2008高考天津数学理科试卷含详细解答全word版

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2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第I 卷1至2页,第II 卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第I 卷
注意事项: 1.答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共10小题,每小题5分,共50分. 参考公式: 如果事件A B ,互斥,那么
球的表面积公式2
4πS R =
()()()P A B P A P B +=+
球的体积公式34π3
V R =
如果事件A B ,相互独立,那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B =
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.i 是虚数单位,
3i (i 1)
i 1
+=-( ) A .1-
B .1
C .i -
D .i
2.设变量x y ,满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥,≤,≥则目标函数5z x y =+的最大值为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
3.设函数()sin 22f x x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ,,则()f x 是( ) A .最小正周期为π的奇函数
B .最小正周期为π的偶函数
C .最小正周期为
π
2的奇函数 D .最小正周期为
π
2
的偶函数 4.设a b ,是两条直线,αβ,是两个平面,则a b ⊥的一个充分条件是( ) A .a b αβαβ⊥⊥,∥,
B .a b αβαβ⊥⊥,,∥
C .a b αβαβ⊂⊥,,∥
D .a b αβαβ⊂⊥,∥,
5.设椭圆22
221(1)1
x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P 到
右准线的距离为( ) A .6
B .2
C .
12
D

7
6.设集合{}23S x x =->,{}
8T x a x a =<<+,S T =R ,则a 的取值范围是( )
A .31a -<<-
B .31a --≤≤
C .3a -≤或1a -≥
D .3a <-或1a >-
7
.设函数()1)f x x =
<≤的反函数为1()f x -,则( )
A .1
()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1 B .1
()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0 C .1
()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1 D .1
()f
x -在其定义域上是增函数且最小值为0
8.已知函数10()10x x f x x x -+<⎧=⎨
-⎩
,,
,≥,则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是( )
A
.{
}
11x x -≤
B .{}
1x x ≤
C
.{}
1x x
D
.{}
11x x ≤
9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0+,∞上是增函数.令2sin
7a f π⎛
⎫= ⎪⎝⎭
,5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,5tan 7c f π⎛
⎫= ⎪⎝
⎭,则( )
A .b a c <<
B .c b a <<
C .b c a <<
D .a b c <<
10.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有..中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( ) A .1344种 B .1248种
C .1056种
D .960种
2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3.本卷共12小题,共100分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
11
.5
x ⎛ ⎝
的二项展开式中2
x 的系数是 (用数字作答). 12
.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 .
13.已知圆C 的圆心与抛物线2
4y x =的焦点关于直线y x =对称,直线4320x y --=与圆C 相交于A B ,两点,且6AB =,则圆C 的方程为 .
14.如图,在平行四边形ABCD 中,(12)AC =,
,(32)BD =-,, 则AD AC = .
15.已知数列{}n a 中,11a =,111
()3
n n n a a n ++-=
∈*N ,则lim n n a →∞= . 16.设1a >,若仅有一个常数c 使得对于任意的[]2x a a ∈,,都有2
y a a ⎡⎤∈⎣⎦,满足方程
log log a a x y c +=,这时a 的取值的集合为 .
三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知cos 410x π⎛
⎫-
= ⎪
⎝⎭,324x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,. (Ⅰ)求sin x 的值; (Ⅱ)求sin 23x π⎛⎫
+ ⎪⎝

的值.
18.(本小题满分12分)
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为1
2
与p ,且乙投球2次均未命中的概率为
116
. (Ⅰ)求乙投球的命中率p ;
(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形.已知3AB =,2AD =,2PA =

PD =60PAB =∠.
(Ⅰ)证明AD ⊥平面PAB ;
(Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角P BD A --的大小. 20.(本小题满分12分) 已知函数()(0)a
f x x b x x
=+
+≠,其中a b ∈R ,. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2(2))P f ,处的切线方程为31y x =+,求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的1
22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,
,不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,上恒成立,求b 的取值范围.
21.(本小题满分14分)
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -,
20y -=. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;
(Ⅱ)若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ,,且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81
2
,求k 的取值范围.
A B
C
D
P
22.(本小题满分14分)
在数列{}n a 与{}n b 中,11a =,14b =,数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=,
12n a +为n b 与1n b +的等比中项,n ∈*
N . (Ⅰ)求2a ,2b 的值;
(Ⅱ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;
(Ⅲ)设1212(1)(1)(1)n a
a
a
n n T b b b n =-+-++-∈*
N …,,证明223n T n n <,≥.
2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)参考解答
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分. 11.40 12.24 13.2
2
(1)10x y +-=
14.3
15.
76
16.{}2
三、解答题
17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分. (Ⅰ)解法一:因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,所以442x πππ⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭
,,于是
sin 410x π⎛⎫-==
⎪⎝⎭. sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ⎛ππ⎫ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4
5
=
+=.
解法二:由题设得
2210x x +=,即1
cos sin 5
x x +=.
又22sin cos 1x x +=,从而2
25sin 5sin 120x x --=,解得4sin 5x =或3sin 5
x =-. 因为324x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,,所以4sin 5
x =

