四川省射洪县2018届高三数学上学期第一次月考试题 理

四川省射洪县2018届高三数学上学期第一次月考试题 理
考试时间：120分钟；满分150分
第I 卷（选择题）
一、选择题
1．已知i 是虚数单位，若
172i
a bi i
+=+-（a ， b R ∈）
，则ab =（ ） A. 15- B. 3 C. 15 D. 3-
2．已知集合(){}
10A x x x =-<， {}
e 1x B x =>，则=B A C R )(（ ） A. [)1,+∞ B. ()0,+∞ C. ()0,1 D. []
0,1 3．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则（ ）
A. :,sin 1p x R x ⌝∃∈≥
B. :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥
C. :,sin 1p x R x ⌝∀∈>
D. :,sin 1p x R x ⌝∃∈>
40)>的最小正周期为π，若将函数()f x 的图象向右()g x 的解析式为（ ） )sin 43x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
)sin2x = 52()()f a f b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 6．已知函数()1,1
{
3,1x x f x x x +<=-+≥ ，则52f f
⎡
⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
等于（ ） A.
12 B. 32 C. 52 D. 92
7．已知{}n a 是公差为1的等差数列， n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，是10a =（ ）
A.
172 B. 192
C. 10
D. 12
8．定义在R 上的函数()x f 是奇函数，且(1)2f =，(2)()(2)f x f x f +=+，则(7)f = （ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
9．在()6
2x -展开式中，二项式系数的最大值为m ，含5x 项的系数为n ，则n
m
=（ ） A.
53 B. 53- C. 35 D. 35
-
10．已知函数1log m y x =+（0m >且1m ≠）的图象恒过点M 1=（0,0a b >>）经过点M ，则a b +的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11．设21，F F 是双曲线)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在
一点错误！未找到引用源。

，使(→
→
→
（O 为坐标原点），且213PF PF =，
则双曲线的离心率为 （ ） A.
212+ B. 12+1
()()11f a f a +-=的实数a 共有（ ） 个 卷（非选择题）
13．若()()2,3,4,a b y ==-共线，则y =________． 14．已知函数(2)2
m
y x x x =+
>-的最小值为6，则正数m 的值为_________. 15．把曲线 { x=sin cos 1sin 2y θθ
θ
+=+（错误！未找到引用源。

为参数）化为普通方程为
_____________________.
16．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：
① 对任意的[]
12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-恒成立；
②()()4f x f x +=- ； ③()4y f x =+是偶函数；
若()()()6,11,2017a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是______________.
三、解答题
17．已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

18．在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如下表：
(1)求数学成绩y 对物理成绩x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+ (ˆb 精确到0.1)，若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩(结果精确到个位)；
(2)要从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率.
(参考公式： 12
2
1
ˆn
i i i n i i x y nxy b
x nx ==-=-∑∑
， ˆˆa
y bx =-.) (
参
考
数据
：
22222908574686329394
++++=，
9013085125741106895639042595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.)
19．已知函数()3
2
f x x bx ax d =+++的图象过点()0,2P ，且在点()()
1,1M f --处的切
线方程为670x y -+=.
(1)求函数()y f x =的解析式； (2)求函数()y f x =的单调区间.
20．在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为12
{ 2x t
y =-=+（t 为参数），若以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C
θ.
(1) 求圆C 的直角坐标方程；
(2) 若直线l 与圆C 交于,A B 两点，点P 的直角坐标为（0，2）
，求
21．已知椭圆C ： 22
2112
x y a +
=过点(，点A ， B 是椭圆上异于长轴端点的两个点．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）已知直线l ： 8x =，且1AA l ⊥，垂足为1A ， 1BB l ⊥
，垂足为1B ，若()3,0D 且
111
ABD A B D S S ∆∆=，求AB 中点的轨迹方程．
R ）.
220x y ++=垂直，求实数a 的值； .
参考答案
1．D 【解析】
()()()()
172172147132225i i i i i i a bi i i i +++++-===-+=+--+， 1,3a b =-=， 3ab =-，选D.
2．A 【解析】解
A=(0,1) B=(0, ∞), ()
()R 0,1A =ð ()
()R 0,1A B ⋂=ð 3．D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题,1x R sinx ∀∈≤的否定为
,1x R sinx ∃∈>，故选D.
4．C
【解析】由函数()sin (0)3f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π可知： 2ω=，即()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
将
函数
()f x 的图象向右平移
12
π
个单位，可得：
()sin 2sin 21236g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
故选：C 5．B
【解析】∵函数()2log f x x =在0x >上单调递增, ()()f a f b >， ∴a b >，
反之不成立,例如0a b >>,但是()(),f a f b 无意义。

∴则“a b >”是“()()f a f b >”的必要不充分条件。

故选：B. 6．B 【解析】5513222f ⎛⎫=-+=
⎪⎝⎭，那么511
312222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故选B. 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f
f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的
值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 7．B
【解析】试题分析：由844S S =得()11828446a d a d +=+，解得1101119
,922
a a a ==+=. 考点：等差数列. 8．D 【解析】略 9．D
【解析】因为6n =是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二
项式系数为3
620m C ==时，含5x 项的系数为()161212n C =-⨯=-，则
123205
n m =-=-，应选答案D 。

