江苏省扬州中学2015届高三8月开学考试 数学试题

江苏省扬州中学2015届高三8月开学考试 数学试题
一、填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）
1．]2,0[,sin 3)(π∈=x x x f 的单调减区间为
2．若复数z=1+ai （i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是
3．若方程0102ln =-+x x 的解为0x ，则大于0x 的最小整数是
4．设A 、B 是非空集合，定义}|{B A x B A x x B A ∉∈=⨯且． 已知{
}
22|x x y x A -==，{}0,2|>==x y y B x ，则=⨯B A
5．将函数)3
2sin(π
+=x y 的图象上的所有点向右平移
6
π
个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2
1
倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为
6．下列说法中，正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）．
①若f '（x 0）＝0，则f （x 0）为f （x ）的极值点； ②在闭区间[a ，b ]上，极大值中最大的就是最大值；
③若f （x ）的极大值为f （x 1），f （x ）的极小值为f （x 2），则f （x 1）＞f （x 2）； ④有的函数有可能有两个最小值；
⑤已知函数x
e x
f =)(,对于)(x f 定义域内的任意一个1x 都存在唯一个
1)()(,212=x f x f x 使成立．
7．设向量a ，b 的夹角为θ，a =（2，1），a +3b =（5，4），则sin θ=
8．若一次函数()f x 满足[()]1f f x x =+，则2()
()(0)f x g x x x
=>的值域为
9．设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(02
0x x ++=
10．在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=。

若23C π=，则a
b
=
11．函数y=sinx 与y=cosx 在]2
,
0[π
内的交点为P ，在点P 处两函数的切线与x 轴所围成的三
角形的面积为
12．已知ABC ∆是边长为4的正三角形，D 、P 是ABC ∆内部两点，且满足
11
(),48
AD AB AC AP AD BC =
+=+，则APD ∆的面积为
13．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当2)(,0x x f x =≥时，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是
14．已知函数2
()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'
()f x ≤()f x .若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式2
2
()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为
二、解答题：（共6小题，总分90分） 15．（本题14分）已知2(2sin(),3),(cos(),2cos ()),222
a x
b x x θ
θθ
=+
=++且0θπ≤≤,
()3f x a b =⋅-,且()f x 为偶函数.
（1）求θ; (2) 求满足()1f x =，[,]x ππ∈-的x 的集合．
16．（本题14分）已知命题:p 指数函数()(26)x
f x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x
的方程23x ax -2210a ++=的两个实根均大于3.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.
17．（本题14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠，
22cos -cos cos cos .A B A A B B =
（1）求角C 的大小； （2）若4
sin 5
A =，求ABC ∆的面积.
18．（本题16分）一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB,DC 分别与圆弧BC 相切于B,C 两点，EF //AB,GH //CD,且
两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.
（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点M ,N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P,设
CMN (rad ),θ∠=试用θ表示木棒MN 的长度f ();θ
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。

姓名__________________ 学号
………内……………不……………要……………答……………题………………
19．（本题16分）设函数1
(0ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线
为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.
20．（本题16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数
a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P .
(1)设函数)(x f 2
ln (1)1
b x x x +=+
>+，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ，②求函数)(x f 的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定
为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且
1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

数学答题纸
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.
16.
17.
18.
__________________ 姓名__________________ 学
…封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
19.20题解答请写在试卷反面 数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21.（本题满分10分）两条曲线的极坐标方程分别为12cos()3
π
ρρθ==+与,它们相交于
A,B 两点，求线段AB 的长。

22. （本题满分10分）已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
23. （本题满分10分）抛掷A,B,C 三枚质地不均匀的纪念币，它们正面向上的概率如下表所示)10(<<a ；
将这三枚纪念币同时抛掷一次，设ξ表示出现正面向上的纪念币的个数。

（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率)3,2,1,0)((==i i P ξ中，若)1(=ξP 的值最大，求a 的最大值。

24. （本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1422AB ,AD ,AA ,F ===
是棱BC 的中点，点E 在棱11C D 上，且11D E EC λ=（λ为实数）。