(Ⅱ)解:因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,故3cos 5x ===-.
24sin 22sin cos 25x x x ==-
,2
7cos 22cos 125
x x =-=-. 所以,
24sin 2sin 2cos cos 2sin 33350x x x πππ+⎛
⎫+=+=-
⎪⎝
⎭. 18.本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和数
学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. (Ⅰ)解:设“甲投球一次命中”为事件A ,“乙投球一次命中”为事件B , 由题意得
221(1())(1)16
P B p -=-=
, 解得34p =
或54p =(舍去),所以乙投球的命中率为34
. (Ⅱ)解:由题设和(Ⅰ)知1()2P A =,1()2P A =,3()4P B =,1
()4
P B =.
ξ可能的取值为0,1,2,3,故
2
111
(0)()()2432
P P A P B B ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭,
1
2(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==+
2
113117
22444232⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭, 2
139
(3)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯=
⎪⎝⎭, 15(2)1(0)(1)(3)32
P P P P ξξξξ==-=-=-==
. ξ的分布列为
ξ
的数学期望0123232323232
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
19.本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:在PAD △中,由题设2PA =,2AD =,PD =,可得222PA
AD PD +=,
于是AD PA ⊥.在矩形ABCD 中,AD AB ⊥,又PA
AB A =,所以
AD ⊥平面PAB .
(Ⅱ)解:由题设,BC AD ∥,所以PCB ∠(或其补角)是异面直线PC 与AD 所成的角. 在PAB △中,由余弦定理得
PB ==
由(Ⅰ)知AD
⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,
所以AD PB ⊥,因而BC PB ⊥,于是PBC △是直角三角形, 故tan 2
PB PCB BC =
=. 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为arctan
2
. (Ⅲ)解:过点P 作PH AB ⊥于H ,过点H 作HE BD ⊥于E ,连结PE .
因为AD ⊥平面PAB ,PH ⊂平面PAB ,所以AD PH ⊥.又AD AB A =,因而PH ⊥平面ABCD ,故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知,BD PE ⊥.从而PEH ∠
是二面角P BD A -
-的平面角. 由题设可得,
sin 603PH PA ==cos601AH PA ==,
2BH AB AH =-=
,BD =,
13
AD HE BH BD =
=. 于是在Rt PHE △中,tan 4
PH PEH HE =
=. 所以二面角P BD A --的大小为 20.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)解:2
()1a
f x x '=-
,由导数的几何意义得(2)3f '=,于是8a =-. A B
C
D
P
H E
由切点(2(2))P f ,在直线31y x =+上可得27b -+=,解得9b =. 所以函数()f x 的解析式为8
()9f x x x
=-+. (Ⅱ)解:2()1a f x x
'=-
. 当0a ≤时,显然()0(0)f x x '>≠,这时()f x 在(0)-∞,,(0)+,∞内是增函数. 当0a >时,令()0f x '=
,解得x = 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:
所以()f x 在-,+∞内是增函数,在(,(0内是减函数. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,()f x 在114⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,
上的最大值为14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
与(1)f 中的较大者,对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,上恒成立,当且仅当
1104(1)10f f ⎧⎛⎫⎪ ⎪
⎝⎭
⎨⎪⎩
≤,≤, 即39449b a b a ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤,≤ 对任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

成立. 从而得74b ≤
,所以满足条件的b 的取值范围是74⎛
⎤- ⎥⎝
⎦∞,.
21.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点
等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.满分14分.
(Ⅰ)解:设双曲线C 的方程为22
221(00)x y a b a b
-=>>,,由题设得
2292a b b a
⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 解得2
245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,
所以双曲线C 的方程为
22
145
x y -=. (Ⅱ)解:设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠,点11()M x y ,,22()N x y ,的坐标满足方程组
2
2
1.45
y kx m x y =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩,
① ② 将①式代入②式,得22
()145x kx m +-=,整理得 222(54)84200k x kmx m ----=.
此方程有两个不等实根,于是2
540k -≠,且
222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>.整理得
22540m k +->. ③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ,满足
12024254x x km x k +=
=-,00
2
554m y kx m k =+=-. 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫
-
=-- ⎪--⎝⎭