10．C
【解析】由函数的解析式可得()1,1M ，即
11
1(0,0)a b a b
+=>>，则：
()11224b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当2a b ==时等号成立. 综上， a b +的最小值为4.
本题选择D 选项.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 11．D 【解析】因为，
，
所以
，
，所以,
中，因为
，所以
由双曲线的定义得，所以，
所以 ，
所以，故选D 。

12．C
【解析】由()()11f a f a +-=，可得()()11f a f a +-=-，或者()()11f a f a +-=，由()()11f a f a +-=-，化为()()
321320a a a a ++++=，设()3
2
32h a a a a =+++，
()2'3230h a a a =++>，
()h a ∴在(),+-∞∞上递增， ()()10,10h h -， ()0h a ∴=，在
()1,1-上有一个根， ∴满足()()11f a f a +-=-的a 值有两个，若
()()11f a f a +-=， 4322220a a a a ++-+=，设()432222g a a a a a =++-+， ()32'36410g a a a a =++-=，设()g a 极值点为()1,2,3i a i =，则3236410i i i a a a ++-=， 4323640i i i i a a a a ++-=， ()232360i i i g a a a =-+>，不妨设123a a a << 而函数()g a 在()()123,,,a a a +∞上递增，在()()123,,a a a -∞上递减， ∴极小值为()()()()130,0,0,0g a g a g a g a >>∴>=无实根，综上所述，满足()()11f a f a +-=的实数a 共有2根.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值极值及零点、分类讨论思想，.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题的解答，是分两种情况分别求得适合条件的a 值的. 13．-6
【解析】若()()2,3,4,a b y ==-共线, 则()2?34y =⨯-.解得6y =-.
点睛：向量的坐标表示平行和垂直， ()()1122,,,a x y b x y ==. 若//a b ，则1212x y y x =； 若a b ⊥，则12120x x y y +=. 14．4 【
解
析
】
2222
m m
y x x x x =+
=-++-- 令
()
2,0,0,2m
t x t m y f t t t
=-≥>∴==+
+ 22,y ≥=的最小值为
6 ， 26∴= 解得4m = ，故答案为4 15．
【解析】
，即
.
又.
普通方程为
.
点睛：本题属于易错题型，容易根据条件消参得到普通方程，但
是，很容易忽视，在消参前自变量具有范围限制，消参后应加以注明.
16．b a c <<
【解析】根据题意， []
12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，则函数()
f x 在区间[]
4,8上为增函数，若()()4f x f x +=-，则()()()84f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为8，若()4y f x =+是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线4x =-对称，又由函数的周期为8，则函数()f x 的图象关于直线4x =对称， ()()()()6,1135a f b f f f ====， ()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==，又由函数()f x 在区间[]4,8上为增函数，则有()()()567f f f << ，即b a c <<，故答
案为b a c <<. 17．（1）
；（2）最大值2；最小值-1.
【解析】试题分析：（1）将()4cos sin f x x x π⎛
⎫
=+
⎝
2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，即可求其最小正周期及其图象的对称中心4
x π
≤≤
，可得
226
63x π
π
π-
≤+
≤，从而可求求f ⎡
试题解析：：（Ⅰ）因为f （x ）
== ,0212k ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭； 26
3
π
π
+
≤
， 于是，当2x+6π=2π，即x=6π
时，f （x ）取得最大值2；
当2x+6π=-6π，即x=-6
π
时，f （x ）取得最小值-1
考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法
18．（1） 1.54ˆy x =-.当80x =时， ˆ116y =；（2）
7
10
． 【解析】试题分析：(1)利用公式求回归直线方程并预测他的数学成绩(;(2)利用古典概型公
式求概率. 试题解析： (1) 9085746863765x ++++=
=， 1301251109590
1105
y ++++==，
5
152********ˆ576110795 1.529394576765145i i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，
110ˆ7ˆ 1.564a
y bx =-=-⨯=-， 所以 1.54ˆy
x =-. 当80x =时， ˆ116y
=. (2)由已知数学成绩高于120分的两位学生编号为,a b ；不高于120分的三位学生编号为
1,2,3，
选取两位学生的所有情况是：
()1,2， ()1,3， ()1,a ， ()1,b ， ()2,3， ()2,a ， ()2,b ， ()3,a ， ()3,b ， (),a b ， 符合条件的情况是：
()1,a ， ()1,b ， ()2,a ， ()2,b ， ()3,a ， ()3,b ， (),a b ，
故所求的概率为
710
. 19．（1）()3
2
332f x x x x =--+；（2
）增区间是(,1-∞
和()
1+∞，减区间
是(1-.
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b ，c ，d ，即可求函数f （x ）的解析式；
（2）求函数的导数，即可求函数f （x ）在定义域上的单调性． 试题解析：
(1) ()3
2
332f x x x x =--+；(2)
增区间是(,1-∞
和()
1++∞
解：(1)由()f x 的图象经过()0,2P ，知2d =，所以()3
2
2f x x bx cx =+++，
()2'32f x x bx c =++，
由在()()
1,1M f --处的切线方程是670x y -+=，知
()6170f ---+=，即()11f -=， ()'16f -=，
∴326{
121b c b c -+=-+-+=，即23
{ 0
b c b c -=-=，解得3b c ==-.
故所求的解析式是()3
2
332f x x x x =--+.
(2) ()2
'363f x x x =--，令23630x x --=，即2
