2019-2020年天津市红桥区九年级上册期末数学试题(有答案)

天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）
A．y=3﹣1 B．y=3﹣2﹣3 C．y=（+1）2﹣2D．y=32﹣1
2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．（3分）抛物线y=3（﹣4）2+5的顶点坐标为（）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）
5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．
6．（3分）对于双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）
A．2B．C．3 D．2
8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）
A．75°B．65°C．60°D．50°
9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）
A．110°B．120°C．150°D．160°
11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）
A．10 B．18 C．20 D．22
12．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则的值为（）
A．16 B．C．D．9
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，那么m的取值范围是．
14．（3分）如图，已知反比例函数y=（为常数，≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则= ．
15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= ．
16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是．17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．
19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．
20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y
1=的图象上一点，直线y
2
=﹣与反
比例函数y
1
=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y
1＞y
2
时的取值范围；
（Ⅲ）动点P（，0）在轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；
（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．
25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大
小．
26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？
天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（）
A．y=3﹣1 B．y=3﹣2﹣3 C．y=（+1）2﹣2D．y=32﹣1
【解答】解：二次函数的一般式是：y=a2+b+c，（其中a≠0）
（A）最高次数项为1次，故A错误；
（B）最高次数项为3次，故B错误；
（C）y=2+2+1﹣2=2﹣1，故C错误；
故选（D）
2．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为（）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：∵DE∥BC，
∴即
解得：EC=6．
故选B．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）抛物线y=3（﹣4）2+5的顶点坐标为（）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）
【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（﹣4）2+5，
∴其顶点坐标为：（4，5）．
故选D．
5．（3分）从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵在，0，π，3.14，6这5个数中只有0、3.14和6为有理数，
∴从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．
故选C．
6．（3分）对于双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1
【解答】解：∵双曲线y=，当＞0时，y随的增大而减小，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1．
故选D．
7．（3分）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（）
A．2B．C．3 D．2
【解答】解：如图OA=2，求AB长．
∠AOB=360°÷3=120°
连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，
∴AB=2AC，∠AOC=60°，
∴AC=OA×sin60°=cm，
∴AB=2AC=2cm，
故选A．
8．（3分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度数是（）
A．75°B．65°C．60°D．50°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∠BAD=25°，
∴∠B=65°．
∴∠C=65°．
故选B．
9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠CAC′=40°，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∵CC′∥AB，
∴∠BAC=∠ACC′=70°，
故选D．
10．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，若旋转角为20°，则∠1为（）
A．110°B．120°C．150°D．160°
【解答】解：设C′D′与BC交于点E，如图所示．
∵旋转角为20°，
∴∠DAD′=20°，
∴∠BAD′=90°﹣∠DAD′=70°．
∵∠BAD′+∠B+∠BED′+∠D′=360°，
∴∠BED′=360°﹣70°﹣90°﹣90°=110°，
∴∠1=∠BED′=110°．
11．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）
A．10 B．18 C．20 D．22
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD 的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选C ．
12．（3分）如图，点A 在双曲线的第一象限的那一支上，AB 垂直于y 轴于点B ，点C 在轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC 上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则的值为（ ）
A ．16
B ．
C ．
D ．9
【解答】解：连DC ，如图，
∵AE=3EC ，△ADE 的面积为3，
∴△CDE 的面积为1，
∴△ADC 的面积为4，
设A 点坐标为（a ，b ），则AB=a ，OC=2AB=2a ，
而点D 为OB 的中点，
∴BD=OD=b ，
∵S 梯形OBAC =S △ABD +S △ADC +S △ODC ， ∴（a+2a ）×b=a ×b+4+×2a ×b ，
∴ab=，
把A （a ，b ）代入双曲线y=，
∴=ab=．
故选B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）如果抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1 ．
【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）2的开口向上，
所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．
14．（3分）如图，已知反比例函数y=（为常数，≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则= ﹣2 ．
【解答】解：依据比例系数的几何意义可得两个三角形的面积都等于||=1，解得=﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（3分）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= 8.5 ．