此直线与x 轴,y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫
⎪-⎝⎭,,29054m k ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
,.由题设可得 22
19981
254542
km m k k =--. 整理得
22
2
(54)k m k
-=
,0k ≠.
将上式代入③式得22
2(54)540k k k
-+->,
整理得
22(45)(45)0k k k --->,0k ≠.
解得02k <<
或54
k >. 所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
--
-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∞,,,,∞. 22.本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、
不等式证明、数学归纳法等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
(Ⅰ)解:由题设有12140a a a +-=,11a =,解得23a =.由题设又有2
2214a b b =,14b =,
解得29b =.
(Ⅱ)解法一:由题设1(3)0n n nS n S +-+=,11a =,14b =,及23a =,29b =, 进一步可得36a =,316b =,410a =,425b =,猜想
(1)2
n n n a +=
,2(1)n b n =+,n ∈*
N . 先证(1)2
n n n a +=,n ∈*
N .
当1n =时,11(11)
2
a ⨯+=,等式成立.当2n ≥时用数学归纳法证明如下:
(1)当2n =时,22(21)
2
a ⨯+=,等式成立.
(2)假设当n k =时等式成立,即(1)
2k k k a +=,2k ≥.
由题设,
1(3)k k kS k S +=+, ① 1(1)(2)k k k S k S --=+.

①的两边分别减去②的两边,整理得1(2)k k ka k a +=+,从而
[]1(1)(1)122(1)22
k k k k k k k k a a k k +++++++=
==.
这就是说,当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式(1)2n n n a +=对任何的2n ≥成立. 综上所述,等式(1)2
n n n a +=对任何的n ∈*N 都成立. 再用数学归纳法证明2(1)n b n =+,n ∈*N .
(1)当1n =时,21(11)b =+,等式成立.
(2)假设当n k =时等式成立,即2(1)k b k =+,那么
[]2222112
4(1)(2)(1)1(1)k k k a k k b k b k ++++===+++. 这就是说,当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式2(1)n b n =+对任何的n ∈*N
都成立.
解法二:由题设
1(3)n n nS n S +=+, ①
1(1)(2)n n n S n S --=+. ②
①的两边分别减去②的两边,整理得1(2)n n na n a +=+,2n ≥,所以 3224a a =,
4335a a =,
……
1(1)(1)n n n a n a --=+,3n ≥.
将以上各式左右两端分别相乘,得
2(1)!(1)!6
n n n a a +-=, 由(Ⅰ)并化简得
2(1)(1)62
n n n n n a a ++=
=,3n ≥. 上式对1n =,2也成立. 由题设有2114n n n b b a ++=,所以221(2)(1)n n b b n n +=++,即 1221(1)(2)
n n b b n n +=++,n ∈*N .
令2
(1)n n b x n =+,则11n n x x +=,即11n n x x +=.由11x =得1n x =,1n ≥.所以 2
1(1)n b n =+.即 2(1)n b n =+,1n ≥.
解法三:由题设有1(3)n n nS n S +=+,n ∈*N ,所以
214S S =,
3225S S =,
……
1(1)(2)n n n S n S --=+,2n ≥.
将以上各式左右两端分别相乘,得
112(1)45(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+……,
化简得
1(1)(2)(1)(2)236
n n n n n n n S a ++++=
=⨯,3n ≥. 由(Ⅰ),上式对1n =,2也成立.所以
1(1)2
n n n n n a S S -+=-=,2n ≥. 上式对1n =也成立. 以下同解法二,可得2(1)n b n =+,1n ≥.
(Ⅲ)证明:1212(1)(1)(1)n a
a a n n T
b b b =-+-++-… (1)222223(1)
(1)n n n +=--++-+…. 当4n k =,k ∈*N 时,
222222222345(42)(41)(4)(41)n T k k k k =--++-----+++…. 注意到2222
(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-,故 (1)32(12)43242
n k k T k k k +=⨯+++-=⨯-… 224(44)4(4)343k k k k k n n =+-=+⨯=+.
当41n k =-,k ∈*
N 时, 22222(4)34(41)(1)3(1)(2)n T k k k n n n n =+⨯-+=+++-+=. 当42n k =-,k ∈*
N 时, 22222(4)34(41)(4)3(2)(3)33n T k k k k n n n n =+⨯-+-=+-+=---. 当43n k =-,k ∈*
N 时, 222234(41)(41)3(3)(4)(2)3n T k k k n n n n =⨯-++-=+-+++=--. 所以,
2234333424134n n n k n n n k T k n n k n n n k --=-⎧⎪---=-⎪=∈⎨=-⎪⎪+=⎩
*N ,
,, ,,
,, , 从而3n ≥时,有
22
213259133312610141237113124812n n n n n T n n n n n n n
⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩,
,,,…,, ,,,…,, ,,,…,, ,,,…. 总之,当3n ≥时有
22n T n <,即22n T n <.。

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