2008高考天津数学理科试卷含详细解答全word版

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式2
4πS R =
()()()P A B P A P B +=+
球的体积公式34π3
V R =
如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B =
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．i 是虚数单位，
3i (i 1)
i 1
+=-（ ） A ．1-
B ．1
C ．i -
D ．i
2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．设函数()sin 22f x x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ，，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
π
2的奇函数 D ．最小正周期为
π
2
的偶函数 4．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，
B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥
C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥
D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，
5．设椭圆22
221(1)1
x y m m m +=>-上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到
右准线的距离为（ ） A ．6
B ．2
C ．
12
D
．
7
6．设集合{}23S x x =->，{}
8T x a x a =<<+，S T =R ，则a 的取值范围是（ ）
A ．31a -<<-
B ．31a --≤≤
C ．3a -≤或1a -≥
D ．3a <-或1a >-
7
．设函数()1)f x x =
<≤的反函数为1()f x -，则（ ）
A ．1
()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1 B ．1
()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0 C ．1
()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1 D ．1
()f
x -在其定义域上是增函数且最小值为0
8．已知函数10()10x x f x x x -+<⎧=⎨
-⎩
，，
，≥，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）
A
．{
}
11x x -≤
B ．{}
1x x ≤
C
．{}
1x x
D
．{}
11x x ≤
9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+，∞上是增函数．令2sin
7a f π⎛
⎫= ⎪⎝⎭
，5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5tan 7c f π⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种 B ．1248种
C ．1056种
D ．960种
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11
．5
x ⎛ ⎝
的二项展开式中2
x 的系数是 （用数字作答）． 12
．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ．
13．已知圆C 的圆心与抛物线2
4y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，(12)AC =，
，(32)BD =-，， 则AD AC = ．
15．已知数列{}n a 中，11a =，111
()3
n n n a a n ++-=
∈*N ，则lim n n a →∞= ． 16．设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]2x a a ∈，，都有2
y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程
log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知cos 410x π⎛
⎫-
= ⎪
⎝⎭，324x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，． （Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin 23x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1
2
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
116
． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =
，
PD =60PAB =∠．
（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数()(0)a
f x x b x x
=+
+≠，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))P f ，处的切线方程为31y x =+，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的1
22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
，不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求b 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，
20y -=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为81
2
，求k 的取值范围．
A B
C
D
P
22．（本小题满分14分）
在数列{}n a 与{}n b 中，11a =，14b =，数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，
12n a +为n b 与1n b +的等比中项，n ∈*
N ． （Ⅰ）求2a ，2b 的值；
（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）设1212(1)(1)(1)n a
a
a
n n T b b b n =-+-++-∈*
N …，，证明223n T n n <，≥．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．40 12．24 13．2
2
(1)10x y +-=
14．3
15．
76
16．{}2
三、解答题
17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解法一：因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以442x πππ⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭
，，于是
sin 410x π⎛⎫-==
⎪⎝⎭． sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ⎛ππ⎫ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4
5
=
+=．
解法二：由题设得
2210x x +=，即1
cos sin 5
x x +=．
又22sin cos 1x x +=，从而2
25sin 5sin 120x x --=，解得4sin 5x =或3sin 5
x =-． 因为324x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，所以4sin 5
x =
．
（Ⅱ）解：因为324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故3cos 5x ===-．
24sin 22sin cos 25x x x ==-
，2
7cos 22cos 125
x x =-=-． 所以，
24sin 2sin 2cos cos 2sin 33350x x x πππ+⎛
⎫+=+=-
⎪⎝
⎭． 18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数
学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ， 由题意得
221(1())(1)16
P B p -=-=
， 解得34p =
或54p =（舍去），所以乙投球的命中率为34
． （Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1
()4
P B =．
ξ可能的取值为0，1，2，3，故
2
111
(0)()()2432
P P A P B B ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，
1
2(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==+
2
113117
22444232⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭， 2
139
(3)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯=
⎪⎝⎭， 15(2)1(0)(1)(3)32
P P P P ξξξξ==-=-=-==
． ξ的分布列为
ξ
的数学期望0123232323232
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =，可得222PA
AD PD +=，
于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA
AB A =，所以
AD ⊥平面PAB ．
（Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角． 在PAB △中，由余弦定理得
PB ==
由（Ⅰ）知AD
⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，
所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形， 故tan 2
PB PCB BC =
