函数极值求法及应用
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函数极值求法及应用
本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义
函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处,函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法
1. 导数法
首先,将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后,解以下方程组:
y'=0或y'不存在
求得的解即为函数的极值点。
例如,对于函数y=x^2-2x+1,其导函数y'=2x-2。
令y'=0,得到x=1。
此时,函数取得极小值y=0。
注意:在求解时需要注意导数不存在的情况,例如绝对值函数。
2. 二次函数法
对于二次函数y=ax^2+bx+c,当a>0时,该函数的最小值为c-b^2/(4a),当a<0时,该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如,对于函数y=x^2-2x+1,其a=1,b=-2,c=1。
因为a>0,所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法
当函数在一定区间内连续时,其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此,我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值,再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如,对于函数y=x^3-3x,当x∈[-1,2]时,极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2,导数不存在的点为x=0。
因此,函数在x=0处取得极大值y=0,而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用
函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如,在最小化成本的问题中,需要
确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为
y=3x^2-4x+8,其中x为产量,y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点,我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此,该企业应该保持产量在2/3时,成本会最小。
四、总结
函数极值是函数在一定区间内的最大值和最小值。
常用的求解极值的方法有导数法、二次函数法和边界法。
函数极值在优化问题中有着重要的应用,例如最小化成本问题。