专题16 选修部分(第01期)-2016届高三理数百所名校好题速递分项解析汇编(解析版)

第十六章 选修部分一．基础题组1. 【黑龙江哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试17】极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 【答案】（1）()()22112x y -+-=（2考点：极坐标有直角坐标的互化2. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，CB 与O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F ．（Ⅰ）求证：,,,C E G D 四点共圆；（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，1EG =，3GA =，求线段CE 的长．【答案】（I ）见解析；（II ）2． 【解析】试题分析：（Ⅰ）证四点共圆，其判定定理之一是对角互补，因此可证180C DGE ∠+∠=︒，也可证180CDG CEG ∠+∠=︒，由已知90C CAB ∠+∠=︒，90ABD DAB ∠+∠=︒，又AGD ABD ∠=∠，这样它们建立了联系可得结论；（Ⅱ）要圆中线段长，应用圆中成比例线段的定理，主要是切割线定理，可得2FE FC FG FD FB ⋅=⋅=，又EF EB EG EA ⋅=⋅23EF =，易求得EC 2=．考点：四点共圆的判定定理，切割线定理．3．【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考23】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围．【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ，曲线C 的直角坐标方程为：1)2(22=+-y x ；（Ⅱ）5353[1,1]22-+ 试题解析：（Ⅰ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ； ········· 2分 曲线C 的直角坐标方程为：1)2(22=+-y x ··········· 5分 （Ⅱ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd所以d 的取值范围是5353[1,1]+ ················ 10分 考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式．4.【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数1)(-=x x f ．（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(abf a ab f >． 【答案】（Ⅰ）(,3][3,)-∞-+∞；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量x 的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式)()(ab f a ab f >为|||1|a b ab ->-，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．考点：含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．5. 【四川成都七中高2016届数学（理科）10月阶段考试（一）17】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 1(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 : 2sin ρθ=,C 3 : ρθ= (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．【答案】(1)3)2(2)4 【解析】试题分析：(1) 利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程，即C 2 : 222x y y +=, C 3 :22x y +=，解方程组得交点坐标：3)2(2)消去参数t 的曲线C 1极坐标方程：1:(,0,0)C R θαρρθπ=∈≠≤<，分别代入C 2 ，C 3得交点(2sin ,),,)A B αααα，根据两点间距离公式得：|2sin |4|sin()|3AB πααα=-=-，最后根据三角函数性质得其最大值.试题解析：(1)3)2(2) 1:(,0,0)C R θαρρθπ=∈≠≤<(2sin ,),,)A B αααα|2sin |4|sin()|3AB πααα=-=-当56πα=时，max ||4AB = 考点：极坐标方程化为直角坐标方程, 三角函数性质6. 【西藏日喀则地区一高2015学年第一学期10月检测22】（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若C C M =B ． （1）求证：∆APM ∽∆ABP ；（2）求证：四边形CD PM 是平行四边形．【答案】(1)证明祥见解析；（2）证明祥见解析． 【解析】试题分析：（1）由切割线定理，及N 是PM 的中点，可得PN<SUP>2</SUP>=NA•NB，进而PN NANB PN=，结合∠PNA=∠BNP ，可得△PNA ∽△BNP ，则∠APN=∠PBN ，即∠APM=∠PBA ；再由MC=BC ，可得∠MAC=∠BAC ，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB ，进而得到△APM ∽△ABP（2）由∠ACD=∠PBN ，可得∠PCD=∠CPM ，即PM ∥CD ；由△APM ∽△ABP ，PM 是圆O 的切线，可证得∠MCP=∠DPC ，即MC ∥PD ；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD 是平行四边形． 试题解析：证明：（1）PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点，∴22MN =PN =NA ⋅NB ，∴PN NA=BN PN， 又∠PNA =∠BNP ，∴∆PNA ∽∆BNP ，∴∠APN =∠PBN ，即∠APM =∠PBA ．C C M =B ，∴C C ∠MA =∠BA ，∴∠MAP =∠PAB ，∴∆APM ∽∆ABP …………………………5分考点：1、圆的内接四边形的判定定理；2、圆周角定理；3、同弧或等弧所对的圆周角相等；4、割线定理． 7. 【西藏日喀则地区一高2015学年第一学期10月检测23】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:OM 3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．【答案】(1) 2cos ρθ=；（2）Q 2P =．【解析】试题分析：（1）把22cossin 1φφ+=代入圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），消去参数化为普通方程，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得圆C 的极坐标方程．（2）设P （ρ1，θ1），联立2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得ρ1，θ1；设Q （ρ2，θ2），联立()sin 3ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得ρ2，θ<2，可得|PQ|．试题解析：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=…………………………5分（2）设()11,ρθP ，则由2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得11ρ=，13πθ=…………………………7分设()22Q ,ρθ，则由()sin 3ρθθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得23ρ=，23πθ=………………9分 所以Q 2P =…………………………10分考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、参数方程与普通方程的互化．8.【西藏日喀则地区一高2015学年第一学期10月检测24】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设()11f x x x =-++． （1）求()2f x x ≤+的解集； （2）若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1) {}02x x ≤≤；（2）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（2）121111112123a a a a a a a+--=+--≤++-= 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号．…………………………8分 由不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥解得：32x ≤-或32x ≥． 故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭…………………………10分 考点：1、绝对值不等式的解法；2、函数恒成立问题．9. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考22】（本小题满分10分）（选修）已知函数122)(--+=x x x f（1）解不等式2)(-≥x f ；（2）对任意[)+∞∈,a x ，都有)(x f a x -≤成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{x |23-≤x ≤6} ；（2）a ≤-2或a ≥4。

【解析】试题分析：（1）绝对值不等式的解题思路是去绝对值，然后再求解。