内蒙古包头市、巴彦淖尔市、乌兰察布市2021年中考数学真题试卷(Word版,含答案与解析)

内蒙古包头市、巴彦淖尔市、乌兰察布市2021年中考数学试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：46.61万=466100=4.661 ×105，故n=5
故答案为：C．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。

根据科学记数法的定义计算求解即可。

2.下列运算结果中，绝对值最大的是（）
A. 1+(−4)
B. (−1)4
C. (−5)−1
D. √4
【答案】A
【考点】实数大小的比较，实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵1+(−4)=−3，(-1)4=1，(-5)-1= −1
5
，√4=2
而|−3|=3，|1|=1，|−1
5|=1
5
，|2|=2，且3>2>1>1
5
∴1+(−4)的绝对值最大故答案为：A．
【分析】先求出|−3|=3，|1|=1，|−1
5|=1
5
，|2|=2，再根据3>2>1>1
5
计算求解即可。

3.已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）
A. 1
B. 3
C. 1或3
D. 2或3
【答案】C
【考点】线段的中点，线段的计算
【解析】【解答】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,
∴AD= 1
2
AC=1
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,
∴AD= 1
2
AC=3
故答案为：C ．
【分析】分类讨论，结合图形求解即可。

4.柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ） A. 1
3 B. 1
4 C. 1
5 D. 1
6 【答案】 A
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：设两双鞋的型号分别为： A 1，A 2，B 1，B 2 ， 其中A 1 ， A 2为一双，B 1 ， B 2为一双， 画树状图如下：
共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种， 则取出的鞋是同一双的概率为： 4
12=1
3 ， 故答案为：A ．
【分析】先画树状图求出共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，再求概率即可。

5.如图，在 Rt △ABC 中， ∠ACB =90° ， AB =√5 ， BC =2 ，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ， 交AC 于点C ， 以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E ， 交BC 于点F ， 则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 8−π
B. 4−π
C. 2−π4
D. 1−π
4 【答案】 D
【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：∵ ∠ACB =90° ， ∴∠A +∠B =90°，
∵ AB =√5 ， BC =2 ， ∴ AC =√AB 2−BC 2 =1，
∴S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD
= 1
2BC·AC- 90⋅π⋅AC2
360
= 1
2×1×2- 90π
360
=1- π
4
，
故答案为：D．
【分析】先求出∠A+∠B=90°，再求出AC=1，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式计算求解即可。

6.若x=√2+1，则代数式x2−2x+2的值为（）
A. 7
B. 4
C. 3
D. 3−2√2
【答案】C
【考点】代数式求值
【解析】【解答】解：x2−2x+2=(x−1)2+1=(√2+1−1)2+1=3．
故答案为：C
【分析】将x=√2+1代入代数式计算求解即可。

7.定义新运算“ ⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m 的值是（）
A. −1
B. −2
C. 1
D. 2
【答案】B
【考点】定义新运算
【解析】【解答】解：由a⊗b=a−2b，
∴x⊗m=x−2m>3，
得：x>2m+3，
∵x⊗m>3解集为x>−1，
∴2m+3=−1
∴m=−2，
故答案为：B．
【分析】先求出x⊗m=x−2m>3，再求出2m+3=−1，最后计算求解即可。

8.如图，直线l1//l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4等于（）
A. 80°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
【答案】B
【考点】角的运算，平行线的性质
【解析】【解答】解：∵l1//l2，∠3=50°，
∴∠1=180°−50°=130°，
∵∠1+∠2+∠3=240°，
∴∠2=240°-180°=60°，
∴∠4=∠BAC=180°−∠2−∠ACB=180°−60°−50°=70°，故答案为：B．
【分析】先求出∠1=130°，再求出∠2=60°，最后计算求解即可。

9.下列命题正确的是（）
A. 在函数y=−1
2x
中，当x>0时，y随x的增大而减小
B. 若a<0，则1+a>1−a
C. 垂直于半径的直线是圆的切线
D. 各边相等的圆内接四边形是正方形
【答案】 D
【考点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当k=−1
2<0时，反比例函数y=−1
2x
在x>0时，函数值y随x的增大
而增大，故此选项不符合题意；
B、当a<0时，-a>0，故-a>a，从而1-a>1+a，故此选项不符合题意；
C、过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故此选项不符合题意；
D、由于圆内接四边形的四边相等，故每边所对的圆心角相等且均为360°÷4=90°，由此可得四边形的对角线相互垂直且相等，因而此四边形是正方形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断求解即可。

