第一讲 二元一次方程(组)

第一讲二元一次方程（组）
1、【知识点梳理】
1、二元一次方程
【1】含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

【2】使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

2、二元一次方程组
【1】由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。

【2】同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。

3、解二元一次方程组
【1】消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。

消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入
消元法，简称代入法。

用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
I、将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；
II、用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；
III、把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；
IV、写出方程组的解。

【2】对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。

通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。

这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

用加减法消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
I、将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）；
II、通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； III、解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；
IV、将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；
V、写出方程组的解。

4、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：
【1】理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）
【2】制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）
【3】执行计划（列出方程组并求解，得到答案）
【4】回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）
5、二元一次方程组应用题分类
【1】工程问题：工作量=工作效率×工作时间
一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位"1"的工程问题
【2】行程问题：(1) 相遇问题：甲的路程+乙的路程=甲乙相距的距离（2）追赶问题：甲的路程-乙的路程=甲乙相距的距离
（3）航速问题：顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速
逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速
【3】和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量【4】产品配套问题：加工总量成比例
【5】浓度问题：溶液×浓度=溶质
【6】银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税
后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
【7】利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价
×100%
【8】盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量
【9】数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
【10】几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式【11】年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的
【12】增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量
2、【例题解析】
【例1】已知与是同类项，求和的值．
【例2】已知满足方程组的，值的和等于2，求的值
【例3】已知，求的值．
【例4】现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
【例5】某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
三、【课堂习题】
1、下列属于二元一次方程组的是（）
A、 B、
C、 D、
2、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）
（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；
3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）
（A）15x-3y=6 （B）4x-y=7 （C）10x+2y=4 （D）20x-4y=3 4、李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共
用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（ ）
A． B．　
C． D．
5、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）
（A）a=-3,b=-14 （B）a=3,b=-7
（C）a=-1,b=9 （D）a=-3,b=14
6、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）
（A）无解（B）有唯一一个解
（C）有无数多个解（D）不能确定
7、已知，则x与 y 之比是（）
A. 5 ：2
B. 3 ：2
C. 4 ：3
D. 2 ：5
8、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）
（A）14 （B）-4 （C）-12 （D）12
9、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）
（A），b=-4 （B），b=4
（C），b=4 （D），b=-4
10、在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样
体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有（）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
【填空题】
1、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；
2、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；
3、若是方程组的解，则；
4、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；
5、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；
6、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________；
7、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；
8、某家电商场一次出两种不同品牌的电视机，其中一台赚了12%另一
台赔了12%，且这次售出的两台电视机的售价都是3080元，那么，在这次买卖中商场的利润为____________元．
【解答题】
1、；
2、；
3、 4、；
5、；
6、；
7、a为何值时，方程组的解x ,y的值互为相反数，并求它的值。

8、（1）m、n为何值时，与是同类项。

（2）已知和是同类项，求x，y。

9、某牛奶加工厂现有100吨鲜牛奶准备加工后上市销售，该工厂的加工能力是，如果制成奶片每天可加工鲜奶10吨，如果制成酸奶每天可加工鲜奶30吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部加工完毕．该厂应安排几天制奶片，几天制酸奶，才能使任务在4天内正好完成？如果制成奶片销售每吨奶可获利2 000元，制成酸奶销售每吨奶可获利1 200元，那么该厂出售这些加工后的鲜牛奶共可获利多少元？
10、某校七年级（7）班学生用班会费向某一出版社邮购50本数学课外读
物，每本书价为7.50元，根据出版社规定邮购10本以下（包括10本）需要另加邮购费3元；邮购10本以上（不包括10本）需加书费的15%的邮购费，在邮局汇款时，每100元汇款需付汇款1元，汇款不足100元时．按100元汇款付汇费．
1. 经班委讨论有两种不同的邮购方案：方案一是每次邮购10
本，分5次邮购；方案二是一次性邮购50本，请求出两种不
同邮购方案所需的费用？
2. 若邮购的本数分别为60本，70本时，请比较用上述两种不同
邮购方案每本书的差价，并求出差价，从而说明采用哪种方
案邮购更省钱？
11、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
⑴求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
12、甲、乙两人同时分别从相距30千米的A，B两地匀速相向而行，经过三小时后相距3千米，在经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，设甲、乙两人的速度分别为x千米/小时、y千米/小时，请列方程组求甲、乙两人的速度．
13、为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B钟纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？。