【解答】解：∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴=，
即=，
解得AB=10.5，
∴DE=AB﹣AE=10.5﹣2=8.5．
故答案为：8.5．
16．（3分）已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10 ．
【解答】解：
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC的外接圆的半径是×10=5，即外接圆的直径是10，
故答案为：10．
17．（3分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是．【解答】解：画出树状图说明评委给出A选手的所有可能结果：
由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．并且它们是等可能的，
∴对于A选手，进入下一轮比赛的概率是，
故答案为：．
18．（3分）如图，沿直线DE折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为28，D为AB上一点，BD=15，BF=7，则CE= ．
【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠DFE=∠A=60°，
∵∠EFC=180°﹣∠DFB﹣∠DFE，∠FDB=180°﹣∠DFB﹣∠B，
∴∠EFC=∠FDB，又∠B=∠C=60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴=，即=，
解得，CE=，
故答案为：．
19．（3分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是 3 ．
【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=6，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=3．
故答案为3．
20．（3分）已知抛物线经过A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三点，若点M为第三象限内抛物线上一动点，△AMB的面积为S，则S的最大值为 4 ．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（+4）（﹣2），
将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a=，
则抛物线解析式为y=（+4）（﹣2）=2+﹣4；
过M作MN⊥轴，设M的横坐标为m，则M（m， m2+m﹣4），
∴MN=|m2+m﹣4|=﹣m2﹣m+4，ON=﹣m，
∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S
△AMN +S
梯形MNOB
﹣S
△AOB
=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m）×（﹣m2﹣m+4+4）﹣×4×4
=2（﹣m2﹣m+4）﹣2m﹣8
=﹣m2﹣4m
=﹣（m+2）2+4，
当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．
故答案为4．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
21．（10分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
【解答】解：（1）如图所示：
（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），
（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，
P（乙获胜）=，
P（甲获胜）＞P（乙获胜），
所以游戏不公平．
22．（10分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y
1=的图象上一点，直线y
2
=﹣与反
比例函数y
1
=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y
1＞y
2
时的取值范围；
（Ⅲ）动点P（，0）在轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵点B（3，﹣1）在y
1
=图象上，
∴=﹣1，
∴m=﹣3，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（Ⅱ）
∴﹣=﹣+，即2﹣﹣6=0，
则（﹣3）（+2）=0，
解得：
1=3、
2
=﹣2，
当=﹣2时，y=，∴D（﹣2，）；
结合函数图象知y
1＞y
2
时﹣2＜＜0或＞3；
（Ⅲ）∵点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点
∴a=﹣3
∴A（1，﹣3）
设直线AB为y=+b，
则
∴，
∴直线AB解析式为y=﹣4
令y=0，则=4
∴P（4，0）．
23．（10分）已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．（Ⅰ）求证：△ABC∽△DAE；
（Ⅱ）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB=∠EDA，
又∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE；
（Ⅱ）解：∵△ABC∽△DAE，
∴=，
∵AB=8，AD=6，AE=4，
∴=，
∴BC=．
24．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C 为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，OC；如图所示：
∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90°，
在△OBC和△OEC中，
，
∴△OBC≌△OEC（SSS），
∴∠OBC=∠OEC=90°，
∴BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=
∵CE，CB为⊙O切线，
∴CB=CE=，
∵DE，DA为⊙O切线，
∴DE=DA=1，
∴DC=+1，
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四边形ADFB为矩形，
∴DF=AB=4 BF=AD=1，
∴FC=﹣1，
Rt△CDF中，根据勾股定理得：
（+1）2﹣（﹣1）2=16，
解得：=4，
∴CE=4．
25．（10分）已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′=6；
②由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述，当旋转角α为36°或72°．
26．（10分）如图，二次函数y=a2+b+c（a≠0）的图象与轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（+1）（﹣3），
把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（+1）（﹣3），
即y=2﹣2﹣3；
（2）抛物线的对称轴为直线=1，
设E（t，t2﹣2t﹣3），
当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），
∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），
整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t
1=2+（舍去），t
2
=2﹣（舍去）；
当1＜t＜3时，如图2，EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），
整理得t2﹣5=0，解得t
1=，t
2
=﹣（舍去），
此时正方形EFGH的边长为2﹣2；
当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，∵矩形EFGH为正方形，
∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，
整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t
1=2+，t
2
=2﹣（舍去），
此时正方形EFGH的边长为2+2，
综上所述，正方形EFGH的边长为2﹣2或2+2；
（3）设P（，2﹣2﹣3），
当﹣1＜＜0时，
=×4×3=6，
∵S
△ABC
∴0＜S
＜6，
△APC
当0＜＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，
易得直线AC的解析式为y=﹣3，则M（，﹣3），
∴PM=﹣3﹣（2﹣2﹣3）=﹣2+3，
∴S
=•3•（﹣2+3）
△APC
=﹣2+
=﹣（﹣）2+，
＜，
当=时，S△APC的面积的最大值为，即0＜S
△APC
综上所述，0＜S
＜6，
△APC
∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．。