉各为x1、 x2、x3、x4，则所求的线性规划模型为：
4x+5y=200 9x+4y=360 x=(200-5y)/4代入9x+4y=360，(1800-45y)/4+4y=360， 7200-180y+16y=1440，y=(7200-1440)/(180-16)=1000/29，代入 4x+5y=200，有x=360/29，所以C为(1000/29,360/29)
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，
下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大
minZ = c1x1+c2x2+c3x3+c4x4
s.t. a11x1+a12x2 +a13x3+a14x4≥b1
a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 ≥b2
a31x1+a32x2+a33x3+a34x4 ≥b3
x1,x2,x3,x4 ≥0
小知识
明尼苏达大学建立食物营养价值评估数据库，可对每 天需要的营养与食物作最优化选择
帕累托最优（Pareto Optimality）是指资源分配的一种 理想状态：如果固有的一群人和可分配的资源，从一种 分配状态到另一种分配状态的变化中，在没有使任何人 境况变坏的前提下，不会使任何一个人变得更好。帕累 托改进（Pareto improvement）是指资源分配的一种改 进状态：如果固有的一群人和可分配的资源，从一种分 配状态到另一种分配状态的变化中，在没有使任何人境 况变坏的前提下，可以使其中至少一个人变得更好。帕 累托改进是达到帕累托最优的路径和方法。由于从帕累 托改进到帕累托最优的核心精神是资源优化配置，而西 方经济学的本质是配置经济学，“帕累托最优”、“帕 累托改进”成了100多年来西方经济学的核心概念。
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
D
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
3x+10y=300，x=0,y=30 y=0,x=100
所以在分别在两点之间连线就画成了。
交点的求法
A，D，O容易求出，对于B、C
4x+5y=200
3x+10y=300 x=(200-5y)/4代入3x+10y=300，(600-15y)/4+10y=300， 600-15y+40y=1200，y=24，代入3x+10y=300，有3x=60， x=20，所以B为（20，24）
7 6
(0,4) 4 (0,2) 2
(0,0)
圆圈表示可行域的边界 最优解在圆圈所在的点取得
y=7
F(7,7)
6x+2y=12
x=7 C(1,3)
2x+2y=8 B(3,14) x+12y=24
项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但 规定最大投资额不能超过80万元；
项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但 规定最大投资额不能超过100万元。 问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥 有资金的本利金额为最大？
例题分析4：投资问题
解：设 xij ( i = 1～5，j = 1～4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、
鼻子以及嘴巴旳宽度 = 1:1.618。 鼻子侧面ㄑ字型,鼻梁旳长度以及鼻尖高度旳比 = 1:1.618。 从正面看来嘴巴长度以及嘴角到脸部轮廓边旳长度比 =
1:1.618。 脸宽以及脸长各为眼睛长度旳 5 倍以及 8 倍,比 = 5:8。
［也相近于 1:1.618］
欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连 续工作八小时(注意每班次才4小时)，问该公交线路怎样安排 司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘 务人员?
例题分析3：人力资源分配问题
解：设 xi 表示从第i班次开始上班的司机和乘务人员数
(i=1,2,3,4,5,6),这样我们建立如下的数学模型。
第四章 最优化方法(运筹学)
第一节 线性(Linear Programing )规划 第二节 运输问题和指派问题 第三节 动态规划
问题？
怎样才是最漂亮的最帅？
金字塔、巴特农神殿、巴黎铁塔等,在文艺复兴时期也更有许 多以黄金比例创造出来旳作品
人从肚脐开始分,上半身到头,下半身到脚,这个比例符合 1:1.168 是最美旳。
需要根数 100 200 —
例题分析4：合理下料问题
设 x1,x2,x3,x4 分别为上面4种方案下料的原材料根
数。这样我们建立如下的数学模型。
Min f = x1 + x2 + x3 + x4
s.t. 3x1 + 2x2 + x3 ≥ 100
2x2 + 4x3 + 6x4 ≥ 200
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 确定最大化或最小化目标；
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问 题过程中必须遵循的约束条件
第一节 线性规划
（三）线性规划模型的一般形式
目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
约束条件：s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤
例4 假定现有一批某种型号的圆钢长8米，需要裁取长2.5 米的毛坯100根、长1.3米的毛坯200根，问应该怎样选择 下料方式才能既满足需要，又使总的用料最省？
解：各种可能的裁剪方案如下表所示：
型号 方案1 方案2 方案3 方案4
2.5米
3
2
1
0
1.3米
0
2
4
6
余料(米) 0.5 0.4 0.3 0.2
Min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
例题分析4：合理下料问题
回收的本利金相等)
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
线性规划解法（图解法）
变量：x表示A的台数，y表示B的台数 目标函数：利润最大
max f(x,y)=x×6＋y×7 约束条件：2x+3y<=24
2x+y<=16 x，y>=0
图作业法
Y
10
2x+y<=16
D(0,8) 56
5
0
E
C(6,4) 64
2x+3y<=24
0 A(0,0) 0
5
B(8,0) 4810
作业：建立自己的小营养优化选择
例题分析3：人力资源分配问题
例2．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务 人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
第一节 线性规划
二、线性规划的一般模型 （一）线性规划的组成： 目标函数 Max F 或 Min F 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素
第一节 线性规划
（二）建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一 组值表示一个方案；
x
表达式
Min S(x,y)=1.5x+0.7y S.T.