=． 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为arctan
2
． （Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．
因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠
是二面角P BD A -
-的平面角． 由题设可得，
sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，
2BH AB AH =-=
，BD =，
13
AD HE BH BD =
=． 于是在Rt PHE △中，tan 4
PH PEH HE =
=． 所以二面角P BD A --的大小为 20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：2
()1a
f x x '=-
，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． A B
C
D
P
H E
由切点(2(2))P f ，在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =． 所以函数()f x 的解析式为8
()9f x x x
=-+． （Ⅱ）解：2()1a f x x
'=-
． 当0a ≤时，显然()0(0)f x x '>≠，这时()f x 在(0)-∞，，(0)+，∞内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=
，解得x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在-，+∞内是增函数，在(，(0内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在114⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
上的最大值为14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
与(1)f 中的较大者，对于任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，当且仅当
1104(1)10f f ⎧⎛⎫⎪ ⎪
⎝⎭
⎨⎪⎩
≤，≤， 即39449b a b a ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，≤ 对任意的122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
成立． 从而得74b ≤
，所以满足条件的b 的取值范围是74⎛
⎤- ⎥⎝
⎦∞，．
21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点
等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22
221(00)x y a b a b
-=>>，，由题设得
2292a b b a
⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2
245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以双曲线C 的方程为
22
145
x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组
2
2
1.45
y kx m x y =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩，
① ② 将①式代入②式，得22
()145x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．
此方程有两个不等实根，于是2
540k -≠，且
222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得
22540m k +->． ③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足
12024254x x km x k +=
=-，00
2
554m y kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫
-
=-- ⎪--⎝⎭
．
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫
⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛
⎫ ⎪-⎝⎭
，．由题设可得 22
19981
254542
km m k k =--． 整理得
22
2
(54)k m k
-=
，0k ≠．
将上式代入③式得22
2(54)540k k k
-+->，
整理得
22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．
解得02k <<
或54
k >． 所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
--
-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∞，，，，∞． 22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、
不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：由题设有12140a a a +-=，11a =，解得23a =．由题设又有2
2214a b b =，14b =，
解得29b =．
（Ⅱ）解法一：由题设1(3)0n n nS n S +-+=，11a =，14b =，及23a =，29b =， 进一步可得36a =，316b =，410a =，425b =，猜想
(1)2
n n n a +=
，2(1)n b n =+，n ∈*
N ． 先证(1)2
n n n a +=，n ∈*
N ．
当1n =时，11(11)
2
a ⨯+=，等式成立．当2n ≥时用数学归纳法证明如下：
（1）当2n =时，22(21)
2
a ⨯+=，等式成立．
（2）假设当n k =时等式成立，即(1)
2k k k a +=，2k ≥．
由题设，
1(3)k k kS k S +=+， ① 1(1)(2)k k k S k S --=+．
②
①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)k k ka k a +=+，从而
[]1(1)(1)122(1)22
k k k k k k k k a a k k +++++++=
==．
这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a +=对任何的2n ≥成立． 综上所述，等式(1)2
n n n a +=对任何的n ∈*N 都成立． 再用数学归纳法证明2(1)n b n =+，n ∈*N ．
（1）当1n =时，21(11)b =+，等式成立．
（2）假设当n k =时等式成立，即2(1)k b k =+，那么
[]2222112
4(1)(2)(1)1(1)k k k a k k b k b k ++++===+++． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式2(1)n b n =+对任何的n ∈*N
都成立．
解法二：由题设
1(3)n n nS n S +=+， ①
1(1)(2)n n n S n S --=+． ②
①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，2n ≥，所以 3224a a =，
4335a a =，
……
1(1)(1)n n n a n a --=+，3n ≥．
将以上各式左右两端分别相乘，得
2(1)!(1)!6
n n n a a +-=， 由（Ⅰ）并化简得
2(1)(1)62
n n n n n a a ++=
=，3n ≥． 上式对1n =，2也成立． 由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即 1221(1)(2)
n n b b n n +=++，n ∈*N ．
令2
(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以 2
1(1)n b n =+．即 2(1)n b n =+，1n ≥．
解法三：由题设有1(3)n n nS n S +=+，n ∈*N ，所以
214S S =，
3225S S =，
……
1(1)(2)n n n S n S --=+，2n ≥．
将以上各式左右两端分别相乘，得
112(1)45(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+……，
化简得
1(1)(2)(1)(2)236
n n n n n n n S a ++++=
=⨯，3n ≥． 由（Ⅰ），上式对1n =，2也成立．所以
1(1)2
n n n n n a S S -+=-=，2n ≥． 上式对1n =也成立． 以下同解法二，可得2(1)n b n =+，1n ≥．
（Ⅲ）证明：1212(1)(1)(1)n a
a a n n T
b b b =-+-++-… (1)222223(1)
(1)n n n +=--++-+…． 当4n k =，k ∈*N 时，
222222222345(42)(41)(4)(41)n T k k k k =--++-----+++…． 注意到2222
(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故 (1)32(12)43242
n k k T k k k +=⨯+++-=⨯-… 224(44)4(4)343k k k k k n n =+-=+⨯=+．
当41n k =-，k ∈*
N 时， 22222(4)34(41)(1)3(1)(2)n T k k k n n n n =+⨯-+=+++-+=． 当42n k =-，k ∈*
N 时， 22222(4)34(41)(4)3(2)(3)33n T k k k k n n n n =+⨯-+-=+-+=---． 当43n k =-，k ∈*
N 时， 222234(41)(41)3(3)(4)(2)3n T k k k n n n n =⨯-++-=+-+++=--． 所以，
2234333424134n n n k n n n k T k n n k n n n k --=-⎧⎪---=-⎪=∈⎨=-⎪⎪+=⎩
*N ，
，， ，，
，， ， 从而3n ≥时，有
22
213259133312610141237113124812n n n n n T n n n n n n n
⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩，
，，，…，， ，，，…，， ，，，…，， ，，，…． 总之，当3n ≥时有
22n T n <，即22n T n <．。