新课程同步人教B高中数学必修第三册新学案课时跟踪检测二十 倍角公式 含解析

课时跟踪检测（二十） 倍角公式
A 级——学考水平达标练
1．若tan θ＝－1
3，则cos 2θ等于( )
A ．－45
B ．－15
C.15
D ．45
解析：选D 若tan θ＝－1
3，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )
A ．－79
B ．－29
C.29
D ．79
解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝16
9，
即sin 2α＝－7
9
.
3．计算：sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°
2tan 22.5°＝( )
A.12 B ．1 C. 3
D ．2
解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1
tan 45°＝1.
4．化简sin 2x 2cos x ⎝⎛
⎭⎫1＋tan x ·tan x 2＝( ) A ．cos x B ．tan x C ．sin x
D ．1
2
sin 2x
解析：选B
原式＝2sin x cos x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x
cos x
·sin x
2cos x 2
＝sin x cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·
cos
x
2
cos x cos
x 2
＝
sin x
cos x
＝tan x . 5．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝4
5，则tan 2x 等于( ) A.7
24 B ．－
724 C.247
D ．－
247
解析：选D 由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－3
4，所以tan 2x ＝
2tan x
1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭
⎫－341－⎝⎛⎭
⎫－342
＝－24
7，故选D.
6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3
5，则sin 2x 的值为________． 解析：sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π
4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝7
25. 答案：
7
25
7．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，b ∈R)，则A ＝_______，b ＝________. 解析：2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＋1，故A ＝2，b ＝1. 答案：2 1
8．已知sin 2θ＝3
4
，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π42
＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π
22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝3
4，
∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝1＋
3
42＝78. 答案：78
9．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°
cos 80°1－cos 20°.
解：∵sin 50°(1＋3tan 10°)
＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，
cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°
＝1－cos 20°
2sin 210°＝ 2. 10．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；
(2)若f (α)＝1
7
，2α是第一象限角，求sin 2α.
解：(1)f (x )＝12cos 2x －32sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x ＝32sin 2x －1
2cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)∵f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝1
7，2α是第一象限角， 即2k π<2α<2k π＋π
2(k ∈Z)，
∴2k π－π6<2α－π6<2k π＋π
3(k ∈Z)，
∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝437
， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6·cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6·sin π6＝17×32＋437×12＝5314
.
B 级——高考水平高分练
1．已知tan x ＝1
2，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝( ) A.1
10 B.15 C.35
D ．
910
解析：选D 因为tan x ＝1
2
，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos ⎝⎛⎭
⎫π
2＋2x 2
＝1＋sin 2x 2＝1
2
＋
sin x cos x
sin 2x ＋cos 2x ＝12＋tan x tan 2x ＋1＝12＋25＝9
10
.
2．设sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝2
3，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝( ) A ．－7
9
B ．－5
9
C.59
D ．79
解析：选B 因为sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23， 所以sin ⎝
⎛⎭⎫2θ－π
6＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π2 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－59
. 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4－22·sin 2x 的最小正周期是________． 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4－22sin 2x ＝22sin 2x －2
2cos 2x －22×1－cos 2x 2 ＝
22sin 2x ＋2
2
cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2， 故该函数的最小正周期是2π
2＝π.
答案：π
4．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝
25
5
，则α＋2β＝________. 解析：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55，∴tan β＝1
2，则tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝
2×121－⎝⎛⎭⎫122
＝43
. ∵tan α＝7，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋43
1－7×43＝25
3
－25
3＝－1.
由α，β为锐角，可得α＋2β＝3π
4.
答案：
3π4
5．已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1
tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x .
(1)求f ⎝⎛⎭
⎫－17
12π的值； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 求g (x )＝1
2f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值． 解：f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1
tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·sin 2⎝⎛⎭
⎫π4－x
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋cos 2x 22
－2cos 2x －1
tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos 2⎝⎛⎭
⎫π4＋x
＝
cos 22x
sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋x
＝cos 22x 12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 22x
12cos 2x
＝2cos 2x .
(1)f ⎝⎛⎭⎫－1712π＝2cos 17π6＝2cos 5π6＝－ 3. (2)g (x )＝1
2f (x )＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以g (x )max ＝2，g (x )min ＝－1.
6.如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．
解：∵∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ， ∴∠BAC ＝θ，∴AC ＝BC ＝30 m.
又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，∴∠CAD ＝2θ， ∴AD ＝CD ＝10 3 m.
∴在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)， 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m)， ∴103sin 4θ＝30sin 2θ，
即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝32
， 又2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π
12， ∴AE ＝30sin π
6
＝15(m)，
∴θ＝π
12，建筑物AE 的高为15 m.。