函数极值求法及应用

函数极值求法及应用
本文将介绍函数极值求法及其应用。

一、函数极值的定义
函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。

在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。

二、求函数极值的方法
1. 导数法
首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。

然后，解以下方程组：
y'=0或y'不存在
求得的解即为函数的极值点。

例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。

令y'=0，得到x=1。

此时，函数取得极小值y=0。

注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。

2. 二次函数法
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。

例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。

因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。

3. 边界法
当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。

因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。

例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。

函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。

因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。

三、应用
函数极值可以在优化问题中起到重要作用。

例如，在最小化成本的问题中，需要
确定产量x的大小使得成本最小化。

假设某企业的生产成本函数为
y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。

该问题可以转化为求函数y的最小值。

通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。

因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。

四、总结
函数极值是函数在一定区间内的最大值和最小值。

常用的求解极值的方法有导数法、二次函数法和边界法。

函数极值在优化问题中有着重要的应用，例如最小化成本问题。