10.已知二次函数y=ax2−bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,−b)，则一次函数y=bx−ac 的图象不经过（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵点(1,−b)在第一象限
∴−b>0
∴b<0
∵二次函数y=ax2−bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,−b)
∴−b=a−b+c
∴a+c=0
∴y=bx−ac=bx+a2
当x=0时，y=a2，即y=bx−ac和y轴交点为：(0,a2)
当y=0时，x=−a2
b ，即y=bx−ac和x轴交点为：(−a2
b
,0)
∵a2>0，−a2
b
>0
∴一次函数 y =bx −ac 的图象不经过第三象限 故答案为：C ．
【分析】先求出a +c =0 ， 再求出(0,a 2)和(−
a 2b
,0) ， 最后求解即可。

11.如图，在 △ABC 中， AB =AC ， △DBC 和 △ABC 关于直线BC 对称，连接AD ， 与BC 相交于点O ， 过点C 作 CE ⊥CD ，垂足为C ， 与AD 相交于点E ． 若 AD =8 ， BC =6 ，则 2OE +AE
BD
的值为（ ）
A. 43
B. 34
C. 53
D. 5
4 【答案】 D
【考点】勾股定理，菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AB =AC ， △DBC 和 △ABC 关于直线BC 对称， ∴AB =AC =CD =BD ， ∴四边形ABDC 是菱形， ∴BC ⊥AD ，OC=OB ，OA=OD ， ∵ AD =8 ， BC =6 ， ∴OC =OB =3，OA =OD =4， 在Rt △COD 中，OC =3，OD =4， ∴DC = √32+42=5 ， ∴AB =AC =CD =BD =5， ∵ CE ⊥CD ，
∴ CE 2+CD 2=DE 2 ， CE 2=OE 2+CO 2 ， ∴ OE 2+32+52=(OE +4)2 ， ∴ OE =9
4 ，
∴ 2OE +AE BD
=OE+AE+OE BD
=
4+9
4
5
=5
4 ，
故答案为：D ．
【分析】先求出BC ⊥AD ，OC=OB ，OA=OD ，再求出OE =9
4 ，最后计算求解即可。

12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（4，2），反比例函数 y =2
x (x >0) 的图象与BC 交于点D ， 与对角线OB 交于点E ， 与AB 交于点F ， 连接OD ， DE ， EF ， DF ． 下列结论：① sin ∠DOC =cos ∠BOC ；② OE =BE ；③ S △DOE =S △BEF ；④ OD:DF =2:3 ．其中正确的结论有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个【答案】A
【考点】反比例函数的图象，矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，
根据反比例函数y=2
x
(x>0)，
当y=2时，x=1，即D点坐标为(1，2)，
当x=4时，y=1
2，即F点坐标为(4，1
2
)，
∵OC=2，CD=1，
∴OD=√22+12=√5，∵OC=2，CB=4，
∴OB=√22+42=2√5，
∴sin∠DOC=CD
OD√5√5
5
，
cos∠BOC=OC
OB2√5√5
5
，
∴sin∠DOC=cos∠BOC，
故结论①符合题意；
设直线OB的函数解析式为：y=kx，点B代入则有：2=4k，
解得：k=1
2
，
故直线OB的函数解析式为：y=1
2
x，
当1
2x=2
x
时，x1=2；x2=−2(舍)
即x=2时，y=1，∴点E的坐标为(2，1)，∴点E为OB的中点，∴OE=BE，
故结论②符合题意；∵CD=1，AF=1
2
，
∴BD=3，BF=3
2
，
由②得：S△DOE=S△DBE=1
2×BD×1=3
2
，
S△BEF=1
2×BF×2=3
2
，
∴S△DOE=S△BEF，
故结论③符合题意；
在Rt△OCD和Rt△DBF中，
OC CD =2，DB
BF
=33
2
=2，
∴△OCD∽△DBF，
∴OD:DF=OC:DB=2:3，
故结论④符合题意，
综上：①②③④均符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用反比例函数的性质，勾股定理，三角形的面积公式和相似三角形的性质与判定对每个结论一一判断求解即可。