210x x --=，
解得11x =
21x =
1x <
1x > ()'0f x >，
当11x << ()'0f x <，
故()3
2
332f x x x x =--+
的增区间是(,1-∞
和()
1++∞.
减区间是(1+.
20．(1) ()2
224x y -+=；
(2) 2+【解析】试题分析：
(1)将极坐标方程两侧同时乘以ρ，据此即可将极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合韦达定理和直线参数的几何意义可得
PA PB +
的值是2+试题解析： (1)圆
的极坐标方程为4cos ρθ=，化为2
4cos ρρθ=，可得直角坐标方程：
，配方为
.
(2)
把12
{
22
x t
y t
=-=+（t 为参数）代入
，得(2
2240t t +++=
设,A B 对应参数分别为12,t t ，则1
t t +， 1240t t =>. 所以PA PB + 1212t t t t =+=+
113+=（0x >）. 带入椭圆方程，解得216a =，易得椭圆C 的离心1B A B y y =-，易得： 2r =.分类讨论直线AB 的221616480k x k -+-=，借助韦达定理，易得
（1）依题意，
2
123112
a +=，解得2
16a =， 故椭圆C 的方程为
2211612x y +=，则其离心率为12
． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(),0R r ， 1
32
ABD A B S r y y ∆=
⨯-⨯-， 111
52
A B D A B S y y ∆=⨯⨯-，
由于111
5
ABD A B D S S ∆∆=，即115A B D ABD S S ∆∆=，且11A B A B y y y y -=-， 得
1111
55322
A B A B y y r y y ⨯⨯-=⨯⨯-⨯-， 4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点()2,0F ，设()11,A x y ， ()22,B x y ， AB 的中点()00,K x y ， ①直线AB 垂直于x 轴时，则AB 的重担为()2,0F ；
②直线AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为()2y k x =-，则()22
1,
{ 16122,
x y y k x +==-
整理得()
2222341616480k x k x k +-+-=，
21221634k x x k +=+， 202834k x k =+， 0
2
634k
y k -=+， 消去k ，整理得()2
2
004113
y x -+=（00y ≠）．经检验，点()2,0也满足此方程． 综上所述，点K 的轨迹方程为()2
2
4113
y x -+=（0x >）． 22．（1）0a =（2）见解析（3）见解析
【解析】试题分析：由()1
f x ax x -'== 21ax x -，直线220x y ++=的斜率为2-，
所以()14212a --⨯=-得出a 值，
（2）确定函数的单调区间()1
f x ax x
-'== 21ax x -大于零或小于零解不等式即可注意当当0a ≤， 0a >时（3）由（2）可知，
当0a <时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102
f a =->，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；
当0a =时， ()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102
f a =-
=，故()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；只需讨论当0a >时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可 试题解析：
（1）由题可知()f x 的定义域为()0,+∞，
因为()21ln 2f x x ax =-，所以()1
f x ax x
-'== 21ax x -
又因为直线220x y ++=的斜率为2-， ()14212
a
-∴-⨯
=-，解得0a = （2）由（1）知： ()1
f x ax x
-'== 21ax x -，
当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，由()0f x '>得x <
()0f x '<得x >()f x 在⎛ ⎝上
单调递增，在⎫
+∞⎪⎪
⎭
上单调递减.
综上所述：当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在⎛
⎝
上
单调递增，在⎫
+∞⎪⎪
⎭
上单调递减. （3）由（2）可知，
当0a <时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1
1f )x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有
零点；
当0a =时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1f )在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 当0a >时，
1≤，即1a ≥时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， ()1
102
f a =-<， ()
f x ∴
()f x 在⎡⎢⎣上单调递增，在2e ⎤⎥⎦
上单调递11ln 22a --， ()
241
22f e ae =-， 1e >时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点； 1e =时， ()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；
若1ln 2f a =-- 102>，即1a e <时，由()
2
41202f e ae =->得44a e <，此时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；
由()
241202f e ae =-
≤得44a e
≥，此时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点；
③若2e ≥，即410a e <≤时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增， ()1102f a =-<， ()241202
f e ae =->， ()f x ∴在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点. 综上所述：当440a e ≤<或1a e =时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；当0a <或1a e
>时， ()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当441a e e
≤<时， ()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点.。