（1）当1
3
λ=
时，求直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小；
（2）试问：直线EF 与直线EA 能否垂直？请说明理由。

数学答案：
1．），也可以写（
2
32]2
3,2[
π
ππ
π 2．]3,3[- 3．5
4．),2(]1,0[+∞
5．x y 4sin =
6．⑤
7．
10
10 8．[2,)+∞
9．2 10．
35
11．
2
2 12 13．),2[+∞ 14．
32
15.解：（1）6
π
θ=
；（2）55{,,,}6666
x ππππ
∈-
- ． 16.解:7
(2,3][,)2
+∞
17.（1）由题意得，
1cos 21cos 2222222
A B A B ++-=-，
11
2cos 22cos 222
A A
B B -=-， sin(2)sin(2)66A B ππ
-=-，由a b ≠得，A B ≠，又()0,A B π+∈，得
2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3
C π=；
（2）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =得8
5
a =，
由a c <，得A C <，从而3
cos 5
A =，故
()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=
，
所以ABC ∆的面积为118
sin 225
S ac B =
=
． 18.⑴如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 的垂线，垂足为点T ，且交MN
或其延长线于S ，并连结PQ ，再过点N 作TQ 的垂线，垂足为W ，在Rt △NWS 中，因为NW=2，
∠SNW=θ，所以NS=
2
cos θ
， 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以PQ ⊥MN ，在Rt △QPS 中，因为PQ=1，∠PQS=θ，所以QS=
11,2cos cos QT QS θθ
-=-，
所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为2．
19. 112()'()1.
(1)2,'(1).a 1, 2.
x x x x a b b f x f x ae nx e e e x x x
f f e b ==∞=+-+====（I ）函数的定义域为(0,+),由题意可得故
122()1,()11.
()1,'()1.
x x x f x e n e f x x nx xe x e g x x nx g x nx =-=+>>-==（II ）由（I ）知从而等价于设函数则
11
(0,)'()0;(,)'()0.x g x x g x e e
∈<∈+∞>所以当时，当时，
11
(),()11.g x g x e e
e e
+∞∞故在（0,）单调递减，在（）单调递增，从而在(0,)的最小值为
g()=-
2
(),'()(1).
(0,1)'()0;(1,)'()0.()1
()(0,)(1).
0()(),() 1.
x x h x xe h x e x e
x h x x h x h x h x h e
x g x h x f x --=-=-∈>∈+∞<∞∞=->>>设函数则所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为综上，当时，即
20. （1）①'()f x 2
22121(1)(1)(1)b x bx x x x x +=
-=-+++∵1x >时，
2
1()0(1)h x x x =>+恒成立，∴函数)(x f 具有性质)(b P ；
22.
2cos.
().
3sin.
60.
x
y
l x y
θ
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
+-=
（I）曲线C的参数方程为为参数直线的普通方程为2
cos sin
3sin 6.
l
d
θθ
θθ
=+-
（II）曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为
4
)6,tan.
sin303
sin
sin()1
5
d
PA
PA
PA
θααα
θα
θα
==+-=
︒
+=
则其中为锐角，且
当(+)=-1时，
当时，取得最小值，最小值为
2
=
Eξ（2）
2
0≤
<a，所以a的最大值是
2
24.
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⋅
=
⋅
,0
,0
1
1
D
n
D
n
解得
⎩
⎨
⎧
=
=
,
2
,
y
z
z
x
取1
=
y，则)2,1,2(
=
n，因为14
|
|=，3
|
|=
n，1
=
⋅n
EF，所以=
〉
〈n
EF,
cos=
42
14
3
14
1
=
⨯
因为0
,
cos>
〉
〈n
EF，所以〉
〈n
EF,是锐角，是直线EF与平面AC
D
1
所成角的余角，
所以直线EF 与平面AC D 1所成角的正弦值为42
14． ⑵假设EF EA ⊥，则0=⋅EA EF ，因为)2,14,2(-+-
=λλ， )2,144,1(-+-=λλEF ，所以04)144(142=++-+-λ
λλλ， 化简，得03232=+-λλ，因为0364<-=∆，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 垂直．。