二、填空题（共8题；共8分）
13.因式分解：ax2
4
+ax+a=________．
【答案】a(x
2
+1)2
【考点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：ax2
4+ax+a=a(x2
4
+x+1)=a(x
2
+1)2，
故填：a(x
2
+1)2．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式计算求解即可。

14.化简：(2m
m2−4+1
2−m
)÷1
m+2
=________．
【答案】1
【考点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(2m
m2−4+1
2−m
)÷1
m+2
= (2m
m2−4−1
m−2
)÷1
m+2
= 2m−(m+2)
m2−4
×(m+2)
= m−2
(m+2)(m−2)
×(m+2)
=1．
故填1．
【分析】利用分式的基本性质化简即可。

15.一个正数a的两个平方根是2b−1和b+4，则a+b的立方根为________．
【答案】2
【考点】平方根，立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵2b−1和b+4是正数a的平方根，
∴2b−1+b+4=0，
解得b=−1，
将b代入2b−1=2×(−1)−1=−3，
∴正数a=(−3)2=9，
∴a+b=−1+9=8，
∴a+b的立方根为：√a+b
3=√8
3=2，
故填：2．
【分析】先求出b=−1，再求出a+b=−1+9=8，最后求解即可。

16.某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10，若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为________．
【答案】3.6
【考点】方差，分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：根据题意，x=8
∴5次射击命中的环数分别为5，10，7，8，10
∴这组数据的平均数为：5+10+7+8+10
5
=8
∴这组数据的方差为：(5−8)2+(10−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(10−8)2
5=9+4+1+4
5
=3.6
故答案为：3.6．
【分析】根据中位数，平均数和方差计算求解即可。

17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=2，则MN的长为
________．
【答案】6
5
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∠ACB=90°
∴AC∥MN∥DB，
∴△BNM∼△BCA,△CNM∼△ABD，
∴MN
AC =BN
BC
,MN
BD
=CN
BC
即MN
2=BN
BC
,MN
3
=CN
BC
,
又∵BN
BC +CN
BC
=1，
∴MN
2+MN
3
=1，
解得MN=6
5
,
故填：6
5
．
【分析】先证明△BNM∼△BCA,△CNM∼△ABD，再求出MN
2+MN
3
=1，最后计算求解即可。

18.如图，在▱ABCD中，AD=12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC= AB，则▱ABCD的周长为________．
【答案】24+6√5
【考点】平行四边形的性质，切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE，作AF⊥BC于F，
∵BE为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OEB=90°，
∵AD∥BC，
∴AF∥OE，
∴四边形AFEO为平行四边形，
∵∠OEF=90°，
∴▱AOEF为矩形，
∴AF=OE，EF=AO= 1
2
AD=6,
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD=12，
∵AB=OC
∴Rt△ABF≌Rt△OCE，
∴BF=CE=3，
∵OE=OA=6，
∴在R t△OCE中，OC=√OE2+CE2=3√5，
∴AB=CD=OC= 3√5，
∴▱ABCD的周长为为（12+3√5）×2= 24+6√5．
故答案为：24+6√5
【分析】先求出四边形AFEO为平行四边形，再利用勾股定理求出OC的值，最后求周长即可。

19.如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE=DC，EF=EC，则∠BAF的度数为________．
【答案】22.5°
【考点】正方形的性质，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接AE,如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD,∠ADE=∠EDC=∠CBE=45°，∠BAD=∠BCD=90°,
∵DE=CD,
∴AD=DE=CD，
∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE=67.5°，
∴∠BCE=∠BAE=22.5°, ∠BEC=112.5°,
又∵EF=EC,
∴∠ECF=∠EFC=22.5°,
∴∠FEC=135°,
∴∠FEB=∠FEC−∠BEC=135°−112.5°=22.5°,
∴∠AEF=180°−∠AED−∠FEB=180°−67.5°−22.5°=90°,
在△DAE和△DEC中：
∵{AD=DC
∠ADE=∠CDE
DE=DE
∴△DAE≌△DEC(SAS),
∴AE=EC，
又∵EC=EF,
∴AE=EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠FAE=45°，
∴∠BAF=∠FAE−∠BAE=45°−22.5°=22.5°,
故填：22.5°．
【分析】先求出∠FEC=135°,再利用SAS证明△DAE≌△DEC，最后计算求解即可。