5x+2y>=60 3x+2y>=40 5x+y>=35 x>=0 y>=0
线性规划的图解法
P97 例4：
Max S(x,y)=7x+12y
9x+4y<=360 4x+5y<=200 3x+10y<=300
F (0,90)
A(0,30) B(20,24) C(1000/29,360/29) D(40,0) O(0,0)
Max z = 50 x1 + 100 x2
s.t. x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
例题分析2：食谱问题
例1 已知某人每周所需的营养成分、所食用的食品及 单位食品所含营养如下表所示：
营养成分 大米 白菜 鸡蛋 猪肉 营养成分的需要量（周）
种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
1 2 0 50 元
1 1 1 100 元
300 台时 400 千克 250 千克
问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工 厂获利最多？
例题分析1：生产计划问题
解：工厂应分别生产Ⅰ、Ⅱ产品x1、x2单位，则所求的线性 规划模型为：
利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报
最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，
使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
小知识
茅于轼择优分配原理
茅于轼通过引进帕累托最优理论和帕累托改进理论，提 出他的择优分配原理
（ =, ≥ ）b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤
（ =, ≥ ）b2
……
……
（ =, ≥ ）bm
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
例题分析1：生产计划问题
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两
案例：生产计划问题
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
另一个例子：
Min S(x,y)=200x+160y
6x+2y>=12
2x+2y>=8
4x+12y>=24
0<=x<=7， 0<=y<=7
把这些点分别代入目标 函数，求得S值分别为： A1200，B760，C680， D960，E1120，F2520， G1400，所以C为最优 点。
E(0,7) D(0,6)
G( 0,40) A (0,30)
O(0,0)
作出各约束条件表示的直线
最优解在直线围成的多边形的顶 点取得。 9x+4y=360
4x+5y=200 B
C
3x+10y=300
D( 40,0) H (50,0) E (100,0)
直线的画法
用两点式：9x+4y=360，x=0,y=90 y=0,x=40
蛋白质
a11
a12
a13
a14
b1
某维生素
a21
a22
a23
a24
b2
某矿物质
a31Biblioteka a32a33a34
b3
单价（元） c1
c2
c3
c4
—
问这个人每周应食用大米、白菜、鸡蛋和猪肉各多 少，能使生活费用最省？
例题分析2：食谱问题
解：设这个人每周应食用大米、白菜、鸡蛋、猪肉各为x1、 x2、x3、x4，则所求的线性规划模型为：
4x+5y=200 9x+4y=360 x=(200-5y)/4代入9x+4y=360，(1800-45y)/4+4y=360， 7200-180y+16y=1440，y=(7200-1440)/(180-16)=1000/29，代入 4x+5y=200，有x=360/29，所以C为(1000/29,360/29)
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，
下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大
minZ = c1x1+c2x2+c3x3+c4x4
s.t. a11x1+a12x2 +a13x3+a14x4≥b1
a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 ≥b2
a31x1+a32x2+a33x3+a34x4 ≥b3
x1,x2,x3,x4 ≥0
小知识
明尼苏达大学建立食物营养价值评估数据库，可对每 天需要的营养与食物作最优化选择
帕累托最优（Pareto Optimality）是指资源分配的一种 理想状态：如果固有的一群人和可分配的资源，从一种 分配状态到另一种分配状态的变化中，在没有使任何人 境况变坏的前提下，不会使任何一个人变得更好。帕累 托改进（Pareto improvement）是指资源分配的一种改 进状态：如果固有的一群人和可分配的资源，从一种分 配状态到另一种分配状态的变化中，在没有使任何人境 况变坏的前提下，可以使其中至少一个人变得更好。帕 累托改进是达到帕累托最优的路径和方法。由于从帕累 托改进到帕累托最优的核心精神是资源优化配置，而西 方经济学的本质是配置经济学，“帕累托最优”、“帕 累托改进”成了100多年来西方经济学的核心概念。
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
D
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资