20.已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D(4,y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为
________．
【答案】4
【考点】轴对称的应用-最短距离问题，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据题意可求出A(−1,0),B(3,0),C(0,3)，D(4,5)，
抛物线y=x2−2x−3的对称轴为：x=−b
2a
=1，
根据函数对称关系，点B关于x=1的对称点为点A，
连接AD与x=1交于点E，
此时BE+DE的值最小，
过D点作x轴垂线，垂足为F，
设抛物线对称轴与x轴交点为G，
∵EG∥DF，
∴△AEG∽△ADF，
∴AG
AF =EG
DF
⇔2
5
=EG
5
，
∴ EG =2 ，
过点C 作 x =1 的垂线，垂足为H ，
所以四边形ACHE 的面积等于 △AGE 与梯形ACHG 的面积和，
即 2×2×12+(2+1)×3×12=
132 ， 则 S △ACE = S 四边形ACHE - S △ECH =
132−1×5×12=4 ， 故答案为：4．
【分析】先求出x =−b 2a =1 ， 再求出△AEG ∽△ADF ，最后利用面积公式求解即可。

三、解答题（共6题；共70分）
21.为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a ， b 满足 b =2a ．
请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
乙组20名学生竞赛成绩统计图
（1）求统计表中a ， b 的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： (70+80+90+100)÷4=85 （分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否符合题意，若不符合题意，请写出正确的算式并计算出结果； （3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
【答案】 （1）解：根据题意，得 {3+a +b +5=20b =2a
，解得 {a =4b =8 ， （2）解：不符合题意．正确的算法：甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：
(70×3+80×4+90×8+100×5)÷20=87.5 （分）
（3）解：根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为70分，80分，90分，100分的人数占乙组总人数的百分比分别为40%，25%，25%，10%． 所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是：
70×40%+80×25%+90×25%+100×10%=80.5 （分）
因为 87.5>80.5 ，所以甲组竞赛成绩较好．
【考点】统计表，扇形统计图，加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 即可作答；
（2）根据扇形统计图和统计表中的数据计算求解即可；
（3）根据平均分计算求解即可。

22.某工程队准备从A 到B 修建一条隧道，测量员在直线AB 的同一侧选定C ， D 两个观测点，如图，测得AC 长为 3√22km ，CD 长为 34(√2+√6)km ，BD 长为 32 km ， ∠ACD =60° ， ∠CDB =135° （A 、B 、C 、D 在同一水平面内）．
（1）求A 、D 两点之间的距离：
（2）求隧道AB 的长度．
【答案】 （1）解：如图，过点A 作 AE ⊥CD ，垂足为E ，
∴∠AEC =90° ．
在 Rt △ACE 中， ∵sin ∠ACE =AE AC ， ∠ACD =60° ， AC =3√22 ， ∴AE =3√22⋅sin60°=
3√64 ． ∵cos ∠ACE =CE AC ，
∴CE =3√22
⋅cos60°=3√24 ． ∵CD =34(√2+√6) ，
∴DE =CD −CE =3√64 ．
在 Rt △AED 中， ∵AD =√AE 2+DE 2 ，
∴AD =(3√64)(3√64)=3√32(km ) ． ∴ A 、D 两点之间的距离为 3√32
km ．
（2）解： ∵∠AED =90° ， AE =DE =
3√64 ，
∴△ADE 是等腰直角三角形，
∴∠ADE =45° ，
∵∠CDB =135° ，
∴∠ADB =∠CDB −∠ADE =90° ，
∴△ADB 是直角三角形．
在 Rt △ADB 中， ∵AB =√AD 2+BD 2 ， BD =32 ，
∴AB =(3√32)(32)=3(km ) ． ∴ 隧道AB 的长度为 3km ．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可；
（2）先求出△ADB 是直角三角形，再利用勾股定理求出AB=3，最后作答即可。

23.小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【答案】 （1）解：设小刚跑步的平均速度为x 米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x 米/分， 根据题意，得 1800
1.6x +4.5=1800
x ，
解这个方程，得 x =150 ，
经检验， x =150 是所列方程的根，
所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）解：由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为 1800
150=12 （分），
骑自行车所用时间为 12−4.5=7.5 （分），
在家取作业本和取自行车共用了3分，
所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要 12+7.5+3=22.5 （分）．
因为 22.5>20 ， 所以小刚不能在上课前赶回学校．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先求出 1800
1.6x +4.5=再解方程并检验求解即可；
（2）先求出 小刚跑步所用时间为12分钟，再求出骑自行车所用时间为7.5分钟，最后计算求解即可。

24.如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交AC⌢于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF=180°；
（2）若∠ACB=45°，AD=4，tan∠ABC=2，求HF的长．
【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°．
∵FG⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠AED=∠AHF，
∴DE∥GF，
∴∠EDF+∠DFG=180°．
∵∠GAD=∠DFG，
∴∠GAD+∠EDF=180°．
（2）解：连接OF，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°．
∵∠ACB=45°，
∴∠CAD=∠ACB=45°．
∴AD=CD．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，
∴DF⊥AC，
∴AF=CF．
∵OA=OD，
∴OF∥DC．
∴∠AOF=90°．
∴∠MFO+∠FMO=90°．∵∠AHM=90°，
∴∠MAH+∠AMH=90°．∵∠FMO=∠AMH，
∴∠MFO=∠MAH，
∴∠MFO=∠BAD．
∵∠FOM=∠ADB=90°，∴△FMO∽△ABD，
∴MO
BD =FO
AD
．
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=AD
BD
，AD=4，tan∠ABC=2，∴BD=2，OF=OA=2，
∴MO
2=2
4
，
∴MO=1，
∴AM=1．
在Rt△MOF中，∵MF=√OM2+OF2，
∴MF=√12+22=√5，
∵∠AHM=∠FOM=90°，∠AMH=∠FMO，∴△AHM∽△FOM，
∴HM
OM =AM
FM
，
∴HM
1=
√5
，
∴HM=√5
5
，
∴HF=HM+MF=√5
5+√5=6√5
5
．
【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出∠AHF=90°，再求出DE//GF，最后求解即可；
（2）先求出AD=CD，再利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。

25.如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．
⌢上时，连接AP，（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在QR
在BC边的下方作∠BCD=∠BAP，CD=AP，连接DP，求∠CPD的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC=3BE，当BP=CP时，连接EP并延长，交AC于点F．若
√7AB=4BP，求证：4EF=3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM=2MC时，连接MP．若∠CMP=150°，AB=6a，MP=√3a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1−S2的值（用含a的代数式表示）．【答案】（1）解：如图，连接BD
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=60°．
∵∠BCD=∠BAP，CD=AP，
∴△ABP≌△CBD，
∴BP=BD，∠ABP=∠CBD．
∵∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠CBD+∠PBC=60°，
∴∠DBP=60°，
∴△DBP是等边三角形，
∴∠BPD=60°．
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BPC=90°，
∴∠CPD=30°．
（2）解：如图，连接AP并延长交BC于点G
∵AB=AC，BP=CP，
∴AG⊥BC，BG=CG．
设BE=x，则EC=3x，
∴AB=BC=4x．
∴BG=CG=2x，
∴EG=x．
∵√7AB=4BP，
∴BP=√7x．
∵AG⊥BC，
∴∠BGP=90°．
在Rt△BGP中，由勾股定理得：GP2=BP2−BG2，∴GP=√(√7x)2−(2x)2=√3x．
在Rt△EGP中，tan∠GEP=GP
EG
=√3，
∴∠GEP=60°，
∴∠GEP=∠ABC．
∵∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA，
∴EF
BA =EC
BC
=3x
4x
，
∴4EF=3AB．
（3）解：如图，延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作PN⊥AC，垂足为N
∵AB=6a，AM=2MC，
∴AM=4a．
∵∠CMP=150°，
∴∠AMH=30°．
∵∠BAC=60°，
∴∠AHM=90°．
在Rt△AMH中，∠AMH=30°，AM=4a，
∴AH=2a，
∴MH=√AM2−AH2=2√3a．
∵MP=√3a，
∴HP=√3a．
∴S△ABP=1
2⋅AB⋅HP=1
2
×6a⋅√3a=3√3a2，
在Rt△MNP中，∠NMP=30°，MP=√3a，∴NP=√3
2
a．
∴S△ACP=1
2⋅AC⋅NP=1
2
×6a⋅√3
2
a=3√3a2
2
．
．
∴S1−S2=S△ABP+S△ACP=9√3a2
2
【考点】圆的综合题，三角形的综合
【解析】【分析】（1）先证明三角形全等，再求出△DBP是等边三角形，最后求解即可；
（2）利用勾股定理，锐角三角函数和相似三角形的性质求解即可；
（3）先求出AH=2a，再利用三角形的面积公式求解即可。

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点
M(m,n)是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m>0，n>0，且n=3m时，
①求点M的坐标：
,y)在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重②若点B(15
4
合），过点C作CD//MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
)在对称轴上，当m>2，n>0，且直（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E(x,7
3
线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的)，连接GF．若EF+NF=2MF，求证：射线FE平分∠AFG．
坐标为(0,18
5
【答案】（1）解：如答案图6.
① ∵点M(m,n)在抛物线上，且n=3m，
∴−m2+4m=3m，解得m1=0，（舍去）
m2=1，
∴n=3，∴M(1,3)．
② OD=MC，
,y)在该抛物线上，
∵点B(15
4
∴y=15
16，∴B(15
4
,15
16
)．
设直线MB交x轴于点H，解析式为y=k1x+b1，
∴{k1+b1=3,
15 4k1+b1=15
16
.解得{
k1=−3
4
,
b1=15
4
.
∴y=−3
4x+15
4
当y=0时，x=5，
∴H(5,0)，∴OH=5．
过点M作MR⊥x轴，垂足为R，
∴OR=1，MR=3，
∴RH=4，
∴根据勾股定理得MH=5，
∴OH=MH，
∴∠HOM=∠HMO．∵CD∥MO，
∴∠HOM=∠HDC，∠HMO=∠HCD，∴∠HDC=∠HCD，∴HD=HC，∴OD=MC．
（2）解：如答案图7.
证明：对称轴x=−
4
2×(−1)
=2，∴E(2,7
3
)，
∵EF+NF=2MF，∴NF−MF=MF−EF，∴MN=ME．过点M作MQ⊥x轴，垂足为Q，
∴EK∥MQ∥NA，∴QK
QA =ME
MN
，
∴QK=QA．
当−x2+4x=0时，解得x1=0，x2=4，∴A(4,0)．
∵K(2,0)，Q(m,0)，
∴m−2=4−m，
∴m=3．∴n=−32+4×3=3，
∴M(3,3)．
设直线EM的解析式为y=k2x+b2，
∴{2k 2
+b 2=73,3k 2+b 2=3. 解得 {k 2=23,b 2=1.
∴y =23x +1 ．设直线EM 交y 轴于点S ，过点S 作 SP ⊥GF ，垂足为P ． 当 x =0 时， y =1 ．
∴S(0, 1) ．当 y =0 时， x =−32 ，
∴F(−32,0) ，
∴OF =32
， OS =1 ． ∵G(0,185) ，
∴OG =
185 ， ∴GS =135 ．
∵∠GPS =∠GOF =90° ， ∠PGS =∠OGF ，
∴△GPS ∽△GOF ，
∴GP GO =PS OF ， ∴GP PS =125 ．
设 GP =12a ，则 PS =5a ．
在 Rt △GPS 中，
∵GP 2+PS 2=GS 2 ，
∴(12a)2+(5a)2=(135)2 ． ∴a =±15
（负值舍去）， ∴a =15 ， ∴PS =1 ，
∴PS =OS ．
∵SP ⊥GF ， SO ⊥AF ，
∴ 射线FE 平分 ∠AFG ．
【考点】相似三角形的判定与性质，二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①先求出m=1，再求出n=3，最后求点的坐标即可； ②先求出点B 的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，最后求解即可； （2）先求出 x 1=0 ， x 2=4 ， 再利用待定系数法求出直线EM 的解析式，最后利用相似三角形和勾股定理计算求解即可。